高三物理萬有引力與航天

必修第七章萬有引力與航天一、開普勒行星運動定律1、開普勒第一定律（軌道定律）:所有的行星繞

的軌道都是

，

處在所有橢圓的一個

上。

太陽運動橢圓太陽焦點2、開普勒第二定律（面積定律）:對任意一個行星來說，它與

連線在

內掃過的

。

太陽的相等的面積相等的時間3、開普勒第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的

跟它的公轉

的

的比值都相等。三次方周期二次方短軸長軸（即近日點速率最大，遠日點速率最?。├?、關于開普勒行星運動的公式＝k，以下理解正確的是A.k是一個與行星無關的常量B.若地球繞太陽運轉軌道的半長軸為R地，周期為T地；月球繞地球運轉軌道的長半軸為R月，周期為T月，則C.T表示行星運動的自轉周期D.T表示行星運動的公轉周期AD同一中心天體（太陽）例1、1990年4月25日，科學家將哈勃天文望遠鏡送上距地球表面約600km的高空，使得人類對宇宙中星體的觀測與研究有了極大的進展。假設哈勃望遠鏡沿圓軌道繞地球運行。已知地球半徑為6.4×106m,利用地球同步衛(wèi)星與地球表面的距離為3.6×107m這一事實可得到哈勃望遠鏡繞地球運行的周期。以下數(shù)據(jù)中最接近其運行周期的是（）

A．0.6小時B．1.6小時C．4.0小時D．24小時B

1、內容：自然界中

兩個物體都是

，引力的大小跟這兩個物體的質量

成正比，跟它們的

成反比。

任何相互吸引的m1和m2的乘積距離的二次方質點2、公式：G=3、適用條件:適用于

間的相互作用二、萬有引力定律r>>物體本身大小均勻球體4、萬有引力定律的推導：牛二+開三+牛三⑴如兩形狀不規(guī)則的物體：重心重心m1m2r①如果物體的大小相對于r大小不能忽略時，它們的萬有引力大小就

F=Gm1m2/r2

求解。②如果物體的大小相對于r大小可以忽略時，它們的萬有引力大小就

F=Gm1m2/r2

求解。不能用可以用⑵如兩質量分布均勻的球體：球心球心m1m2r

無論球體的大小相對于r大小不能忽略也好，可以忽略也罷，它們的萬有引力大小都可以用F=Gm1m2/r2

求解,r為

之間的距離。兩球心例3、下列說法符合史實的是()A．牛頓發(fā)現(xiàn)了行星的運動規(guī)律B．開普勒發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律C．卡文迪許第一次在實驗室里測出了萬有引力常量D．牛頓發(fā)現(xiàn)了海王星和冥王星C例4、如圖1所示，在半徑為R=20cm，質量為M=168kg的均勻銅球上，挖去一個球形空穴，空穴的半徑為R/2，并且跟銅球相切，在銅球外有一個質量為m=lkg可視為質點的小球，這個小球位于連接銅球的中心跟空穴中心的直線上，并且在靠近空穴一邊，兩個球心相距d=2m，試求它們之間的吸引力。圖1例5、由于萬有引力定律和庫侖定律都滿足平方反比律，因此引力場和電場之間有許多相似的性質，在處理有關問題時可以將它們進行類比．例如電場中反映各點電場強弱的物理量是電場強度，其定義式為在引力場中可以有一個類似的物理量用來反映各點引力場的強弱．設地球質量為M，半徑為R，地球表面處重力加速度為g，引力常量為G，如果一個質量為m的物體位于距地心2R處的某點，則下列表達式中能反映該點引力場強弱的是（）A．B．C．D.AD三、萬有定律的應用1、討論重力加速度g隨離地面高度h的變化情況：物體的重力近似為地球對物體的引力，即

。所以重力加速度

，可見，g隨h的

。2、估算中心天體的質量的基本思路：(1)從環(huán)繞天體出發(fā):通過觀測環(huán)繞天體運動的

;就可以求出中心天體的質量M(2)從中心天體本身出發(fā):只要知道中心天體的

,就可以求出中心天體的質量M。3、求解衛(wèi)星的有關問題：在高考試題中，應用萬有引力定律解題的知識常集中于兩點：一是天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力。

即

;二是地球對物體的萬有引力近似等于物體的重力，即從而得出

(黃金代換，不考慮地球自轉)。周期T和軌道半徑r表面重力加速度g和半徑R增大而減小討論：1）由可得：2）由可得：3）由可得：4）由可得：人造地球衛(wèi)星運動的v、ω、T、a與軌道半徑r的關系r越大，v越小。r越大，ω越小。r越大，T越大。r越大，a向(g/)越小。例6、兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球作圓周運動，周期之比為TA：TB=1：8，則軌道半徑之比和運動速率之比分別為A、RA：RB=4：1VA：VB=1：2B、RA：RB=4：1VA：VB=2：1C、RA：RB=1：4VA：VB=1：2D、RA：RB=1：4VA：VB=2：1D例7、2003年10月15日，我國神舟五號載人飛船成功發(fā)射。標志著我國的航天事業(yè)發(fā)展到了很高的水平。飛船在繞地球飛行的第5圈進行變軌，由原來的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨葹閔的圓形軌道。已知地球半徑為R，地面處的重力加速度為g.求：（1）飛船在上述圓軌道上運行的速度v；（2）飛船在上述圓軌道上運行的周期T.例8、我國于2007年10月24日發(fā)射的“嫦娥一號”探月衛(wèi)星簡化后的路線示意圖如圖所示。衛(wèi)星由地面發(fā)射后，經(jīng)過發(fā)射軌道進入停泊軌道，然后在停泊軌道經(jīng)過調速后進入地月轉移軌道，再次調速后進入工作軌道，衛(wèi)星開始對月球進行探測。已知地球與月球的質量之比為a，衛(wèi)星的停泊軌道與工作軌道的半徑之比為b，衛(wèi)星在停泊軌道與工作軌道上均可視為做勻速圓周運動，則：()A．衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行的速度之比為B．衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行的周期之比為C．衛(wèi)星在停泊軌道和工作軌道運行的向心加速度之比為D．衛(wèi)星在停泊軌道運行的速度大于地球的第一宇宙速度.ACA、1；B、1/9；C、1/4；D、1/16()D例9、設地球表面的重力加速度為g,物體在距地心4R（R是地球半徑）處，由于地球的引力作用而產生的重力加速度g，則g/g，例10、一衛(wèi)星繞某行星做勻速圓周運動，已知行星表面的重力加速度為g0，行星的質量M與衛(wèi)星的質量m之比M/m=81，行星的半徑R0與衛(wèi)星的半徑R之比R0/R＝3.6，行星與衛(wèi)星之間的距離r與行星的半徑R0之比r/R0＝60。設衛(wèi)星表面的重力加速度為g，則在衛(wèi)星表面有……經(jīng)過計算得出：衛(wèi)星表面的重力加速度為行星表面的重力加速度的1/3600。上述結果是否正確？若正確，列式證明；若有錯誤，求出正確結果。解析：題中所列關于g的表達式并不是衛(wèi)星表面的重力加速度，而是衛(wèi)星繞行星做勻速圓周運動的向心加速度。正確的解法是衛(wèi)星表面行星表面即∴g=0.16g0

小結:會討論重力加速度g隨離地面高度h的變化情況例11、已知地球繞太陽公轉的軌道半徑r=1.49×1011m,公轉的周期T=3.16×107s,求太陽的質量M。

M=4π2r3/GT2=1.96×1030kg

例12、宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數(shù)為G。求該星球的質量M

小結例11、12：會用萬有引力定律求天體的質量（二種情況）解析：設想中子星赤道處一小塊物質，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為ρ，質量為M

，半徑為R，自轉角速度為ω，位于赤道處的小物塊質量為m，則有①

②

由①②得，代入數(shù)據(jù)解得：。例13、如果某恒星有一顆衛(wèi)星沿非常靠近此恒星的表面做勻速圓周運動的周期為T，則可估算此恒星的密度為多少?小結：會用萬有引力定律計算天體的平均密度。通過觀測天體表面運動衛(wèi)星的周期T，，就可以求出天體的密度ρ。例14、中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉周期為T=1/30s。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。(引力常數(shù)G=6.67×10-11m3/kg.s2)4、同步衛(wèi)星：相對地面

且與地球自轉具有

的衛(wèi)星①、定高h=②、定速v=③、定周期T=④、定軌道靜止相同周期36000km3.08km/s24h赤道平面例15、可以發(fā)射一顆這樣的人造地球衛(wèi)星，使其圓軌道（）A、與地球表面上某一經(jīng)度線所決定的圓是共面同心圓B、與地球表面上某一緯線（非赤道）是共面同心圓C、與地球表面上的赤道是共面同心圓，且衛(wèi)星相對于地球表面是靜止的D、與地球表面上的赤道線是共面同心圓，但衛(wèi)星相對地球表面是運動的C、D例16、在地球（看作質量均勻分布的球體）上空有許多同步衛(wèi)星，下面說法中正確的是（）A．它們的質量可能不同 B．它們的速度可能不同C．它們的向心加速度可能不同 D．它們離地心的距離可能不同A例17、用m表示地球通訊衛(wèi)星（同步）的質量，h表示它離地面的高度，R0表示地球的半徑，g0表示地球表面的重力加速度，w0表示地球自轉的角速度，則通訊衛(wèi)星所受地球對它的萬有引有引力的大小A、等于0B、等于C、等于m(R02g0w04)1/3D、以上結果都不對B、C例18、我國自行研制的“風云一號”、“風云二號”氣象衛(wèi)星運行的軌道是不同的?！耙惶枴笔菢O地圓形軌道衛(wèi)星。其軌道平面與赤道平面垂直，周期是12h；“二號”是地球同步衛(wèi)星。兩顆衛(wèi)星相比

號離地面較高；

號觀察范圍較大；

號運行速度較大。若某天上午8點“風云一號”正好通過某城市的上空，那么下一次它通過該城市上空的時刻將是

。風云二號

風云一號

風云一號

第二天上午8點

例19、如圖所示，是某次發(fā)射人造衛(wèi)星的示意圖。人造衛(wèi)星先在近地的圓周軌道1上運動，然后變軌在橢圓軌道2上運動，最后又變軌在圓周軌道3上運動。a點是軌道1、2的交點，b點是軌道2、3的交點．人造衛(wèi)星在軌道1上的速度為v1，在軌道2上a點的速度為v2a，在軌道2上b點的速度為v2b，在軌道3上的速度為v3，則以上各速度的大小關系是（）A．v1＞v2a＞v2b＞v3B．v1<v2a<v2b<v3C．v2a＞v1＞v3

＞v2bD．v2a＞v1＞v2b＞v3C

人造地球衛(wèi)星的變軌問題例20、2007年11月5日，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道到達月球，在距月球表面200km的P點進行第一次“剎車制動”后被月球俘獲，進入橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，然后衛(wèi)星在P點又經(jīng)過兩次“剎車制動”，最終在距月球表面200km的圓形軌道Ⅲ上繞月球做勻速圓周運動，如圖所示，則下列說法正確的是（）A．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動的周期比沿軌道Ⅰ運動的周期長B．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動的周期比沿軌道Ⅰ運動的周期短C．衛(wèi)星在軌道Ⅲ上運動的加速度小于沿軌道Ⅰ運動到P點（尚未制動）時的加速度D．衛(wèi)早在軌道Ⅲ上運動的加速度等于沿軌道Ⅰ運動到P點（尚未制動）時的加速度BD提醒：1、橢圓軌道

F萬=F向；2、a=v2/r=w2×r，因為時刻

。3、求加速度只能用

,求向心加速度只能用

。不能用也不能用F合/mF向/m有離心或近心小結：弄清地球表面物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的各個物理量之間的關系（著重掌握比較方法）例21、如圖，地球赤道上山丘e，近地資源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動。設e、p、q的圓周運動速率分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則(）A．v1＞v2＞v3

B．v1＜v2＜v3C．a1＞a2＞a3

D．a1＜a3＜a2eqpD對p、q：利用對e、q：利用q為聯(lián)系e、p的橋梁三種模型的比較例22、同步衛(wèi)星到地心的距離為r，運行速率為V1，加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a2，第一宇宙速度為V2，地球的半徑為R，則下列比值正確的是（）C小結：弄清地球表面物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星的各個物理量之間的關系（著重掌握比較方法）A、V1/

V2=r/RB、a1/a2=(r/R)2

C、a1/a2=r/RD、V1/

V2=(r/R)1/25、三種宇宙速度：第一、第二、第三宇宙速度

①第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：是衛(wèi)星環(huán)繞

的速度，也是繞地球做勻速圓周運動的

，也是發(fā)射衛(wèi)星的

V1=

。地球表面運行最大速度7.9km/s最小速度②第二宇宙速度（脫離速度）：使物體掙脫

引力束縛的

速度，V2=

。地球最小發(fā)射11.2km/s③第三宇宙速度（逃逸速度）：使物體掙脫

引力束縛的

速度，V3=

。太陽最小發(fā)射16.7km/s例23、我國首枚探月衛(wèi)星“嫦娥一號”在繞地球軌道上第三次近地點加速變軌后飛向月球，在到達月球附近時必須經(jīng)剎車減速才能被月球俘獲而成為月球衛(wèi)星，關于“嫦娥一號”的下列說法正確的是（）A．最后一次在近地點加速后的衛(wèi)星的速度必須等于或大于第二宇宙速度B．衛(wèi)星在到達月球附近時需剎車減速是因為衛(wèi)星到達月球時的速度大于月球衛(wèi)星的第一宇宙速度C．衛(wèi)星在到達月球附近時需剎車減速是因為衛(wèi)星到達月球時的速度大于月球衛(wèi)星的第二宇宙速度D．若繞月衛(wèi)星要返回地球，則其速度必須加速到大于或等于月球衛(wèi)星的第三宇宙速度C例24、人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉時，既具有動能又具有引力勢能（引力勢能實際上是衛(wèi)星與地球共有的，簡略地說此勢能是人造衛(wèi)星所具有的）.設地球的質量為M，以衛(wèi)星離地還需無限遠處時的引力勢能為零，則質量為m的人造衛(wèi)星在距離地心為r處時的引力勢能為（G為萬有引力常量）.（1）試證明：在大氣層外任一軌道上繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星所具有的機械能的絕對值恰好等于其動能.（2）當物體在地球表面的速度等于或大于某一速度時，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造衛(wèi)星，這個速度叫做第二宇宙速度.用R表示地球的半徑，M表示地球的質量，G表示萬有引力常量.試寫出第二宇宙速度的表達式.第一宇宙速度：從地面出發(fā)到近地軌道需要提供的速度在地面上剛發(fā)射：第二宇宙速度：從地面出發(fā)到脫地軌道需要提供的速度在近地軌道：從地面上發(fā)射后到近地軌道機械能守恒在地面上剛發(fā)射：脫地：從地面上發(fā)射后到脫地機械能守恒小結：第一、二宇宙速度的聯(lián)系:例25、2007年10月24日18時29分，星箭成功分離之后，“嫦娥一號”衛(wèi)星進入半徑為205km的圓軌道上繞地球做圓周運動，衛(wèi)星在這個軌道上“奔跑”一圈半后，于25日下午進行第一次變軌，變軌后，衛(wèi)星軌道半徑將抬高到離地球約600km的地方，如圖17所示．已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，質量為m的“嫦娥一號”衛(wèi)星在地球上空的萬有引力勢能為(以無窮遠處引力勢能為零)，r表示物體到地心的距離．(1)質量為m的“嫦娥一號”衛(wèi)星以速率v在某一圓軌道上繞地球做圓周運動，求此時衛(wèi)星距地球地面高度h1；(2)要使“嫦娥一號”衛(wèi)星上升，從離地高度h1再增加h的軌道上做勻速圓周運動，衛(wèi)星發(fā)動機至少要做多少功?例26、火星和地球繞太陽的運動可以近似看作為同一平面內同方向的勻速圓周運動，已知火星的軌道半徑，地球的軌道半徑，從如圖所示的火星與地球相距最近的時刻開始計時，估算火星再次與地球相距最近需多少地球年？（保留兩位有效數(shù)字）2.3年小結此種類型：最近、最遠通過角度關系多星系統(tǒng)例27、兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。(1)畫出雙星運動的軌跡示意圖.(2)試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比、向心加速度之比都等于質量的反比。變式訓練：現(xiàn)測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求雙星的總質量。(3)設雙星的質量分別為m1和m2,兩者相距R，試寫出它們的角速度表達式。m同軌跡圓同m不同軌跡圓不同注意公式的選用小結此種類型：分析向心力的來源，再書寫公式是關鍵例28、宇宙中存在一些離勘察恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設每個星體的質量均為m，萬有引力常量為G。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期。（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？小結