與三角形有關(guān)的角

八年級上冊八年級上冊11.2.1

與三角形有關(guān)的角

學習目標：

1．探索并證明三角形內(nèi)角和定理．

2．能運用三角形內(nèi)角和定理解決簡單問題．

3．探索并掌握直角三角形的兩個銳角互余．4．掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形．學習重點：探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性．

探索并掌握直角三角形的兩個銳角互余．三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角方法：度量、剪拼圖、折疊

探索并證明三角形內(nèi)角和定理BBCCAAABBC問題1

在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究．問題1

在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究．探索并證明三角形內(nèi)角和定理AABBCABBCC方法：度量、剪拼圖、折疊

問題1

在小學我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個內(nèi)角的和等于180°，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進行探究．探索并證明三角形內(nèi)角和定理ABC方法：度量、剪拼圖、折疊

探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問1

運用度量的方法，得出的三個內(nèi)角的和都是180°嗎？為什么？測量可能會有誤差．

探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問2通過度量、剪拼圖或折疊的方法驗證了手中的三角形紙片的三個內(nèi)角和等于180°，但我們手中的三角形只是所有三角形中有限的幾個，而形狀不同的三角形有無數(shù)多個，我們?nèi)绾文艿贸觥八械娜切蔚娜齻€內(nèi)角的和都等于180°”這個結(jié)論呢？需要通過推理的方法去證明．探索并證明三角形內(nèi)角和定理問題2

你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問1

在下圖中，∠B和∠C分別拼在∠A的左右，三個角合起來形成一個平角，出現(xiàn)了一條過點A的直線l，直線l與邊BC有什么位置關(guān)系？直線l與邊BC平行．BBCCAl探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問2

在操作過程中,我們發(fā)現(xiàn)了與邊BC平行的

直線l，由此，你又能受到什么啟發(fā)？你能發(fā)現(xiàn)證明

“三角形內(nèi)角和等于180°”的思路嗎？通過添加與邊BC平行的輔助線l，利用平行線的性質(zhì)和平角的定義即可證明結(jié)論．BBCCAl證明：過點A作直線l，使l∥BC．∵l∥BC，

∴∠2=∠4，∠3=∠5（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問3

結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C

=180°．ABC24153

l探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問3

結(jié)合下圖，你能寫出已知、求證和證明嗎？已知：△ABC．求證：∠A+∠B+∠C

=180°．ABC24153

l證明：∵∠1+∠4+∠5=

180°（平角定義），∴∠A+∠B+∠C=

180°（等量代換）．探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345l探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6m探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6mn探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？CAB12345lP6mnCBEA探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問4

通過前面的操作和證明過程，你能受到什么啟發(fā)？你能用其他方法證明此定理嗎？

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。

為了證明三個角的和為1800,轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補,這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學中的常用方法.思路總結(jié)運用三角形內(nèi)角和定理例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°,∠B=

75°，AD是△ABC的角平分線．求∠ADB的度數(shù)．CBDA85°運用三角形內(nèi)角和定理例2如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．北北CABDE（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______50°80°40°30°(2)從C島看A、B兩島的視角∠C是多少?90°(口答)下列各組角是同一個三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60°，40°，90°（3）30°，60°，50°（1）3°，150°，27°

（是）（不是）（不是）課堂練習（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°

則∠C=.（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4則∠A=

∠B=

∠C=.

（3）一個三角形中最多有

個直角？為什么？（4）一個三角形中最多有

個鈍角？為什么？（5）一個三角形中至少有

個銳角？為什么？（6）任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少為

.102°80°60°40°60°211課堂練習課堂練習

如圖，說出各圖中∠1的度數(shù)．80°50°130°105°1

22°1（1）（2）（3）50°45°68°解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°1.如圖,從A處觀測C處時仰角∠CAD＝30°,從B處觀測C處時仰角∠CBD＝45°.從C處觀測A、B兩處時視角∠ACB是多少?課堂練習2.如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是()(A)帶①去(B)帶②去(C)帶③去(D)帶①和②去C課堂練習3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是()A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形4.一個三角形至少有（）

A、一個銳角B、兩個銳角

C、一個鈍角D、一個直角BB課堂練習5.如圖△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度數(shù).ABCDE解:∵∠A＝70°

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵CD平分∠ACB課堂練習甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當?shù)囟林形?2點,太陽光線與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離應(yīng)是多少？甲乙16米450？45016米解:由題意知ABC∴BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考2、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:設(shè)∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根據(jù)題意得:解得∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°所以△ＡＢＣ是直角三角形拓展與思考探索直角三角形的性質(zhì)問題2在△ABC中，若∠C=90°，你能求出∠A，∠B的度數(shù)嗎？為什么？你能求出∠A+∠B的度數(shù)嗎？利用上面的結(jié)果，你能得出什么結(jié)論？直角三角形的兩個銳角互余．ABC探索直角三角形的性質(zhì)直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC．ABC探索直角三角形的性質(zhì)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．問題3此性質(zhì)的幾何推理格式該怎樣表示？ABC例題講解例如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？分析：兩個角的關(guān)系是什么？這兩個角分別在什么三角形中？你如何驗證自己的想法？CDEAB例題講解解：在Rt△AEC中，∵∠C=90°，∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形兩銳角互余）．在Rt△BDE中，∵∠D=90°，CDEAB例如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？例題講解解：∴∠DBE+∠BED=90°（直角三角形兩銳角互余）．∵∠AEC=∠BED

（對頂角相等），∴∠CAE=∠DBE（等角的余角相等）．CDEAB例如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？探索直角三角形的判定問題4我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個角互余．反過來，你能得出什么結(jié)論？這個結(jié)論成立嗎？如何驗證你的想法？

利用三角形內(nèi)角和定理可得：有兩個角互余的三角形是直角三角形．探索直角三角形的判定問題5類比性質(zhì)的幾何推理格式，判定的幾何推理格式又該怎樣表示？推理格式：在Rt△ABC中，∵∠A+∠B=90°，∴△ABC是直角三角形．ABC相等．同角的余角相等．課堂練習練習如圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？DABC課堂練習變式1若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，則CD是△ACB的高嗎？為什么？是．有兩個角互余的三角形是直角三角形．DABC課堂練習變式2若∠ACD=∠B，CD⊥AB，△ACB為直角三角形嗎？為什么？是．有兩個角互余的三角形是直角三角形．DABC課堂練習變式3如