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第三章解線性方程組的迭代法迭代法:用某種極限過程去逐步逼近方程組的精確解,優(yōu)點(diǎn)是需要計(jì)算機(jī)的存儲單元少,程序設(shè)計(jì)簡單,原始系數(shù)矩陣在計(jì)算機(jī)中始終不變,但存在收斂性和收斂速度等問題。它是解大型稀疏系數(shù)矩陣方程組的有效方法。迭代的向量序列(收斂到方程組的精確解)作足夠多的有限次迭代,得到滿足精度要求的近似解要解決的主要問題1.如何構(gòu)造迭代公式從而產(chǎn)生迭代向量序列2.向量序列是否收斂到精確解的判別3.即使收斂,收斂的速度又如何4.誤差估計(jì)迭代公式構(gòu)造的一般思路要解的方程組同解的方程組迭代公式注:稱作一階線性定常迭代公式,稱作迭代矩陣向量序列與矩陣序列的收斂性:§1雅可比(Jacobi)迭代法即記Jacobi迭代矩陣計(jì)算公式:例1用Jacobi迭代法求解線性方程組解:Jacobi迭代計(jì)算公式為x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000寫成矩陣形式§2高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法即即
記Gauss-Seidel迭代法的矩陣表示:例2用Gauss-Seidel迭代法求解線性方程組解:G-S迭代計(jì)算公式為x=Gauss_Seidel_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3.....1.00007.20009.020011.64402.000010.430811.671912.82053.000010.931311.957212.97774.000010.991311.994712.99725.000010.998911.999312.99966.000010.999911.999913.00007.000011.000012.000013.00008.000011.000012.000013.0000Gauss_seidelmethodconvergedx=11.000012.000013.0000x=Jacobi_iter(A,b,20,1e-5,x0)kx1x2x3....1.00007.20008.30008.40002.00009.710010.700011.50003.000010.570011.571012.48204.000010.853511.853412.82825.000010.951011.951012.94146.000010.983411.983412.98047.000010.994411.994412.99338.000010.998111.998112.99789.000010.999411.999412.999210.000010.999811.999812.999711.000010.999911.999912.999912.000011.000012.000013.000013.000011.000012.000013.000014.000011.000012.000013.0000Jacobimethodconvergedx=11.000012.000013.0000求G-S的迭代矩陣?換個角度看Gauss-Seidel方法:§4松弛法(SOR法)松弛法的基本思想:SOR計(jì)算公式:計(jì)算公式:矩陣表示:松弛因子的選取對收斂速度影響極大,最優(yōu)松弛因子的確定一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和試算,特別的,當(dāng)A為對稱正定的三對角矩陣時(shí),有:Jacobi:各個分量的計(jì)算順序無關(guān),可用于并行計(jì)算G-S:減少了存儲量,要求計(jì)算順序,SOR:是G-S的推廣,或是G-S的加速迭代法:求解大型稀疏線性方程組的常用方法,
保持矩陣的稀疏性分裂A換一個角度§4迭代法的收斂條件4.1矩陣的譜半徑
ReIm(A)x4.2迭代法的收斂條件充分條件嚴(yán)格對角占優(yōu)非對角占優(yōu)5.3誤差估計(jì)§6最速下降法與共軛梯度法Steepestdescentmethod6.1最速下降法6
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