第一章-3 條件概率

§5條件概率條件概率乘法公式全概率公式貝葉斯公式

在解決許多概率問題時(shí)，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件A發(fā)生的條件下求事件B發(fā)生的概率，將此概率記作P(B|A).

一般地P(B|A)≠P(B)

P(B)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，B={擲出2點(diǎn)}，

A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}，P(B|A)=？擲骰子

已知事件A發(fā)生，此時(shí)試驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合就是A，

P(B|A)=1/3.A中共有3個(gè)元素,它們的出現(xiàn)是等可能的,其中只有1個(gè)在集A中.容易看到P(B|A)于是事實(shí)上，對(duì)于古典概型，設(shè)樣本空間S包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含m個(gè)樣本點(diǎn)，事件AB包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則S同理，對(duì)于幾何概型S設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件A發(fā)生的條件下,事件B的條件概率.條件概率P(B|A)與P(B)的區(qū)別

每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的,設(shè)B是隨機(jī)試驗(yàn)的一個(gè)事件，則P(B)是在該試驗(yàn)條件下事件B發(fā)生的可能性大小.P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同,它們是兩個(gè)不同的概念,在數(shù)值上一般也不同.

而條件概率P(B|A)是在原條件下又添加“A發(fā)生”這個(gè)條件時(shí)B發(fā)生的可能性大小,即P(B|A)仍是概率.3.條件概率的性質(zhì)

非負(fù)性

規(guī)范性

可列可加性

2)從加入條件后改變了的情況去算4.條件概率的計(jì)算1)用定義計(jì)算:P(A)>0

擲骰子例：B={擲出2

點(diǎn)}，

A={擲出偶數(shù)點(diǎn)}P(B|A）=A發(fā)生后的縮減樣本空間所含樣本點(diǎn)總數(shù)在縮減樣本空間中B所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)

例1

擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點(diǎn),問“擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10”的概率是多少?解法1解法2解設(shè)B={擲出點(diǎn)數(shù)之和不小于10}A={第一顆擲出6點(diǎn)}應(yīng)用定義在A發(fā)生后的縮減樣本空間中計(jì)算由條件概率的定義：即若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A)(2)而P(AB)=P(BA)二、乘法公式若已知P(A),P(B|A)時(shí),可以反求P(AB).將A、B的位置對(duì)調(diào)，有故P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B)(3)若

P(B)>0,則P(BA)=P(B)P(A|B)

(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率注意P(AB)與P(A|B)的區(qū)別！請(qǐng)看下面的例子

例2

甲、乙兩廠共同生產(chǎn)1000個(gè)零件，其中300件是乙廠生產(chǎn)的.而在這300個(gè)零件中，有189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件，現(xiàn)從這1000個(gè)零件中任取一個(gè)，問這個(gè)零件是乙廠生產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少？所求為P(AB).甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)},A={是標(biāo)準(zhǔn)件}所求為P(AB).設(shè)B={零件是乙廠生產(chǎn)}A={是標(biāo)準(zhǔn)件}若改為“發(fā)現(xiàn)它是乙廠生產(chǎn)的,問它是標(biāo)準(zhǔn)件的概率是多少?”求的是P(A|B).B發(fā)生,在P(AB)中作為結(jié)果;在P(A|B)中作為條件.甲、乙共生產(chǎn)1000個(gè)189個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)件300個(gè)乙廠生產(chǎn)300個(gè)乙廠生產(chǎn)乘法公式應(yīng)用舉例

一個(gè)罐子中包含r個(gè)紅球和t個(gè)白球.隨機(jī)地抽取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)a個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.這種抽取進(jìn)行四次，試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.

例3（波里亞罐子模型）r個(gè)紅球,t個(gè)白球r個(gè)紅球,t個(gè)白球

隨機(jī)取一個(gè)球，觀看顏色后放回罐中，并且再加進(jìn)a個(gè)與所抽出的球具有相同顏色的球.={第i次取出是白球}，i=1,2,3,4

解設(shè)={第i次取出是紅球},i=1,2,3,4

表示事件“連續(xù)取四個(gè)球，第一、第二個(gè)是紅球，第三、四個(gè)是白球.”

用乘法公式容易求出

當(dāng)a>0時(shí)，由于每次取出球后會(huì)增加下一次也取到同色球的概率.這是一個(gè)傳染病模型.每次發(fā)現(xiàn)一個(gè)傳染病患者，都會(huì)增加再傳染的概率.例5

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.解以B表示事件“透鏡落下三次而未打破”.

有三個(gè)箱子,分別編號(hào)為1,2,3.1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球,3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Bi={球取自i號(hào)箱},

i=1,2,3;

A={取得紅球}A發(fā)生總是伴隨著B1，B2，B3之一同時(shí)發(fā)生，123其中B1、B2、B3兩兩互斥看一個(gè)例子:三、全概率公式

將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式.對(duì)求和中的每一項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)代入數(shù)據(jù)計(jì)算得：P(A)=8/15運(yùn)用加法公式得到即A=AB1+AB2+AB3，

且AB1、AB2、AB3

兩兩互斥一個(gè)事件發(fā)生.B1BnAB1AB2ABnAB2全概率公式的應(yīng)用：在計(jì)算某一較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，有時(shí)根據(jù)事件在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生而將它分解成兩個(gè)或若干互不相容的部分的并，分別計(jì)算概率，然后求和.全概率公式使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題化繁就簡(jiǎn)，得以解決.

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)全概率公式.我們還可以從下面這個(gè)角度去理解

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因A是結(jié)果每一原因Bi發(fā)生的概率P(Bi)已知，其對(duì)結(jié)果A的影響程度P(A|Bi)已知例6

人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化，往往會(huì)去分析影響股票的基本因素，比如利率的變化.現(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),人們估計(jì)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價(jià)格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率.解:記為事件“利率下調(diào)”，那么即為“利率不變”，記為事件“股票價(jià)格上漲”.

據(jù)題設(shè)知=60%80%+40%40%=64%例7

某產(chǎn)品成箱包裝，10件一箱，其中含次品有0,1,2三種等可能情況?，F(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)合格，則認(rèn)為這箱產(chǎn)品合格。在檢驗(yàn)過程中，由于技術(shù)原因，將正品誤判為次品的概率為2%，而將次品誤判為正品的概率為5%，求一箱產(chǎn)品被判為合格的概率。解：設(shè)Ai={箱中有i件次品}，i=0,1,2

A={產(chǎn)品被判為合格}

B={取出的一件產(chǎn)品為正品}

則P(A)=P(B)P(A|B)+測(cè)為正品正品次品BAP(B)=?P(Ai)=1/3，i=0,1,2P(B|A0)=10/10=1,P(B|A1)=9/10

P(B|A2)=8/10A0012A1A2正品B被調(diào)查者只需回答其中一個(gè)問題至于回答哪一個(gè)問題由被調(diào)查者事先從一個(gè)罐中隨機(jī)抽取一只球，看過顏色后再放回，若抽出白球則回答問題1；若抽出紅球則回答問題2，罐中只有白球與紅球，且紅球的比率是已知的，即例8

(敏感性問題的調(diào)查)

學(xué)生考試作弊會(huì)嚴(yán)重影響學(xué)風(fēng)和大學(xué)生身心健康發(fā)展，但這些都是避著教師進(jìn)行的，屬于不光彩行為，要調(diào)查考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率P是一件難事，這里關(guān)鍵是要設(shè)計(jì)一個(gè)調(diào)查方案，使被調(diào)查者愿意作出真實(shí)回答又能保守個(gè)人秘密，經(jīng)過多年研究與實(shí)踐，一些心理學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家設(shè)計(jì)了一種調(diào)查方案，這個(gè)方案的核心是如下兩個(gè)問題。問題1：你的生日是否在7月1日之前？問題2：你是否在考試時(shí)作過弊？

P(紅球)=π

，P(白球)=1-π被調(diào)查者無論回答問題1還是問題2，只需在下面答卷上認(rèn)可的方框內(nèi)打勾，然后將答卷放入一只密封的投票箱內(nèi).是否

答案

上述抽球與答卷都是在一間無人的房間內(nèi)進(jìn)行的，任何外人都不知道調(diào)查者抽到什么顏色的球和在什么地方打勾，P(是)=k/n，這里答“是”有兩種情況：一種是摸到白球后回答問題1答“是”，這是一個(gè)條件概率，它是“生日是否在7月1日之前”的概率，一般認(rèn)為是0.5，即

如果向被調(diào)查者講清楚這個(gè)方案的做法，并嚴(yán)格執(zhí)行，那么就容易被調(diào)查者確信他（她）參加這次調(diào)查不會(huì)泄露個(gè)人秘密，從而愿意參加調(diào)查.

當(dāng)有較多的人參加調(diào)查后，就可以打開投票箱進(jìn)行統(tǒng)計(jì).設(shè)有n張答卷，其中k張答“是”，于是回答“是”的概率是，可用頻率去估計(jì)，記為

P(是|白球）=0.5

另一種是摸到紅球后回答問題2答“是”，這也是一個(gè)條件概率，即是考試作弊同學(xué)在全體學(xué)生中所占比率p

，即

P(是|紅球)=p最后利用全概率公式把上述各項(xiàng)概率（或其估計(jì)值）聯(lián)系起來

P(是)=P(是|白球)×P(白球)+P(是|紅球)×P(紅球)由此可獲得感興趣的比率p

=該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?

這一類問題是“已知結(jié)果求原因”.在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生條件下，探求各原因發(fā)生可能性大小.

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.1231紅4白或者問:四、貝葉斯公式看一個(gè)例子:接下來我們介紹為解決這類問題而引出的貝葉斯公式某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率.記Bi={球取自i號(hào)箱},i=1,2,3;

A={取得紅球}求P(B1|A)運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)將這里得到的公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?乘法定理?xiàng)l件概率

該公式于1763年由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.Bayes公式的使用我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，

如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第i個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用.

它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件A）發(fā)生的最可能原因.

例9

某一地區(qū)患有癌癥的人占0.005，患者對(duì)一種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對(duì)這種試驗(yàn)反應(yīng)是陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個(gè)人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問此人是癌癥患者的概率有多大?則表示“抽查的人不患癌癥”.已知

P(C)=0.005,P()=0.995,

P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下:設(shè)C={抽查的人患有癌癥}，

A={試驗(yàn)結(jié)果是陽性}，求P(C|A).現(xiàn)在來分析一下結(jié)果的意義.由貝葉斯公式，可得代入數(shù)據(jù)計(jì)算得P(C｜A)=0.10662.檢出陽性是否一定患有癌癥?1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有無意義？

如果不做試驗(yàn),抽查一人,他是患者的概率患者陽性反應(yīng)的概率是0.95，若試驗(yàn)后得陽性反應(yīng)則根據(jù)試驗(yàn)得來的信息，此人是患者的概率為從0.005增加到0.1066,將近增加約21倍.1.這種試驗(yàn)對(duì)于診斷一個(gè)人是否患有癌癥有意義.P(C｜A)=0.1066

P(C)=0.005

試驗(yàn)結(jié)果為陽性,此人確患癌癥的概率為

P(C｜A)=0.10662.即使你檢出陽性，尚可不必過早下結(jié)論你有癌癥，這種可能性只有10.66%(平均來說，1000個(gè)人中大約只有107人確患癌癥)，此時(shí)醫(yī)生常要通過再試驗(yàn)來確認(rèn).

P(Bi)(i=1,2,…,n)是在沒有進(jìn)一步信息（不知道事件B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí).當(dāng)有了新的信息（知道A發(fā)生），人們對(duì)諸事件發(fā)生可能性大小P(Bi|A)有了新的估計(jì).貝葉斯公式從概率上刻劃了這種變化

在貝葉斯公式中，P(Bi)和P(Bi|A)分別稱為原因的前驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率.

例10

某電子設(shè)備制造廠所用的晶體管是由三家元件廠提供的。根據(jù)以往的記錄有以下的數(shù)據(jù)。元件制造廠次品率

提供晶體管的份額

10.02

0.1520.01

0.8030.03

0.05SB1B2B3A

設(shè)這三家工廠的產(chǎn)品在倉庫中是均勻混合的，且無區(qū)別的標(biāo)志。（1）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，求它是次品的概率。（2）在倉庫中隨機(jī)的取一只晶體管，若已知取到的是次品試分析此次品出自那家工廠的可能性最大。

解：設(shè)A

表示“取到的是一只次品”，Bi

(

i=1,2,3)表示“取到的產(chǎn)品是由第i家工廠提供的”,例10（續(xù)）元件制造廠次品率

提供晶體管的份額

10.02×0.1520.01×0.8030.03×0.05全概率公式貝葉斯公式元件制造廠

1