第4章 連續(xù)系統(tǒng)1

第4章連續(xù)系統(tǒng)振動(dòng)理論及其應(yīng)用4.1引言4.2弦振動(dòng)4.3桿的縱向振動(dòng)4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

4.5梁的橫向振動(dòng)4.6薄板的橫向振動(dòng)4.7展開定理

4.8瑞利商4.9響應(yīng)分析4.10有限元法簡(jiǎn)介第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.1引言力學(xué)模型的組成

連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具由分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)簡(jiǎn)化、離散化自由度n趨向于無窮連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別

連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)自由度連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。描述系統(tǒng)的變量有限個(gè)無窮多個(gè)時(shí)間時(shí)間和空間位置微分方程二階常微分方程組偏微分方程組方程消去時(shí)間變量后代數(shù)方程組微分方程的邊值問題第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無質(zhì)量的弦聯(lián)接n個(gè)離散的質(zhì)量mi。每個(gè)質(zhì)量上所受的力為Fi質(zhì)量mi的受力分析如圖。對(duì)質(zhì)量mi在y方向的受力和加速度運(yùn)用牛頓第二定律：或由于弦兩端固定，因此有設(shè)或第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出或或兩邊除以Dxi當(dāng)質(zhì)量數(shù)無窮多時(shí)，Dxi趨近于零，方程可寫成其中，由于用x替換了變量xi，因此對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量比用對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)表示。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出設(shè)長度為L、兩端固定的弦上受均布載荷f(x,t)，弦上x處的張力與單位長度質(zhì)量密度分別為T(x)和r(x)。根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上y方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系質(zhì)量為rAdx的微段dx，隔離體受力分析圖展開、消去相關(guān)的項(xiàng)、略去dx的二次項(xiàng)，然后兩邊除以dx得或第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以Y(x)r(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀Y(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件Y(0)=Y(L)=0。解得F(t)上式為包含未知常數(shù)w2的二階常微分齊次方程，非平凡解Y(x)存在，且解中有兩個(gè)積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個(gè)。從方程可以看出，如果Y(x)是偏微分方程的解，那么a

Y(x)（a是任意常數(shù)）也是方程的解。這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數(shù)wi和對(duì)應(yīng)的函數(shù)Yi

(x)。與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，wi2稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而Yi

(x)稱為特征函數(shù)（主振型）。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題同樣地，與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，若特征函數(shù)Yi

(x)經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng)與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Yi

(x)（i=1,2,…）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的響應(yīng)。代入方程，兩邊左乘Yi

(x)，并對(duì)整個(gè)區(qū)間[0,L]積分，利用特征函數(shù)的正交性：解為常數(shù)Ci和j

i由初始條件得到。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)例4.1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。解由題意，系統(tǒng)的T和r為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Y(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件Y(0)＝0可得B=0,則由邊界條件Y(L)＝0可得由于A不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)例4.1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。特征函數(shù)為正交性驗(yàn)證由正則化要求正則化的特征函數(shù)第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)例4.1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證三角函數(shù)積化和差積分第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.2弦振動(dòng)自由振動(dòng)例4.1圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題，畫出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。正交性驗(yàn)證三角函數(shù)積化和差積分第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出設(shè)長度為L、兩端固定的桿上受均布軸向力f(x,t)，桿上x處的軸向剛度與單位長度質(zhì)量分別為E

A

(x)和m(x)。根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸的應(yīng)變成正比取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以U(x)m

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀U(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件U(0)=U(L)=0。解得F(t)與弦振動(dòng)的特征值問題作比較結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問題中的Y(x)、T(x)和r

(x)換作U(x)、EA(x)和m(x)就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問題表達(dá)式。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.2圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由邊界條件U(L)＝0可得由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.3圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫由x=0處的邊界條件可得a=0,則由x=L處的邊界條件可得由于b不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.4圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題討論作縱向振動(dòng)桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù)邊界狀況頻率振型函數(shù)兩端固定兩端自由一端固定一端自由第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.5設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的EA和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或固定端的邊界條件不變，U(0)＝0，而自由端有：代入整理得第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.5設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長度為L、單位長度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。對(duì)于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值wi

。特征方程由邊界條件U(0)＝0可得b=0,則從方程可知U(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫邊界條件由x＝L處的邊界條件得或特征函數(shù)為U

i為第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.3桿的縱向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題討論作縱向振動(dòng)桿邊界條件的討論邊界狀況左端右端固定自由帶有彈簧k帶有集中質(zhì)量M23三種邊界條件下桿的前3階固有振型

固有振型曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)固有振動(dòng)幅值在節(jié)點(diǎn)處為零。對(duì)于簡(jiǎn)單邊界條件的桿，第r階固有振型有r-1

個(gè)節(jié)點(diǎn)。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出設(shè)長度為L、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M(x,t)與軸的轉(zhuǎn)角q同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為G

IP

(x)和J(x)。根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之與軸的剪應(yīng)變成正比取桿的微段dx，隔離體受力分析圖或根據(jù)動(dòng)量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題方程邊界條件用分離變量法，設(shè)：代入方程：兩邊同除以Q

(x)J

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題從關(guān)于時(shí)間的方程從關(guān)于位置x的方程可以確定位移的形狀Q

(x)，它必須在區(qū)間0<x<L滿足方程及邊界條件。解得F(t)與弦振動(dòng)的特征值問題作比較結(jié)論只要把弦振動(dòng)特征值問題中的Y(x)、T(x)和r

(x)換作Q

(x)、GIP

(x)和J(x)就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問題表達(dá)式。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.6圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：且有從方程可知Q

(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫由邊界條件Q

(0)＝0可得b=0,則由于a不為零，必有特征方程特征值為或特征函數(shù)為由x=L處的邊界條件可得第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.7設(shè)圖示軸系由長度為L、單位長度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1和J1的剛性薄圓盤組成，整個(gè)軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。解由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：其中：或兩邊的邊界條件為：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題代入整理得例4.7邊界條件利用第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.7分離變量后的方程從方程可知Q

(x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫整理：或：頻率方程：設(shè)：頻率為：振型為：由邊界條可得：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.4桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.7討論1頻率為：頻率方程為：即：相當(dāng)于兩端自由的圓軸作自由振動(dòng)。振型為：討論2J1和J2很大相當(dāng)于忽略軸質(zhì)量的兩自由度系統(tǒng)的非零頻率。4－1設(shè)圖示軸系由長度為L、單位長度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2的剛性薄圓盤組成，軸系一端固定。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問題。第4章連續(xù)系統(tǒng)習(xí)題第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出設(shè)長度為L的細(xì)長梁（梁的長度與截面高度比大于10）上受y方向的均布載荷f(x,t)，梁的彎曲剛度與單位長度質(zhì)量分別為E

I

(x)和m(x)。取梁的微段dx，作隔離體受力分析圖根據(jù)牛頓第二定律，任一瞬時(shí)作用在梁微段上的剪力和外力與梁微段的加速度有如下關(guān)系根據(jù)梁微段的力矩平衡，有如下關(guān)系當(dāng)梁的截面尺寸與長度相比較小時(shí)，根據(jù)材料力學(xué)，梁的彎矩與變形的關(guān)系為忽略dx的二次項(xiàng)：代入上述力平衡方程，得第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)振動(dòng)微分方程從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出把彎矩M與位移y的關(guān)系代入方程，得梁的橫向振動(dòng)在0至L的區(qū)間應(yīng)滿足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含對(duì)位置的四階導(dǎo)數(shù)），在邊界應(yīng)滿足一定的邊界條件。常見的邊界條件有：固支鉸支自由第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)振動(dòng)微分方程旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響設(shè)長度為L的等截面梁上受y方向的均布載荷f(x,t)，梁的彎曲剛度、剪切模量、截面積和質(zhì)量密度分別為E

I

、G、A和r

。當(dāng)梁被橫截面細(xì)分成較短的部分時(shí)，旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形對(duì)高頻振型的影響必須考慮。取梁的微段dx，作隔離體受力分析圖。根據(jù)D’Alembert原理，忽略dx的二次項(xiàng)有如下關(guān)系：撓度曲線的斜率是剪力與彎矩共同作用的結(jié)果，即：式中：y為與截面形狀有關(guān)的因子。第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)振動(dòng)微分方程旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響將上述關(guān)系綜合并整理得：忽略剪切變形，得到僅考慮旋轉(zhuǎn)慣量的方程：系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)：Timoshenko梁振動(dòng)方程第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題對(duì)細(xì)長梁，方程為：設(shè)：兩邊同除以Y(x)m

(x)F(t)上述方程兩邊分別依賴于變量x和t，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為-w2：特征值問題為：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題解：由題意特征值問題為：例4.8圖示均勻細(xì)長梁兩端固定，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。其中，方程的解有以下形式：對(duì)固支的梁，邊界條件有：由四個(gè)邊界條件得：消去a、b、c、d、，可得：特征方程特征值由數(shù)值解獲得其中特征函數(shù)為第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題解：由題意特征值問題為：例4.9圖示均勻細(xì)長懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。其中，方程的解有以下形式：對(duì)懸臂梁，邊界條件有：由x=0處的邊界條件得：則Y(x)可改寫為：由x=L處的邊界條件得：a和b有非零解的充要條件為：整理得特征方程：從數(shù)值解得到特征值：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題例4.9圖示均勻懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問題。特征向量為：第4章連續(xù)系統(tǒng)

4.5梁的橫向振動(dòng)自由振動(dòng)特征值問題解：由題意特征值問題為：