《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題三答案-設(shè)二維隨機(jī)變量(x,y)之歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編《概論與數(shù)理統(tǒng)》題及答案時(shí)間：習(xí)題三

創(chuàng)作：歐陽地1將一硬幣拋擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值試寫出Y的聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：

C13

1132

23

11222

1122.盒子里裝有黑球、紅球、2只白球，在其中任取球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以示取到紅球的只數(shù)求Y聯(lián)合分布律.【解】X和Y的聯(lián)合分布律如表：

P黑2紅2白=

CC1C232C7CC32C7

C232C7C2C1C132C47C232C7

C123C47C123C47歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編C2/4227

1353.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，）的聯(lián)合分布函數(shù)為ππxsiny0,0yF（x，其他求二維隨機(jī)變量（X，Y）在長(zhǎng)方πx,y4

內(nèi)的概率【解】圖

πππP{0}公(3.2)46題圖說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。4.設(shè)隨機(jī)變量（X，）的分布密度)fx，求：）常數(shù)；

x0,y0,他）隨機(jī)變量（，Y）的分布函數(shù)；）{0≤<1，0≤<2}.【解】）由

f(x)dxy

00

e

xy)

dxdy

A12

得A=12）由定義，有(3)

P{02}5.設(shè)隨機(jī)變量（X，）的概率密度為歐陽地創(chuàng)編

1313fx，y

歐陽地創(chuàng)編k),2,2y他.）確定常數(shù)k；）求{＜1，＜3}；）求{<1.5}）求{+≤4}.【解】）由性質(zhì)有故

R

）

P{

f(x,yd(3)

P{

x

f(xd如圖

D

f(xd(4)

P{4}

X

f(x)dxd如圖b

D

f(x,)dx題圖6.設(shè)X和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為yf（Y

其他求：）XY的聯(lián)合分布密度；（2）{Y≤}.題圖【解】）因X（，0.2）上服從均勻分布，所以X的密度函數(shù)為而歐陽地創(chuàng)編

fx)fx)fx)所以(2)

y

f(x,xy圖D

25e

xdy7.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，）的聯(lián)合分布函數(shù)為x),0,yFx，y他求（XY）的聯(lián)合分布密度.【解】

(yf(,y)

x)

x0,他8.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，）的概率密度為fx，y求邊緣概率密度.

4.8y0xy,0,他.【解】題圖

f(x)dy

題圖9.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，）的概率密度為,xyfx，其他求邊緣概率密度.【解】

f(x)dy題10圖設(shè)二維隨機(jī)變量（，Y）的概率密度為2fx，

y,

其他歐陽地創(chuàng)編

其他.fx其他.fx)）試確定常數(shù)；）求邊緣概率密度【解】）

f(x,y)dx如xD得

.(2)

f(x)(y)dy11.隨機(jī)變量（，Y）的概率密度為yx,f（x，）=求條件概率密度（y｜x），f（x｜｜題圖【解】

f(x)dy所以中有五個(gè)號(hào)碼1，從中任取三個(gè)，記這三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，最大的號(hào)碼為Y）求X與Y聯(lián)合概率分布；）否相互獨(dú)立？【解】）與Y的聯(lián)合分布律如下表X

Y

P{X}iC31050

22C310515

33C3105235

310歐陽地創(chuàng)編

i歐陽地創(chuàng)編i0{Y}3i

11C2105

(2)因

P{{3}

661{Y101010010故X與Y獨(dú)立設(shè)二維隨機(jī)變量（，Y）的聯(lián)合分布律為Y0.40.8

X

50.300.12）求關(guān)于關(guān)于Y邊緣分布；）否相互獨(dú)立？【解】）和Y的邊緣分布如下表0.40.8P{x}i

20.2

5

8

{Y=y}0.80.2(2)P{P{Y0.4}0.80.160.15(0.4),

因故X與Y獨(dú)立14.X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為f（Y

/2

,

0,其他.）求Y聯(lián)合概率密度；）設(shè)含有a二次方程為a+2Xa+=0試求歐陽地創(chuàng)編

Y其.Y其.有實(shí)根的概率.【解】）因故

歐陽地創(chuàng)編xf(x)X他;

ye2,f()他f(,y)Y獨(dú)f()f()

/

x0,其題圖(2)方Xa有實(shí)根的條件是故從而方程有實(shí)根的概率為：

X≥，15.和Y分表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），并設(shè)X和相互獨(dú)立，且服從同一分，其概率密度為1000,x1000,x2fx求Z=/Y的概率密度【解】圖,Z分布函數(shù)

F(){}{}Z(1)當(dāng)≤0時(shí)，

(z)Z）當(dāng)0<<1，（這時(shí)當(dāng)=1000時(shí)y=(圖a)

z）歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編題15圖(3)當(dāng)≥1時(shí)，（這時(shí)當(dāng)y=10時(shí)，x=103）（如圖b）即

zf(),0其他1zz2f()他故

16.設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N，20

2

）分.機(jī)地選取4

只，求其中沒有一只壽命小于的概率.【解設(shè)這四只壽命為(=1,2,3,4)，則XN，ii202），從而17.設(shè)X，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其分布律分別為P{=}=（k，k=0，1，2，…，P{=r}=（r），=0，2，….證明隨機(jī)變量Z=+分布律為P{=i}=

ik

pk)q(i

，i=0，1，2，….歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編【證明】因XY所有可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以于是18.設(shè)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為n的二項(xiàng)分布證明=+服從參數(shù)為2，p二項(xiàng)分布【證明】方法一：+能取值為，2，…，2.方法二：設(shè),μ,…,;′,′,…，μ′12n12n均服從兩點(diǎn)分布（參數(shù)為p，則X=μ+μ12nY=μ′+…+′,12n

，X+=+μμ′+μ…+12n12′,n所以，X+Y從參數(shù)為（2n,p)的二項(xiàng)分布19.隨機(jī)變量（，Y）的分布律為

X

50.010.030.070.09

0.020.040.060.080.030.050.050.050.020.04(1)求{=2｜Y=2}，{Y=3｜=0}；）求=max（XY）的分布律；）求=min（XY）的分布律；）求=+分布律.歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編【解】）

P{

P{2}P{2}）

P

}{max(X,Y)}{X}{X,Y}所以分布律為V=max(Y)0P0

(3)于是

PU},Y}U=min(XY)P

(4)似上述過程，有=P0

20.雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X，）在屏幕上服從均勻分布.）求{＞0｜＞X}；）設(shè)M=max{，}，求P＞0}.題20圖【解】（X，Y）的聯(lián)合概率密度為）

P{|YX}

P{Y}P{YX}(2)

P{M0}{max()0}{max(,)21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線，x=1,x=e圍成，二維隨機(jī)變量（，Y）在區(qū)域D服從均勻分布，求（X，）關(guān)于X邊緣概率密度在=2的值為多少？歐陽地創(chuàng)編

X123i12j11111歐陽地創(chuàng)編X123i12j11111題21圖【解】區(qū)域面積為

S0

1

1x

dln

1

2.

（X,）的聯(lián)合密度函數(shù)為（XY）關(guān)于邊緣密度函數(shù)為所以

1f.422.隨機(jī)變量XY相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量（XY）聯(lián)合分布律及關(guān)于和Y邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值試將其余數(shù)值填入表中的空白處.X

y

P{X=}=

ixxP{=y}=

j

1/81/6

1/8

【解】因

2P{y}PP{xYy}jjiji

,故

PY}P{X1

y}{xYy},1從而

11P{Yy}6而X與Y立，故

{X

}P{Y}{Xx,Y}ijii

,從而

11P{}{Yy}624即：又

P{}1

111/2464{}P{y}{XxY}{Xx,Y},111歐陽地創(chuàng)編

即41,3222P{Y}2即41,3222P{Y}211{y},24從而

P{,Yy}13

112

.同理

13PY}P{Yy}28又

3j

P{y}j

111,33同理從而故

3P{}4

y1

y

2

y3

P{x}ii

14x

2

18

38

14

34{}pj

j

12

23.某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ的泊松分，每客在中途下車的概率為（0<p<1），且中途下車與否相互獨(dú)立，以表示在中途下車的人數(shù)，求：）在發(fā)車時(shí)有個(gè)乘客的條件下，中途有m人下車的概率；）二維隨機(jī)變量（XY）的概率分布【解】(1)

P{m|}mm(1p)

,0,

.(2)

{,Y}{}{m}歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編24.設(shè)隨機(jī)變量X和獨(dú)立，其中X的概率分布為X~

0.7

而

Y概率密度為f)，求隨機(jī)變量U=+概率密度().【解】（）是的分布函數(shù)，則由全概率公式，U=+分布函數(shù)為由于立，可見由此，得概率密度為25.25.設(shè)隨機(jī)變量與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間0,3]上的均勻分布，求P{max{,}解：因?yàn)殡S即變量服從[0，3]上的均勻分布，于是有因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以推得

P{max{}

19.26.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，）的概率分布為

X

01

0.20.10.20.1其中

a,,c

為常數(shù)，且

X

的數(shù)學(xué)期望E()=0.2,{Y≤0|≤0}=0.5，記Z=+Y求：）,,值；）概率分布；歐陽地創(chuàng)編

歐陽地創(chuàng)編）{=Z}.解(1)

由概率分布的性質(zhì)知，a+b+c+0.6=1即

a+b+c=0.4.由

(X)

，可得.再

由P{