第六節(jié)分段低次插值

§6分段低次插值多項(xiàng)式插值的問題前面根據(jù)區(qū)間[a,b]上給出的節(jié)點(diǎn)做插值多項(xiàng)式Ln(x)近似

f(x),一般總認(rèn)為L(zhǎng)n(x)次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好，但實(shí)際上并非如此。這是因?yàn)閷?duì)任意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)∞→n時(shí)，Ln(x)

不一定收斂到f(x)，本世紀(jì)初龍格（Runge）就給出了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式Ln(x)

不收斂的f(x)

的例子。設(shè)函數(shù)為它在[?5,5]上各階導(dǎo)數(shù)均存在，在[?5,5]上取

n+1個(gè)等距節(jié)點(diǎn)xI=-5+10i/n,(i=0,1,…,n)

所構(gòu)造的拉格朗日插值多項(xiàng)式1拉格朗日插值多項(xiàng)式因此隨著插值結(jié)點(diǎn)數(shù)增加，插值多項(xiàng)式的次數(shù)也相應(yīng)增加，而對(duì)于高次插值容易帶來劇烈振蕩，帶來數(shù)值不穩(wěn)定。為了既要增加插值結(jié)點(diǎn)，減小插值區(qū)間，以便更好的逼近被插值函數(shù)，又要不增加插值多項(xiàng)式的次數(shù)以減少誤差，我們可以采用分段插值的辦法。見P45只在內(nèi)收斂，而在這區(qū)間外是發(fā)散的2分段線性插值所謂分段線性插值就是通過插值點(diǎn)用折線段連接起來逼f(x)。設(shè)已知節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b,

及相應(yīng)的函數(shù)值f0,f1,…,fn,

求一折線函數(shù)

Ih

(x)滿足：則稱為分段線性插值函數(shù)3由定義可知Ih

(x)在每個(gè)小區(qū)間[xk

,xk+1]上可表示為若用插值基函數(shù)表示，則在整個(gè)區(qū)間[a,b]上為4其中基函數(shù)

lj(x)滿足條件lj(xk)=δjk

(j,k=0,1,2,…,n)其形式是5對(duì)于分段線性插值的余項(xiàng)估計(jì)有下列結(jié)果：定理6.3

設(shè)給定節(jié)點(diǎn)為a=x0＜x1＜…＜xn=b,f(xi)=yi,

f”(x)在［a,b］上存在,則對(duì)任意的x∈[a,b]有:分段線性插值基函數(shù)lj(x)只在

xj附近不為零，在其他地方均為零，這種性質(zhì)稱為局部非零性質(zhì)。6收斂性證明：當(dāng)x屬于[xk

,xk+1]時(shí)故又現(xiàn)在要證明考慮7這里ω(h)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)模，即對(duì)任意兩點(diǎn)

x′,x″∈[a,b]，只要

|x′?x″|≤h

，就有|f(x′)

?f(x″)|≤(h)稱ω(h)為在f(x)在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)模，當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，就有由前式可知，當(dāng)x∈[a,b]時(shí)，有因此，只要f(x)∈C[a,b]，就有在[a,b]上一致成立，故Ih(x)在[a,b]上一致收斂到f(x)。8分段三次埃爾米特插值分段線性插值函數(shù)Ih

(x)

的導(dǎo)數(shù)是間斷的，若在節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,…,n)上除已知函數(shù)值fk外還給出導(dǎo)數(shù)值這樣就可構(gòu)造一個(gè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)Ih

(x)

,它滿足條件:代表區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)集合）在每個(gè)小區(qū)間上是三次多項(xiàng)式9由兩點(diǎn)三次hermite

插值多項(xiàng)式?？芍琁h

(x)在區(qū)間[xk

,

xk

+1]上的表達(dá)式為若在整個(gè)區(qū)間[a,b]上定義一組分段三次插值基函數(shù)αj(x)及βj(x)

(j

=0,1,…,n)

，10則Ih

(x)可表示為其中其中αj(x)及βj(x)分別表示為111213收斂性證明:由于αj(x),βj(x)的局部非零性質(zhì)，當(dāng)x∈[xk

,

xk+1]時(shí)于是Ih

(x)

可表為為了研究Ih

(x)

的收斂性，由αj(x),βj(x)直接得估計(jì)式14當(dāng)x∈[xk

,

xk+1]時(shí)于是有即對(duì)x∈[a,b]成立,其中

ω(h)是

f(x)在[a,b