二次函數總復習(精品課件1) 4

復習：二次函數二次函數定義注意：1.自變量的最高次數是2。2.二次項的系數a≠0。3.二次函數解析式必須是整式。

1.定義：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做x的二次函數.y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的幾種不同表示形式:(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0).

2.定義的實質是：ax2+bx+c是整式,自變量x的最高次數是二次,自變量x的取值范圍是全體實數.

下列函數中哪些是一次函數，哪些是二次函數？鞏固一下吧！1，函數（其中a、b、c為常數），當a、b、c滿足什么條件時，（1）它是二次函數；（2）它是一次函數；（3）它是正比例函數；當時，是二次函數；當時，是一次函數；當時，是正比例函數；駛向勝利的彼岸考考你駛向勝利的彼岸2，函數當m取何值時，（1）它是二次函數？（2）它是反比例函數？（1）若是二次函數，則且∴當時，是二次函數。（2）若是反比例函數，則且∴當時，是反比例函數。y=ax2+bx+cy=a(x-h)2+ky=a(x-x1)(x-x2)二次函數的三種解析式y(tǒng)=ax2y=ax2+k

y=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移結論:一般地,拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2形狀相同,位置不同。小結：各種形式的二次函數的關系1、一般二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象特點和函數性質返回主頁前進(1)是一條拋物線；(2)對稱軸是:x=-(3)頂點坐標是:(-,)(4)開口方向:a>0時,開口向上；a<0時,開口向下.2ab4a4ac-b22ab（1）a>0時，對稱軸左側(x<-)，函數值y隨x的增大而減小

；對稱軸右側(x>-)，函數值y隨x的增大而增大。

a<0時，對稱軸左側(x<-)，函數值y隨x的增大而增大；對稱軸右側(x>-)，函數值y隨x的增大而減小。（2）a>0時，ymin=a<0時，ymax=2ab2ab2ab2ab4a4ac-b24a4ac-b2(二)函數性質：返回目錄二次函數y=a(x-h)2+k的圖象和性質１.頂點坐標與對稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值拋物線頂點坐標對稱軸位置開口方向增減性最值y=a(x-h)2+k(a>0)y=a(x-h)2+k(a<0)（h，k）（h，k）直線x=h直線x=h由h和k的符號確定由h和k的符號確定向上向下當x=h時,最小值為k.當x=h時,最大值為k.在對稱軸的左側,y隨著x的增大而減小.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而增大.

在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大.在對稱軸的右側,y隨著x的增大而減小.

根據圖形填表：xy0a<0(1)a確定拋物線的開口方向：a、b、c、△、的符號與圖像的關系a>0x0xy0

(2)c確定拋物線與y軸的交點位置:c>0x0?(0,c)c=0xy0?(0,0)c<0xy0?(0,c)(3)a、b確定對稱軸的位置:

xy0x=-b2aab>0x=-b2aab=0xy0x=-b2aab<0xy0x=-b2axy0?(x,0)xy0?(x1,0)?(x2,0)Δ>0Δ=0Δ<0(4)Δ確定拋物線與x軸的交點個數：xy0?xy0?(x,0)二次函數y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點有三種情況:(1)有兩個交點(2)有一個交點(3)沒有交點二次函數與一元二次方程b2–4ac>0b2–4ac=0b2–4ac<0若拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點,則b2–4ac≥01、拋物線y=ax2+bx+c關于x軸對稱的拋物線的解析式為y=-ax2-bx-c2、拋物線y=ax2+bx+c關于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2-bx+c思考：求拋物線Y=X2-2X+3關于X軸對稱的拋物線的解析式，關于Y軸的拋物線的解析式小結(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1,x2,則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點坐標是(x1,0),(x2,0)小結（2）拋物線Y=ax2+bx+c與X軸的交點坐標是（X1,0)(X2,0)，則一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為X1,X2X1+X2=X1X2=題型分析:(一)拋物線與x軸、y軸的交點及所構成的面積例1:填空：(1)拋物線y＝x2－3x＋2與y軸的交點坐標是____________，與x軸的交點坐標是____________；(2)拋物線y＝－2x2＋5x－3與y軸的交點坐標是____________，與x軸的交點坐標是____________．

(0,2)(1,0)和(2,0)(0,-3)(1,0)和(,0)23前進例2:已知拋物線y=x2-2x-8，

（1）求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；

（2）若該拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B，且它的頂點為P，求△ABP的面積。(1)證明:∵△=22-4×(-8)=36>0∴該拋物線與x軸一定有兩個交點(2)解:∵拋物線與x軸相交時x2-2x-8=0解方程得:x1=4,x2=-2∴AB=4-(-2)=6而P點坐標是(1,-9)∴S△ABC=27xyABP前進xyOAxyOBxyOCxyOD例3:在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為(二)根據函數性質判定函數圖象之間的位置關系答案:B前進例4、已知二次函數y=ax2+bx+c的最大值是2，圖象頂點在直線y=x+1上，并且圖象經過點（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函數的最大值是2∴拋物線的頂點縱坐標為2又∵拋物線的頂點在直線y=x+1上∴當y=2時，x=1∴頂點坐標為（1，2）∴設二次函數的解析式為y=a(x-1)2+2又∵圖象經過點（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函數的解析式為y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x(三)根據函數性質求函數解析式前進例5：

已知二次函數y=—x2+x-—（1）求拋物線開口方向，對稱軸和頂點M的坐標。（2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，求C，A，B的坐標。（3）畫出函數圖象的示意圖。（4）求ΔMAB的周長及面積。（5）x為何值時，y隨的增大而減小，x為何值時，y有最大（?。┲担@個最大（小）值是多少？（6）x為何值時，y<0？x為何值時，y>0？1232解:（1）∵a=—>0

∴拋物線的開口向上

∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2

∴對稱軸x=-1，頂點坐標M（-1，-2）121212前進

(2)由x=0，得y=--—拋物線與y軸的交點C（0，--—）

由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1與x軸交點A（-3，0）B（1，0）32323212解0x(3)④連線①畫對稱軸x=-1②確定頂點?(-1,-2)??(0,-–)③確定與坐標軸的交點及對稱點??(-3,0)(1,0)32解0?M(-1,-2)??C(0,-–)??A(-3,0)B(1,0)32yxD：（4）由對稱性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周長=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面積=—AB×MD=—×4×2=41212前進解解0xx=-1??(0,-–)??(-3,0)(1,0)32:(5)?(-1,-2)當x=-1時，y有最小值為y最小值=-2當x≤-1時，y隨x的增大而減小;前進解:0?(-1,-2)??(0,-–)??(-3,0)(1,0)32yx由圖象可知(6)

當x<-3或x>1時，y>0當-3<x<1時，y<0鞏固練習:1、填空：（1）二次函數y=x2-x-6的圖象頂點坐標是___________對稱軸是_________。（2）拋物線y=-2x2+4x與x軸的交點坐標是___________（3）已知函數y=—x2-x-4，當函數值y隨x的增大而減小時，x的取值范圍是___________（4）二次函數y=mx2-3x+2m-m2的圖象經過原點，則m=____。12（—，-—）125

24x=—12（0，0）（2，0）x<122.選擇拋物線y=x2-4x+3的對稱軸是_____________.A直線x=1B直線x=-1C直線x=2D直線x=-2(2)拋物線y=3x2-1的________________A開口向上,有最高點B開口向上,有最低點C開口向下,有最高點D開口向下,有最低點(3)若y=ax2+bx+c(a0)與軸交于點A(2,0),B(4,0),則對稱軸是_______A直線x=2B直線x=4C直線x=3D直線x=-3(4)若y=ax2+bx+c(a0)與軸交于點A(2,m),B(4,m),則對稱軸是_______A直線x=3B直線x=4C直線x=-3D直線x=2cBCA3、解答題：已知二次函數的圖象的頂點坐標為（－2，－3），且圖象過點（－3，－2）。

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設此二次函數的圖象與x軸交于A，B兩點，O為坐標原點，求線段OA，OB的長度之和。能力訓練1、

二次函數的圖象如圖所示，則在下列各不等式中成立的個數是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b-4ac>02、已知二次函數y=ax2-5x+c的圖象如圖。(1)、當x為何值時，y隨x的增大而增大;(2)、當x為何值時，y<0。yOx(3)、求它的解析式和頂點坐標；3、已知一個二次函數的圖象經過點（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。（1）求這個二次函數的解析式；（2）寫出它的對稱軸和頂點坐標?；A練習:1.不與x軸相交的拋物線是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若拋物線y=ax2+bx+c,當a>0,c<0時,圖象與x軸交點情況是()A無交點B只有一個交點C有兩個交點D不能確定DC3.如果關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個相等的實數根,則m=＿＿＿＿,此時拋物線y=x2-2x+m與x軸有＿＿＿＿個交點.4.已知拋物線y=x2–8x+c的頂點在x軸上,則c=＿＿＿＿.11165、已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,

a___0,b____0,c_____0,abc____0

b2-4ac_____0a+b+c_____0,a-b+c____0

4a-2b+c_____00-11-2＜＜＜＞＞＞＞＞新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！xyOAxyOBxyOCxyOD6、在同一直角坐標系中，一次函數y=ax+c和二次函數y=ax2+c的圖象大致為（）B新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！xyO-117、已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列說法正確的是（）Aabc>0Ba>0,b2-4ac<0C當x=1時，函數有最大值為-1D當x=1時，函數有最小值為-1新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！歸納小結：（1）二次函數y=ax2+bx+c及拋物線的性質和應用注意：圖象的遞增性，以及利用圖象求自變量x或函數值y的取值范圍返回（2）a，b，c，Δ的正負與圖象的位置關系注意：圖象與軸有兩個交點A（x1，0），B（x2，0）時AB=|x2-x1|=√(x1+x2)2+4x1x2=——這一結論及推導過程?！苔a|利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解1、根據下列表格的對應值：判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c為常數）一個解的范圍是（）Ａ、3＜x＜3.23Ｂ、3.23＜x＜3.24Ｃ、3.24＜x＜3.25Ｄ、3.25＜x＜3.26新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！1、函數y=ax2-ax+3x+1的圖象與x軸有且只有一個交點，那么a的值和交點坐標分別為

。9或12、寫出一個開口向下，對稱軸是直線x=3，且與y軸交于（0，-2）的拋物線解析式。練一練新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！3、把拋物線y=-3x2繞著它的頂點旋轉1800后所得的圖象解析式是

。y=3x24、已知二次函數y=a（x-h）2+k的圖象過原點，最小值是-8，且形狀與拋物線y=0.5x2-3x-5的形狀相同，其解析式為

。y=0.5（x-16）2-85、若x為任意實數，則二次函數y=x2+2x+3的函數值y的取值范圍是

。y≥2新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！3、把拋物線y=-3x2繞著它的頂點旋轉1800后所得的圖象解析式是

。y=3x24、已知二次函數y=a（x-h）2+k的圖象過原點，最小值是-8，且形狀與拋物線y=0.5x2-3x-5的形狀相同，其解析式為

。y=0.5（x-16）2-85、若x為任意實數，則二次函數y=x2+2x+3的函數值y的取值范圍是

。y≥2新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！6、拋物線y=2x2-4x-1是由拋物線y=2x2-bx+c向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的，則b=

，c=

。7、已知拋物線y=2x2+bx+8的頂點在x軸上，則b=

。83±88、已知y=x2-（12-k）x+12，當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，則k的值為

。10新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！問題2這位同學身高1.7m,若在這次跳投中，球在頭頂上方0.25m處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？xyo1.如圖，有一次,我班某同學在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離2.5m時，達到最大高度3.5m，然后準確落入籃圈。已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.

3.05

m2.5m3.5m問題1建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的解析式；4m綜合應用新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！2.你知道嗎？平時我們在跳繩時，繩甩到最高處的形狀可近似的看為拋物線，如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4米，距地面均為1米，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1米、2.5米處，繩子甩到最高處時，剛好通過他們的頭頂，已知學生丙的身高是1.5米，請你算一算學生丁的身高。1m2.5m4m1m甲乙丙丁xyo(0,1)(4,1)(1,1.5)新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！3.在矩形荒地ABCD中，AB=a，BC=b,（a>b>0），今在四邊上分別選取E、F、G、H四點，且AE=AH=CF=CG=x，建一個花園，如何設計，可使花園面積最大？DCABGHFEabb新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！4.如圖，在一面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。(1)求S與x的函數關系式及自變量的取值范圍；(2)當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積。

ABCD解：(1)∵AB為x米、籬笆長為24米

∴花圃寬為（24－4x）米

(3)∵墻的可用長度為8米(2)當x＝時，S最大值＝＝36（平方米）∴S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0<x<6）∴0<24－4x≤84≤x<6∴當x＝4m時，S最大值＝32平方米新課標教學網（）--海量教學資源歡迎下載！5.某企業(yè)投資100萬元引進一條產品加工生產線，若不計維修、保養(yǎng)費用，預計投產后每年可創(chuàng)利33萬。該生產線投產后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費用累計為y(萬元)，且y=ax2+bx,若第1年的維修、保養(yǎng)費用為2萬元，到第2年為6萬元。（1）求y的解析式；（2）投產后，這個企業(yè)在第幾年就能收回投資？解:（1）由題意，x=1時，y=2；x=2時，y=2+4=6,分別代入y=ax2+bx,得a+b=2,4a+2b=6,解得:a=1,b=1,

∴y=x2+x.（2）設g＝33x-100-x2-x,則

g=-x2+32x-100=-(x-16)