高中數(shù)學(xué)北師大版第一章數(shù)列等比數(shù)列 2023版第3章1不等關(guān)系

§1不等關(guān)系1．1不等關(guān)系1．2不等關(guān)系與不等式1．了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系．2．了解不等式(組)的實際背景．(難點)3．能用作差法比較大?。?重點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1不等式中的數(shù)學(xué)符號閱讀教材P69～P71“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．兩個數(shù)或代數(shù)式常用以下數(shù)學(xué)符號連接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．文字語言數(shù)學(xué)符號文字語言數(shù)學(xué)符號大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤(1)某隧道入口處豎立著“限高4.5米”的警示牌是指示司機(jī)要安全通過隧道，應(yīng)使車載貨物高度h滿足關(guān)系為________．(2)“a與b的差是非負(fù)數(shù)”的不等關(guān)系是________．【解析】(1)限高米是指車輛及載物高度不高于米，即h≤.(2)非負(fù)數(shù)是指0或正數(shù)，故a－b≥0.【答案】(1)h≤(2)a－b≥0教材整理2比較大小閱讀教材P72～P73“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．1．作差法比較兩實數(shù)大小依據(jù)如果a－b＞0，那么a＞b.如果a－b＜0，那么a＜b.如果a－b＝0，那么a＝b.結(jié)論確定任意兩個實數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系.2．不等式的性質(zhì)1．對稱性：若a＞b，則b＜a；若b＜a，則a＞b.2．傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c.3．同向可加性：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.4．同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd.5．乘方法則：若a＞b＞0，則an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．6．開方法則：若a＞b＞0，則eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，且n≥2)．7．同號取倒數(shù)反序性：若a＞b，ab＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)當(dāng)x＝2時，x≥2一定成立．()(2)a2一定大于a.()(3)若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).()【解析】(1)“≥”表示大于或等于．(2)a＝0時，a2＝a.(3)若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；當(dāng)a＝2，b＝－1時不成立．【答案】(1)√(2)×(3)×[小組合作型]用不等式(組)表示不等關(guān)系某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．【精彩點撥】認(rèn)真分析題意，留意所給材料中的每個數(shù)字，弄清其出現(xiàn)的意義，寫出所能表達(dá)的每一個不等式．【嘗試解答】設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)；(2)車隊每天至少要運360t礦石；(3)甲型卡車不能超過4輛，乙型卡車不能超過7輛．用關(guān)于x，y的不等式表示上述不等關(guān)系即可．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,10×6x＋6×8y≥360，,0≤x≤4，且x∈N，,0≤y≤7，且y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9，,5x＋4y≥30，,0≤x≤4，且x∈N，,0≤y≤7，且y∈N.))1．此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等關(guān)系，如本例中駕駛員的人數(shù)限制了車輛數(shù)，所以甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)，這個不等關(guān)系易被忽略．2．當(dāng)問題中同時滿足幾個不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系，另外若問題有幾個變量，就選用幾個字母分別表示這些變量即可．像本題就是用含有兩個字母x，y的不等式組來表示它們之間的不等關(guān)系的．[再練一題]1．某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍，請寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式．【解】設(shè)截得的500mm鋼管x根，截得的600mm鋼管y根．根據(jù)題意，應(yīng)滿足的不等關(guān)系為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(500x＋600y≤4000，,3x≥y，,x∈N，,y∈N.))比較兩個數(shù)(式)的大小已知A＝(x＋1)(x＋5)，B＝(x＋3)2，試比較A與B的大?。揪庶c撥】利用作差法比較大小．【嘗試解答】A－B＝(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2＝x2＋6x＋5－(x2＋6x＋9)＝－4＜0，∴A－B＜0，即A＜B.比較兩數(shù)(式)大小的方法：(1)作差法作差法是比較兩數(shù)(式)大小的常用方法，其一般步驟是：①作差．②變形．常采用因式分解(將“差”化成“積”)或配方(將“差”化為常數(shù)與n個平方和的形式)等恒等變形手段．③定號．作差法一般是將差化成非負(fù)數(shù)和的形式或因式乘積形式，即P－Q＝aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)或P－Q＝b1·b2…bn，以便判斷差值的符號．④得出結(jié)論．(2)作商法①作商法適合于以冪、指數(shù)或絕對值等形式出現(xiàn)的兩數(shù)(式)的大小比較．②對于a>0，b>0，則有eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b.作商法一般將結(jié)果化為eq\f(a,b)＝1±m(xù)(0＜m＜1)的形式，以便確定商與1的大小關(guān)系．③若a<0，b<0，可通過先比較－a與－b的大小來比較a與b的大?。甗再練一題]2．已知x＜1，比較x3－1與2x2－2x的大小.【導(dǎo)學(xué)號：47172033】【解】(x3－1)－(2x2－2x)＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)，∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，∴當(dāng)x＜1時，(x－1)(x2－x＋1)＜0，即x3－1＜2x2－2x.[探究共研型]不等式的性質(zhì)探究1初中已經(jīng)學(xué)過不等式的性質(zhì)，請同學(xué)們回憶初中不等式的基本性質(zhì)有哪些？【提示】(1)a＞b?a±c＞b±c；(2)a＞b，c＞0?ac＞bc，eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)；(3)a＞b，c＜0?ac＜bc，eq\f(a,c)＜eq\f(b,c).探究2如何用不等式表示“兩個同向不等式的兩邊分別相加，所得的不等式與原不等式同向”？想一想如何證明表示出的不等式？【提示】如果a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d.證明如下：因為a＞b，所以a＋c＞b＋c，又因為c＞d，所以b＋c＞b＋d，根據(jù)不等式的傳遞性得a＋c＞b＋d.探究3如果a＞b＞0，c＞d＞0.如何證明ac＞bd?【提示】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0,c＞0))?ac＞bc＞0,\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(c＞d＞0,b＞0))?bc＞bd＞0))?ac＞bd.設(shè)f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．【精彩點撥】用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范圍求f(－2)的取值范圍．【嘗試解答】由f(x)＝ax2＋bx得f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范圍為[5,10]．1．不等式的性質(zhì)是不等式變形的基礎(chǔ)，是解不等式和證明不等式的主要依據(jù)，應(yīng)熟練掌握．2．本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范圍，再求f(－2)的取值范圍，那么得到的結(jié)果不是正確答案．這是因為求得的a，b的取值范圍與已知條件不是等價關(guān)系．[再練一題]3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．【解】∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4).將兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2).又α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0，故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.綜上所述，－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．下面列出的不等式中，正確的是()A．a(chǎn)不是負(fù)數(shù)，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x＜3C．m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m－4＜0D．x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2＞0【解析】a不是負(fù)數(shù)，可表示成a≥0；x不大于3可表示成x≤3；m與4的差是負(fù)數(shù)，可表示成m－4＜0；x與2的和是非負(fù)數(shù)，可表示成x＋2≥0.【答案】C2．李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺復(fù)讀機(jī)，他現(xiàn)在已存60元，計劃從現(xiàn)在起以后每個月節(jié)省30元，直到他至少有400元，設(shè)x個月后他至少有400元，則可以用于計算所需要的月數(shù)x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋60≤400【解析】x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.【答案】B3．若8＜x＜10,2＜y＜4，則eq\f(x,y)的取值范圍為________．【解析】∵2＜y＜4，∴eq\f(1,4)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,2)，又8＜x＜10，∴2＜eq\f(x,y)＜5.【答案】(2,5)4．下列命題中，真命題是________．①若a＞b＞0，則eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；②若a＞b，則c－2a＜c－2b；③若a＞b，e＞f，則f－ac＜e－bc；④若a＞b，則lga＞lgb.【解析】對①，a＞b＞0?0＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)?eq\f(1,a2)＜eq\f(1,b2)；對②，a＞b?－2a＜－2b?c－2a＜c－2b；對③，取a＝2，b＝e＝1，f＝0，c＝－1，則f－ac＜e－bc不成立；對④，當(dāng)a＜0或b＜0時lga，lgb無意義，故④不正確．【答案】①②5．比較2x2＋5x＋3與x2＋4x＋2的大小.【導(dǎo)學(xué)號：47