第6章萬(wàn)有引力定律

§6.1開普勒定律§6.2萬(wàn)有引力定律·兩種質(zhì)量§6.3引力勢(shì)能§6.4潮汐第六章萬(wàn)有引力定律開普勒定律1609,1609,1619;1687牛頓定律，萬(wàn)有引力距離平方反比1.發(fā)展史§6.1開普勒定律第六章萬(wàn)有引力定律2.行星運(yùn)動(dòng)的開普勒定律(1609,1609,1619;1687牛頓定律)

(1)軌道定律每個(gè)行星都各在以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓軌道上運(yùn)動(dòng).(2)面積定律由太陽(yáng)到行星的矢徑,在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積.太陽(yáng)近日點(diǎn)遠(yuǎn)日點(diǎn)這一常量對(duì)所有行星均相同(嚴(yán)格說應(yīng)略有差異)僅與太陽(yáng)性質(zhì)有關(guān),稱開普勒常數(shù).(3)周期定律行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道半長(zhǎng)軸a的立方與周期T的平方之比為常量.第一定律可由求軌道方程直接證明（橢圓）；開普勒定律所描述的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于日心—恒星參考系的.（具體求解見理論力學(xué)：有心力，平面極坐標(biāo)，F(xiàn)=ma，橢圓軌道方程；向心力；求面積兩方法。）

第二定律則是角動(dòng)量守恒的直接結(jié)果（面積）；第三定律可由軌道方程和角動(dòng)量定理得到證明.§6.2萬(wàn)有引力定律·

引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量§6.2.1萬(wàn)有引力定律§6.2.2引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量§6.2.3引力常數(shù)的測(cè)量§6.2.4地球自轉(zhuǎn)對(duì)重量的影響§6.2.5牛頓萬(wàn)有引力定律的適用范圍§6.2萬(wàn)有引力定律·

引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量§6.2.1萬(wàn)有引力定律1.引力思想的發(fā)展是什么原因使行星在各自的軌道上繞日運(yùn)動(dòng)?

經(jīng)過前人的努力，萬(wàn)有引力定律的思想準(zhǔn)備已經(jīng)基本成熟，是牛頓建立了萬(wàn)有引力定律.2.萬(wàn)有引力定律

設(shè)行星繞太陽(yáng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從開普勒定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律出發(fā)論證萬(wàn)有引力定律.由開普勒第三定律行星向心加速僅與施力物體(太陽(yáng))性質(zhì)有關(guān).設(shè)月球繞地心運(yùn)動(dòng)，地球上物體和月球的向心加速度C2僅與施力物體(地球)性質(zhì)有關(guān).設(shè)an是由相互作用力引起并與該力成正比，則有由牛頓第三定律施力是相互的。所以C應(yīng)與兩物體性質(zhì)有關(guān)。用m1

和m2分別表征各物體有引力作用的性質(zhì)，稱引力質(zhì)量.所以引入比例常數(shù)G——萬(wàn)有引力定律

任何兩物體間均存在相互吸引力.若物體可視作質(zhì)點(diǎn)，則二質(zhì)點(diǎn)的相互引力F沿二質(zhì)點(diǎn)的連線作用.

萬(wàn)有引力定律本來是對(duì)質(zhì)點(diǎn)而言的，但可證明，對(duì)于兩個(gè)質(zhì)量均勻分布的球體，它們之間的萬(wàn)有引力也可用此定律計(jì)算.m1m2

若物體的線度與它們間的距離可相比擬時(shí)，這時(shí)物體不能視作質(zhì)點(diǎn)，需將物體分成許多小部分，使每一部分都能視作質(zhì)點(diǎn)，利用上式求出物體1各小部分與物體2各小部分之間的引力，每個(gè)物體所受的引力等于其各部分所受引力的矢量和.用“分割”方法計(jì)算兩物體間的萬(wàn)有引力.月球在軌道受萬(wàn)有引力應(yīng)約為設(shè)月球在地球表面，受萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力定律最初在地球—月球系統(tǒng)得到檢驗(yàn).月球在軌道上因受地球引力得到的加速度為也是月球環(huán)繞地球的向心加速度.

應(yīng)用萬(wàn)有引力定律取得成功的例子.解釋天體現(xiàn)象如哈雷彗星、地球的扁形，預(yù)測(cè)海王星、冥王星等.又由牛頓定律（月地距離R，月球繞地球周期T）與引力推算結(jié)果一致.§6.2.2引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量引力質(zhì)量——引力大小的量度.

引力質(zhì)量和作為慣性大小量度的慣性質(zhì)量含義并不相同.最簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)是在地面同一地點(diǎn)測(cè)定各種物體的重力加速度.引力質(zhì)量為m1的物體受地球的引力為二者之間的關(guān)系？引力質(zhì)量為m2的物體受地球的引力為在同一地點(diǎn)，二質(zhì)自由下落加速度分別為g1和g2

由牛頓第二定律有實(shí)驗(yàn)表明,同一地點(diǎn)各種物體的重力加速度相等,即代入上式得更精確的實(shí)驗(yàn)證明是厄缶實(shí)驗(yàn)及以后的改進(jìn)實(shí)驗(yàn).選適當(dāng)G值可使關(guān)鍵是同一地點(diǎn)各種物體的重力加速度是否相等？牛頓單擺實(shí)驗(yàn)即慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量等價(jià).§6.2.3引力常數(shù)的測(cè)量英國(guó)卡文迪什(H.Cavendish)利用扭稱測(cè)得1991年舒爾(J.Schurr)報(bào)道為1999年華中科技大學(xué)羅俊領(lǐng)導(dǎo)的引力實(shí)驗(yàn)室利用扭擺測(cè)得§6.2.4地球自轉(zhuǎn)對(duì)重量的影響

若將地球視為慣性系，物體重力即是地球與物體的萬(wàn)有引力.

地球不是嚴(yán)格的慣性系，物體重力是地球萬(wàn)有引力與離心慣性力的矢量和.1.重力偏離引力的角度將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)懸掛于線的末端且相對(duì)于地球靜止.受力如下頁(yè)圖所示.可求重力與萬(wàn)有引力的方向、大小差異。平衡方程重力O

R離心慣性力如圖由正弦定理很小,2.重力與緯度的關(guān)系由正弦定理將代入上式得括號(hào)內(nèi)后一項(xiàng)是小量，所以即重量隨緯度變化的定量式且但W相差很小所以引力是重力的主要成分.因引力與重力角度和大小都相差很?。▇0.1%）,因而故可將地球視為慣性系.§6.2.5牛頓萬(wàn)有引力定律的適用范圍

牛頓引力定律不能解釋水星軌道的旋進(jìn)，需用廣義相對(duì)論解釋之.近日點(diǎn)太陽(yáng)水星由于旋進(jìn)，火星繞日軌道不再封閉

萬(wàn)有引力是超距作用，還是通過引力場(chǎng)作用?電磁場(chǎng)是以光子為媒介.引力場(chǎng)呢？是以引力子為媒介？引力子為何物？尚在探索.水星相繼兩次通過近日點(diǎn)時(shí)，其位矢掃過的角度大于2pi，總觀測(cè)值為每百年前移5600.73″。按牛頓力學(xué)關(guān)于行星的攝動(dòng)理論及歲差等因素，可以算出引起該項(xiàng)進(jìn)動(dòng)的理論值應(yīng)為每百年5557.62″,這比觀測(cè)值少了43.11″，~0.8%。愛因斯坦指出，需考慮太陽(yáng)近旁的時(shí)空彎曲效應(yīng)，廣義相對(duì)論預(yù)期算出水星每百年還有額外的43.03″進(jìn)動(dòng)，這與實(shí)測(cè)結(jié)果每百年差43.11″±0.45″符合得很好。水星太陽(yáng)金星地球橢圓軌道近日點(diǎn)水星近日點(diǎn)的進(jìn)動(dòng)（旋進(jìn)）位矢牛頓萬(wàn)有引力定律適用于——弱場(chǎng)低速.c是光速，m是產(chǎn)生引力場(chǎng)球體質(zhì)量.Rg是引力半徑用R表示產(chǎn)生引力場(chǎng)球體半徑，可用牛頓萬(wàn)有引力定律數(shù)學(xué)式太陽(yáng)白矮星中子星可用牛頓萬(wàn)有引力定律,可用牛頓萬(wàn)有引力定律,用廣義相對(duì)論.§6.3引力勢(shì)能§6.31引力勢(shì)能§6.3.2三種宇宙速度萬(wàn)有引力的功（見以前勢(shì)能部分）作功僅與起始位置有關(guān)，是保守力.§6.3引力勢(shì)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)m′

在m的引力場(chǎng)中從r0處運(yùn)動(dòng)到r處，§6.31引力勢(shì)能第一宇宙速度——物體可以環(huán)繞地球表面運(yùn)行所需的最小速度(環(huán)繞速度).以下計(jì)算均不計(jì)空氣阻力等次要因素.§6.3.2三種宇宙速度第二宇宙速度——逃脫地球引力所需要的從地面出發(fā)的最小速度(脫離速度).第二宇宙速度與第一宇宙速度的關(guān)系是第三宇宙速度——是使物體脫離太陽(yáng)系所需的最小速度(逃逸速度).設(shè)質(zhì)點(diǎn)以第三宇宙速度拋出時(shí)，其動(dòng)能為這個(gè)動(dòng)能包含兩部分，即脫離地球引力所需的動(dòng)能Ek1

和脫離太陽(yáng)系所需的動(dòng)能Ek2

：而地球公轉(zhuǎn)動(dòng)速率v=29.8km/s，求脫離太陽(yáng)系所需的動(dòng)能Ek2.由類比質(zhì)點(diǎn)脫離太陽(yáng)引力所需速率應(yīng)該是設(shè)準(zhǔn)備飛出太陽(yáng)系的質(zhì)點(diǎn)的發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)的方向相同，射出的質(zhì)點(diǎn)在離開地球時(shí)相對(duì)地球速率為與此相對(duì)的動(dòng)能為既能擺脫地球引力又能擺脫太陽(yáng)引力所需要的總能為即第三宇宙速度拋體以不同速度拋出時(shí)不同類型的運(yùn)動(dòng)軌跡.v=v1v<v2v=v2v>v2§6.4潮汐§6.4.1月球?qū)Ｑ蟪毕挠绊憽?.4.2太陽(yáng)對(duì)海洋潮汐的影響漲潮和退潮

潮汐現(xiàn)象利用平移慣性力可解釋潮汐現(xiàn)象問題：(2)為什么潮汐同時(shí)在向月和背月側(cè)發(fā)生？(1)為什么月球?qū)Τ毕挠绊懕忍?yáng)大？?jī)纱胃叱焙蛢纱蔚统薄３毕呛Ｋ闹芷谛詽q落現(xiàn)象.“晝漲成潮，夜?jié)q成汐”.§6.4潮汐這種現(xiàn)象牛頓首先給出了正確的說明，它是月亮、太陽(yáng)對(duì)海水的引力以及地球公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)的結(jié)果.設(shè)海水覆蓋整個(gè)地球表面.

地月繞二者的共同質(zhì)心C轉(zhuǎn)，視C為原點(diǎn)，建坐標(biāo)軸指向恒星的慣性坐標(biāo)系Cxy，以地心C′為原點(diǎn)建坐標(biāo)系C′x′y′，Cxy與C′x′y′各坐標(biāo)軸保持平行，即C′

繞C平動(dòng).設(shè)水相對(duì)C′

靜止.§6.4.1月球?qū)Ｑ蟪毕挠绊慍為地月質(zhì)心C′為地心C′繞C平動(dòng)因?yàn)槠絼?dòng)，各單位質(zhì)量水與地心處單位質(zhì)量物體所受向心力相同.yxCm月球Cm單位質(zhì)量物質(zhì)在各處所受月球的引力不同.Cm正是月球引力的作用產(chǎn)生潮汐.CmABDEP單位質(zhì)量物體受到的引潮力地面上單位質(zhì)量物體受到的月球引力F’有兩效果，一是向心力Fc，另一是產(chǎn)生潮汐，月球引潮力F定義為PG、m和d分別表示萬(wàn)有引力常數(shù)、月球質(zhì)量和地心月心距離.向心力dlmQ考慮如圖中Q點(diǎn)處單位體元物質(zhì)所受引潮力.將引潮力向Q處豎直方向投影，得豎直力Fv使海水“漲起、跌落”；水平分量FH造成海水的“潮流”.現(xiàn)考察兩個(gè)特殊點(diǎn)：離月亮最近點(diǎn)A和最遠(yuǎn)點(diǎn)BmABOxR地球半徑水平方向投影，得FAx

FBx就是在地球上觀察到的“引潮力”它將使該處海水凸起形成漲潮.A點(diǎn)B點(diǎn)同理得背向地心背向地心CmABDEP

分析可知在D、E處引力潮相等且指向地心，在該處，迫使海水“跌落”.

一般說來，一晝夜中海水將依次處于A、B、E、D方向，因此形成兩次落潮，兩次漲潮.太陽(yáng)引潮力還不及月球引潮力的一半.§6.4.2太陽(yáng)對(duì)海洋潮汐的影響

如果引力源的質(zhì)量很大，當(dāng)另一星體靠近它運(yùn)行時(shí)，由于距離很小，引潮力可能大到將該星體撕碎。1994年的天文奇觀——休梅克一列維9號(hào)彗星撞擊木星時(shí)，彗星是以20余塊碎塊撞到木星上的.這些碎塊就是該彗星在靠近木星時(shí)被引潮力撕碎而形成的.解釋：在地球上分析：海水除了受月亮(太陽(yáng))的引力外還需考慮地球是個(gè)非慣性系的慣性力在質(zhì)量較大的運(yùn)動(dòng)空間中由于月球（太陽(yáng)）引力強(qiáng)度不同（存在引力梯度）從而質(zhì)點(diǎn)的‘合力’不同整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系就會(huì)發(fā)生形變以月球引力變化為例圖示定性說明假設(shè)平移慣性力強(qiáng)度處處相等注意：平移慣性力為月亮引力在質(zhì)點(diǎn)與月亮的連線方向示意地球表面海水形狀引潮力rrRCCx地球月球mF慣

F引地-月系統(tǒng)引潮力在地表分布：

地球自轉(zhuǎn)，一晝夜有兩個(gè)高峰和兩個(gè)低谷掃過每一個(gè)地方，形成兩次高潮和兩次低潮。Cxyq=0、—背離地心，形成海水的兩個(gè)高峰。=/2—指向地心，形成海水低谷。所以，潮汐主要由月球引力引起！月球引潮力是太陽(yáng)引潮力的2.18倍：地地經(jīng)計(jì)算,太陽(yáng)引起的潮高：月亮引起的潮高：一般情況下，hS和hM是矢量相加的，只有太陽(yáng)、地球和月亮幾乎在同一直線上時(shí)，二者才是算術(shù)相加的。地球月亮漲潮落潮月球?qū)Φ孛嫔虾Ｋ囊绷β涑睗q潮月月日地地大潮小潮大潮與小潮日引潮力常觸發(fā)地震地震常發(fā)生于陰歷初一、十五附近（大潮期），如：76.陰7.2,唐山93.陰8.15,印度95.陰12.17,神戶▲固體潮（形變）：月變形滯后,造成地球?qū)υ虑蛞?阻止月球自轉(zhuǎn)··地球●使月球自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)周期最終達(dá)到一致。影響：●使地球自轉(zhuǎn)變慢?！袷菇咏笮求w的小星體被引潮力撕碎?；L(zhǎng)線判斷：3億年前，一年約400天。由植物年輪，珊瑚和牡蠣如SL─9慧星被木星引潮力撕碎（199