動力計算習題課11

結構動力計算習題課溫故而知新一、動力計算中體系的自由度

確定體系上全部質量位置所需獨立參數(shù)的個數(shù)稱為體系的振動自由度。幾點注意：1）對于具有集中質量的體系，其自由度數(shù)并不一定等于集中質量數(shù)，可能比它多，也可能比它少。2）體系的自由度與其超靜定次數(shù)無關。3）在幾何構造分析中所說的自由度是剛體系的運動自由度，動力計算中討論的自由度是變形體系中質量的運動自由度。也可以運用附加支桿法確定。溫故而知新二、單自由度體系的自由振動自由振動(固有振動)：振動過程中沒有干擾力作用，振動是由初始位移或初始速度(瞬時沖量)或兩者共同影響下所引起的。（剛度法）（柔度法）振動微分方程)sin(aw+t=asincos)(00www+=tvtyty質點位移001vytgwa-=振幅:初始相位角:無阻尼自由振動是簡諧振動....質體動位移y(t)是以靜力平衡位置為位移零點來確定的，質體的重力對y(t)沒有影響,但在確定質體的最大豎向位移是,則應包含位移幅值和自重下的靜位移δst=Wδ兩部分在內(nèi).溫故而知新T=wp2mk=wm=d1其中δ——是沿質點振動方向的結構柔度系數(shù)，它表示在質點上沿振動方向加單位荷載使質點沿振動方向所產(chǎn)生的位移。k——使質點沿振動方向發(fā)生單位位移時，須在質點上沿振動方向施加的力。結構的自振頻率ω(自振周期T)圓頻率工程頻率使用于各質點慣性力共線的單自由度體系單位:T—秒；ω—弧度/每秒，即2π秒內(nèi)振動次數(shù)；

f—HZ（赫芝）即每秒振動次數(shù)。自振周期（頻率）與且只與結構的質量和結構的剛度有關，與荷載和初始干擾因素無關。是結構的固有特性。要改變結構的自振周期，只有從改變結構的質量或剛度。增大質量或降低剛度可降低頻率或提高周期，反之亦然。周期三、單自由度體系的強迫振動結構在荷載作用下的振動。無阻尼有阻尼運動微分方程穩(wěn)態(tài)解動位移幅值動力系數(shù)共振時阻尼作用很大對于簡諧荷載下的無阻尼受迫振動，其質點位移（加速度和慣性力）與干擾力作同步簡諧振動；對于簡諧荷載下的有阻尼受迫振動其質點位移（加速度和慣性力）與干擾力之間存在一個相位差α，兩者總是不同時達到最大值。.....當荷載作用在單自由度體系的質點上時，不論是否考慮阻尼，各截面的動內(nèi)力和動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)，只需將干擾力幅值乘以動力系數(shù)，按靜力方法來計算即可。阻尼對振動的影響

1、考慮阻尼時體系的自振頻率減小，周期增大。當ξ<0.2,可近似取.2、自由振動的振幅ae-ξωt隨時間單調(diào)衰減，最后停止。3、試驗測定阻尼比yk和yk+n是相隔n個周期的兩個振幅。

l/2l/2l/2EI＝∞mmk例1：建立圖示體系的運動微分方程，并求自振頻率和周期。EI＝∞mm

解：用剛度法：作受力圖ll/2EIEIm1l解：用柔度法作單位彎矩圖............例2:已知m=300kg，EI=90·105N·m2，l=4m，k=48EI/l3，F(xiàn)=20kN，θ=80s-1。求：(1)無阻尼時梁中點的動位移幅值；(2)當ξ=0.05時，梁中點的動位移幅值和最大動力彎矩。

FsinθtEIl/2l/2mk解：1、求自振頻率

1EIk1/2f11k2121EIl19253=EIl483+f11=2、求無阻尼時的跨中動位移幅值552.1=1122-=wqb16.134801122-=3、求有阻尼時的跨中動位移幅值.4、求有阻尼時的跨中動彎矩幅值一般方法：當位移y=ypsin(θt－α)達幅值時θt－α=90ot=1.19s此時慣性力幅值:此時荷載值:產(chǎn)生動位移和動內(nèi)力幅值的外力:30.92kNEIk30.92kN.m動力彎矩幅值圖注意:1、由于干擾力作用在質點上且沿振動方向，故位移和彎矩動力系數(shù)相同,可按比例算法計算。2、考慮與不考慮阻尼的動位移幅值相差不大。這是因為頻率比θ/ω=80/134.16=0.596,在共振區(qū)之外的緣故。比例算法:本例動荷載與慣性力共線,

故可用比例算法P=βF=1.546×20000=30920N運動方程：mtFyyqwsin2=+..荷載幅值引起的靜位移β動力系數(shù)位移穩(wěn)態(tài)反應為與動荷載同頻率的簡諧振動。兩者同時達到幅值。慣性力與位移同方向同時達到幅值。動內(nèi)力計算：當動荷載作用在單自由度體系的質點上時，各截面的動內(nèi)力和動位移可采用統(tǒng)一的動力系數(shù)。先求動荷載幅值引起的靜位移、靜內(nèi)力及動力系數(shù)β，將靜位移、靜內(nèi)力乘以β即得動位移和動內(nèi)力的幅值。當動荷載不作用在質點或與質點運動方向不一致時，內(nèi)力動力系數(shù)與位移動力系數(shù)不相同?？捎靡韵氯N方法計算。穩(wěn)態(tài)反應：振幅A：2、單自由度體系簡諧荷載下的動力反應計算l/2l/2EImMsinθtABC例：建立圖示梁運動微分方程，求B點的最大動位移和最大動彎矩。解：1、采用柔度法列運動微分方程MsinθtABCI(t)ABC11ABC×Msinθt10.5l/21C11C0.25..2、求B點位移幅值yP：..l/2l/2EImMsinθtABC例：建立圖示梁運動微分方程，求B點的最大動位移和最大動彎矩。解：3、求動彎矩幅值:IMABCABC11ABC×M10.50.25C11C⑴將荷載化成作用在質點且與質點運動方向一致的荷載m(b)m()ty(c)=+(b)中質點無位移，無慣性力，按靜力法計算反力。(c)所示是力作用于質點上的情況。內(nèi)力及其它處位移為(b)(c)之和mlEI()ty(a)A內(nèi)力動力系數(shù)與位移動力系數(shù)不相同11l⑵利用幅值方程求解位移穩(wěn)態(tài)反應為與動荷載同頻率的簡諧振動。兩者同時達到幅值。慣性力與位移同方向同時達到幅值。線彈性體系，位移達幅值時內(nèi)力也達幅值穩(wěn)態(tài)反應：振幅A：mlEIA振幅方程為：⑶直接建立運動方程求解。mlEI()ty宜列柔度方程：或：mEI()ty11l動內(nèi)力計算例6.測圖示剛架動力特性。加力20kN時頂部側移2cm，振動一周

T=1.4s后，回擺1.6cm，求系統(tǒng)的阻尼比ξ、大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)求W：由(2)求ω(3)求ξ(4)6周后的振幅溫故而知新多自由度體系的自由振動（以兩個自由度為例）主要目的：1）求自振頻率；2）確定振型。（由于阻尼對頻率和振型的影響很小，不考慮阻尼。）1、頻率方程和頻率a）剛度法導出的頻率方程：或：b）柔度法導出的頻率方程：或：溫故而知新2、振型：振型是指體系按某一頻率發(fā)生振動的形式。注意：1）振型是在特定的初始條件下才能出現(xiàn)的一種振動形式。任一瞬時各質點位移的比值不變，即結構的變形形式不變。2）對于每一自振頻率，體系有一個確定的相應振型。a）剛度法導出的振型公式：b）柔度法導出的振型公式：振型常數(shù)ρ1ρ2

必具有相反的正負號。3）振型正交性：可用來檢查所求振型是否正確。例：計算體系的自振頻率和振型llmEIEIP1=1P2=1ll1）求柔度系數(shù)2）代公式（15.45）求頻率3）代公式（15.49）求振型10.414第一振型第一振型12.414llEI=常數(shù)mml求圖示體系的頻率、振型，并演算正交性