第3章試驗(yàn)的方差分析

第3章試驗(yàn)的方差分析

方差分析（analysisofvariance，簡(jiǎn)稱ANOVA）檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性試驗(yàn)指標(biāo)（experimentalindex）衡量或考核試驗(yàn)效果的參數(shù)

因素（experimentalfactor）影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容

3.1單因素試驗(yàn)的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）3.1.1單因素試驗(yàn)方差分析基本問題（1）目的：檢驗(yàn)一個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：設(shè)某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗(yàn)判斷因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響

（3）單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表試驗(yàn)次數(shù)A1A2…Ai…Ar1x11x21…xi1…xr12x12x22…xi2…xr2…………………jx1jx2j…xij…xrj…………………nix1n1x2n2…xini…xrnr3.1.2單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟（1）計(jì)算平均值組內(nèi)平均值：總平均：（2）計(jì)算離差平方和①總離差平方和SST（sumofsquaresfortotal）表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異②組間離差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度由于因素A不同水平的不同作用造成的③組內(nèi)離差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生三種離差平方和之間關(guān)系：（3）計(jì)算自由度（degreeoffreedom）總自由度：dfT＝n－1組間自由度：dfA＝r－1組內(nèi)自由度：dfe＝n－r

三者關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe（4）計(jì)算平均平方均方＝離差平方和除以對(duì)應(yīng)的自由度MSA——組間均方MSe——組內(nèi)均方/誤差的均方（5）F檢驗(yàn)服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）對(duì)于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe)

如果FA＞F(dfA，dfe)，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響否則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響（6）方差分析表若FA＞F0.01(dfA，dfe)

，稱因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用“**”號(hào)表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA＜F0.01(dfA，dfe)

，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*”號(hào)表示；若FA＜F0.05(dfA，dfe)

，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著單因素試驗(yàn)的方差分析表差異源SSdfMSF顯著性組間（因素A）SSAr－1MSA＝SSA／（r－1）MSA／MSe組內(nèi)（誤差）SSen－rMSe＝SSe／（n－r）總和SSTn－1例3-1

：為考察溫度對(duì)某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了五種不同的溫度，在同一溫度下各做3次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。試問溫度對(duì)得率有無顯著影響。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）6065707580909796848492939683868892938882解：（1）計(jì)算平均值依題意，本例為單因素試驗(yàn)的方差分析，單因素為溫度，有5種水平，即r=5,在每種水平下做了3次試驗(yàn)，故ni=3(i=1,2,…5)，總試驗(yàn)次數(shù)n=15。有關(guān)平均值的計(jì)算如下表所示。溫度（℃）產(chǎn)品得率（%）試驗(yàn)次數(shù)組內(nèi)和Ti組內(nèi)平均總平均606570758090979684849293968386889293888233333270282285255252909495858489.6（2）計(jì)算離差平方和（3）計(jì)算自由度（4）計(jì)算均方（5）F檢驗(yàn)從分布表中查得F0.05(dfA,dfe)=F0.05(4,10)=3.48,F0.01(4,10)=5.99,所以FA>F0.05(4,10),FA>F0.01(4,10),因素A即溫度對(duì)產(chǎn)品得率有非常顯著的影響。差異源SSdfMSF顯著性溫度（組間）303.6475.915.2**誤差（組內(nèi)）50105.0總和353.614例3-1方差分析表例3-2：用火焰原子吸收光譜測(cè)定礦石中的鉍，研究酸度對(duì)吸光度的影響，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示。試由表中的數(shù)據(jù)評(píng)價(jià)酸度對(duì)吸光度的影響。含酸量/%吸光度和00.1400.1410.1440.42510.1520.1500.1560.1540.61220.1600.1580.1630.1610.64230.1750.1730.34840.1800.1840.1820.1860.732T2.Ti.T..差異源SSdfMSF顯著性組間0.0036940.000922173.64**組內(nèi)6.4×10-5125.31×10-6總和353.6143.1.3Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用利用Excel“分析工具庫”中的“單因素方差分析”工具3.2雙因素試驗(yàn)的方差分析討論兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”。3.2.1雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）基本命題

設(shè)在某試驗(yàn)中，有兩個(gè)因素A和B在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,在每一種組合水平(Ai,Bj)上做一次試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，所有xij相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布。因素B1B2…BsA1x11x12…x1sT1.A2x21x22…x2sT2.……………Arxr1xr2…xrsTr.T.1T.2T.sT..雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表表中，xij

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s)，其中，i表示A因素對(duì)應(yīng)的水平，j表示B因素對(duì)應(yīng)的水平，總試驗(yàn)次數(shù)n=rs。（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計(jì)算平均值總平均：

Ai水平時(shí)：

Bj水平時(shí)：②計(jì)算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：誤差平方和：③計(jì)算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④計(jì)算均方

⑤F檢驗(yàn)FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從自由度為（dfB,dfe)的F分布；對(duì)于給定的顯著性水平，查F分布表：F（dfA,dfe)，F(xiàn)（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，則因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；差異源SSdfMSF顯著性因素ASSAr－1因素BSSBs－1誤差SSe總和SSTrs－1⑥無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表例3-3：為了考察PH值和硫酸銅溶液濃度對(duì)化驗(yàn)血清中白蛋白與球蛋白的影響，對(duì)蒸餾水中的PH值（A）取了4個(gè)不同的水平，對(duì)硫酸銅溶液濃度（B）取了3個(gè)不同的水平，在不同水平組合下各測(cè)來了一次白蛋白與球蛋白之比，結(jié)果如下表所示，試檢驗(yàn)兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無顯著影響。PH值硫酸銅溶液濃度B1B2B3A13.52.32.0A22.62.01.9A32.01.51.2A41.40.80.3差異源SSdfMSF臨界值顯著性因素A5.28931.76340.954.757**因素B2.22221.11125.805.143**誤差0.25860.043總和7.76911

方差分析表根據(jù)上表，F(xiàn)A＞F0.01

(3,6)，F(xiàn)B＞F0.01(2,6)，P-value<0.01,因素A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果都有非常顯著的影響3.2.2雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）基本命題雙因素試驗(yàn)中，有時(shí)存在兩因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的聯(lián)合影響，即交互作用（A×B）。如果要檢驗(yàn)交互作用對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響是否顯著，則要求在兩個(gè)因素的每一個(gè)組合(Ai,Bj)上至少做2次試驗(yàn)。設(shè)在某試驗(yàn)中，有A，B兩個(gè)因素在變化，A有r種水平A1,A2,…,Ar,B有s種水平B1,B2,…,Bs,為研究交互作用A×B的影響，在每一種組合水平(Ai,Bj)上重復(fù)做c(c≥2)次試驗(yàn)(等重復(fù)性試驗(yàn))，每個(gè)試驗(yàn)值記為xijk

(i=1,2,…,r;j=1,2,…,s;k=1,2,…,c)。因素B1B2…BsA1…A2………………Ar…雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計(jì)算平均值總平均：任一組合水平（Ai，Bj）上：Ai水平時(shí)：Bj水平時(shí)：②計(jì)算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：交互作用A×B引起離差的平方和：誤差平方和：③計(jì)算自由度SSA的自由度：dfA＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe④計(jì)算均方⑤F檢驗(yàn)若FA＞F

（dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則認(rèn)為因素B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FA×B＞F

（dfA×B,dfe)，則認(rèn)為交互作用A×B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響。⑥重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表3.2.3Excel在雙因素方差分析中的應(yīng)用（1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析利用“分析工具庫”中的“無重復(fù)雙因素方差分析”工具（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析利用“分析工具庫”中的“重復(fù)雙因素方