2020-2021學年北京市海淀區(qū)高一(上)期末數(shù)學試卷

學年北京市海淀區(qū)高一（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共10?。?．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合與B的系如圖所示，則集合可是（）A{2，45}B．{125}C．{1，6}D．{13}．若px（0，∞，+≥2，則￢p為）AC．

B．D．．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間，∞上單調(diào)遞減的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3．某校高一年級有180名男生，150名生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式高一年級生中抽取若干人進行訪談在生中抽取了30，則在男生中抽取了（）A18

B人

C．45

D．60．已知，b，cR，且＞，則下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a(chǎn)＞cD﹣＜c﹣從字34隨機取兩個不同的數(shù)別為和y則為數(shù)的概率）A

B

C．

D．．已知函數(shù)

，下列區(qū)間中含有f（x）的零點的是（）A（10）

B（0，1

C．（1）

D．2，3）．已知函數(shù)f（x）＝x﹣2ax，則“a”是“函數(shù)f）在區(qū)間，∞）上單調(diào)遞增”的（）A充分不必要條件C．要條件

B．要不充分條件D．不分也不必要條件

a21112a21112．對任意的正實數(shù)，，不等式A（，4]B．（，2]

恒成立，則實數(shù)m取值范圍是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]10物研究者在研究某種植物1～年的植株高度時得到的數(shù)據(jù)用如圖直觀表示要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在～5年的生長律列函數(shù)模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0二、填空題（共5小）.11不等式2x＜0的集為．12某超市對個時間段內(nèi)使用A兩移動支付方式的次數(shù)用莖圖作了統(tǒng)計，如圖所示．使用支付方式A的數(shù)的極差為若用支付方式B的數(shù)的中位數(shù)為17，則m．13已知＝log，＝2，c＝（），則，b，c的小關系是結(jié)）14函數(shù)f（x）的定義域為D給出下列兩個條件：對，xD當≠x時，總有fx）（）f）在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．請寫出一個同時滿足條件的函數(shù)f），則（x）＝．

.用“＜”連

UU15已知函數(shù)

給出下列四個結(jié)論：存實數(shù)，使函數(shù)f（）為奇函數(shù)；對意實數(shù)，函數(shù)f（）既無最大值也無最小值；對意實數(shù)和k，函數(shù)y＝f（）總存在零點；對任意給定的正實數(shù)，存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，）上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題：本大題共4小，共40.解答應寫出文字說明，證明過程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．17（分）已知函數(shù)．（Ⅰ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（）在區(qū)間0+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．18（分某上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年該商城已售出的甲種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的數(shù)據(jù)如表：型號首次出現(xiàn)

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的時間x（年）硬盤數(shù)（個）

22假設甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立．（Ⅰ）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（Ⅱ）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首

次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第年即2≤）的概率．19（分函數(shù)f（）的定義域為D，若存在正實數(shù)k，對任意的D，總有f）﹣f（﹣x）≤，則稱函數(shù)f（）具有性質(zhì)P（）．（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)P（），并說明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）為二次函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（k）．求證：f（x）是偶函數(shù)；（Ⅲ）已知a＞0k為定的正實數(shù)若函數(shù)求取值范圍．

具有性質(zhì)P（k），

參考答案一、選擇題（共10?。?．已知集合U＝{1，，，4，56}A＝{1，，3}集合與B的系如圖所示，則集合可是（）A{2，45}

B{1，25}C．{1，6}D．{13}解：由圖可知B，而{13}{1，2，3}．故選：D．若px（0，∞，+≥2，則￢p為）AC．解：因為px（，+∞），x+≥，

B．D．所以￢p為故選：A．

．．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間，∞上單調(diào)遞減的是（）A＝﹣

B

C．y

D．＝x3解：A．函數(shù)為偶數(shù)，不滿足條件．B．函數(shù)的定義域[，∞），為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．C．數(shù)為奇函數(shù)，且當＞，＝為減函數(shù)，滿足條件．D．數(shù)奇函數(shù)，當0時增函數(shù)，不滿足條件．故選：C．．某校高一年級有180名男生，150名生，學校想了解高一學生對文史類課程的看法，用分層抽樣的方式高一年級生中抽取若干人進行訪談在生中抽取了30，

則在男生中抽取了（）A18B人解：由題意計算抽樣比例為

＝，

C．45

D．60所以應抽取高一男生為×＝36人）．故選：B．．已知，b，cR，且＞，則下列不等式一定成立的是）Aa2

＞b2

B

C．a(chǎn)＞cD﹣＜c﹣解：由，b，，且a＞b?。剑琤﹣，＝，則選項ABC誤．由＞b，得﹣＜﹣，∴c﹣＜c﹣b成立故D正．故選：D從字34隨機取兩個不同的數(shù)別為和y則為數(shù)的概率）A

B

C．

D．解：從數(shù)字2，34，6中機取兩個不同的，分別記為x和y，基本事件總數(shù)＝＝12，其中為整數(shù)包含的基本事件（，）有：42，（，2，，3，共3個，則為數(shù)的概率是＝＝故選：B．

＝．．已知函數(shù)

，下列區(qū)間中含有f（x）的零點的是（）A（10）解：因為函數(shù)所以

B（0，1，，

C．（1）

D．2，3），所以f（1f2）＜0根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得，函數(shù)f）在區(qū)間（1，2）上有零點．故選：C．．已知函數(shù)f（x）＝x﹣2ax，則“a”是“函數(shù)f）在區(qū)間，∞）上單調(diào)遞增”

aa的（）A充分不必要條件C．要條件

B．要不充分條件D．不分也不必要條件解：f（x）＝x2ax＝（x﹣a）﹣，開口向上，對稱軸為x＝，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則a，“a0”能推出“函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上單調(diào)遞增”，但“函數(shù)f（x）在區(qū)間0+）上單調(diào)遞增”不能推出a＜，a有能等于，故“＜0是“函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，∞上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選：A．．對任意的正實數(shù)，，不等式＝A（，4]B．（，2]解：由題設可得≤

+4

，

恒成立，則實數(shù)m取值范圍是（）C．﹣∞4]D．（﹣，2]又

+4

≥2

＝4當且僅當x＝4y時“＝“，∴≤，故選：C．10物研究者在研究某種植物1～年的植株高度時得到的數(shù)據(jù)用如圖直觀表示要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在～5年的生長律列函數(shù)模型中符合要求的是（）A＝x+b（k＞0a＞0，且≠1）B＝logx+（k＞，a，且a≠）C．D．＝++ca0解：由函數(shù)圖象可知函數(shù)單調(diào)遞增，但是趨于平緩，

22選項：（，1），則它在（，+∞）遞減，（，∞，它在0，∞上遞增且遞增速率變大，故A誤，選項：（，1），則它在（，+∞）遞減，（，∞，它在0，∞上遞增且遞增速率變小B正，選項C：當＞0時在0，∞）遞減，錯，選項：＞0時它口向下，不符合已知D錯，故選：B．二、填空題：本大題共5小，每小題分，共分把答案填在題中橫線11不等式2

﹣3＜的集為（，）．解：不等式x﹣3x＜0化x（x﹣）＜0解得＜x＜3，∴不等式的解集為（，）．故答案為：，3．12某超市對個時間段內(nèi)使用A兩移動支付方式的次數(shù)用莖圖作了統(tǒng)計，如圖所示．使用支付方式A次數(shù)的極差為；使用支付方式B的數(shù)的中位數(shù)為，則m．解：由莖葉圖可知，使用支付方式A的數(shù)的極差為﹣2；因為使用支付方式B次數(shù)的中位數(shù)是17，所以m，所以

，解得m．故答案為：23；．13已知alog，b，c＝（

，則a，c的大小關系是＜c＜b.用“＜”連結(jié)）解：∵，＜，

11121112∵∵

，∴b，，∴，∴a＜b，故答案為：a＜c＜．14函數(shù)f（x）的定義域為D給出下列兩個條件：對，xD當≠x時，總有fx）（）f）在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)．請寫出一個同時滿足條件的函數(shù)f），則（x）＝（案不唯一）．解：結(jié)合已知可尋求函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，但是在定義域內(nèi)的一個區(qū)間上單調(diào)，結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)可知f（）＝符要求．故答案為：（）＝（案不唯一）．15已知函數(shù)

給出下列四個結(jié)論：存實數(shù)，使函數(shù)f（）為奇函數(shù)；對意實數(shù)，函數(shù)f（）既無最大值也無最小值；對意實數(shù)和k，函數(shù)y＝f（）總存在零點；對任意給定的正實數(shù)，存在實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，）上單調(diào)遞減．其中所有正確結(jié)論的序號是．解：由函數(shù)f（x）的解析式可得象如圖：

UUU111UUU111212a時函數(shù)f（）奇函數(shù)，故正；由象可知對于任意的實數(shù)，函數(shù)f（）無最值，正；當＝﹣3＝8時函數(shù)y＝（x）沒有零點，故錯；由象可知，當＞時函數(shù)fx）在（﹣1，m）上單調(diào)遞減，故正．故答案為：．三、解答題：本大題共4小，共40.解答應寫出文字說明，證明過程或演算16（）已知全集U，A＝{﹣＜2}，B{＜＜5}求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（）∪B．解：不等式﹣1|＜2的為＜x＜3故A{﹣1＜3}，（Ⅰ）A∩B＝{﹣＜x＜3}∩{＜x＜5}＝{x＜x3}．（Ⅱ）＝{≤﹣1或x≥3}，∴（）∪B＝{x≤﹣或x＞0}17（分）已知函數(shù)．（Ⅰ）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（）在區(qū)間0+∞）上是增函數(shù)；（Ⅱ）解不等式f（2

+1）＞f（4x）．解：（Ⅰ）證明：任取，（0+∞），且x＜x，則∵x，（0∞），且x＜，

＝，

12121212∴

，∴（x）fx）．即fx）f（）函數(shù)f）在區(qū)間（，∞）上單調(diào)遞增；（Ⅱ）根據(jù)題意，對于f（2

+1

）＞f（4x

），有

＞0，

x＞，而函數(shù)f（x）在區(qū)間（0+）上單調(diào)遞增，則有

x

＞4

x，即

＜1解可得x＜1．不等式的解集為（﹣∞，1．18（分某上電子商城銷售甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤，甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤保修期均為3年該商城已售出的甲種品牌的固態(tài)硬盤中各隨機抽取50個統(tǒng)計這些固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的數(shù)據(jù)如表：型號首次出現(xiàn)

＜x≤

甲12≤＜x≤1

乙＜x≤＜x≤3故障的時間x（年）硬盤數(shù)（個）

22假設甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤首次出現(xiàn)故障相互獨立．（Ⅰ）從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，試估計首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（Ⅱ）某人在該商城同時購買了甲、乙兩種品牌的固態(tài)硬盤各一個，試估計恰有一個首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期的第年即2≤）的概率．解（）在圖表中甲品牌的50個本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的頻率為

，即．設從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)為事件．利用頻率估計概率，得．

所以從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，估計其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為．（Ⅱ在表中甲品牌的個樣本中首出現(xiàn)故障發(fā)生在保修第3年頻率為即．

，在圖表中乙品牌的個本中，首次出現(xiàn)故障發(fā)生保修期第3的頻率為

．設從該商城銷售的甲品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的第三年為事件，從該商城銷售的乙品牌固態(tài)硬盤中隨機抽取一個，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的第三年為事件，利用頻率估計概率，得，，所以某人在該商城同時購買了甲、乙兩個品牌的固態(tài)硬盤各一個，估計保修期內(nèi)恰有一個首次出現(xiàn)故障的概率為．19（分函數(shù)f（）的定義域為D，若存在正實數(shù)k，對任意的D，總有f）﹣f（﹣x）≤，則稱函數(shù)f（）具有性質(zhì)P（）．（Ⅰ）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)P（），并說明理由．f）＝2021；

g）＝x；（Ⅱ）已知f（x）為二次函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)f（x）具有性質(zhì)P（k）．求證：f（x）是偶函數(shù)；（Ⅲ）已知a＞0k為定的正實數(shù)若函數(shù)

具有性質(zhì)P（k），求取值范圍．【解答】（Ⅰ）解：對，對于任意實數(shù)x，可f（）﹣f﹣＝|2021﹣2021|＝＜1所以f（x）具有性質(zhì)（）；

00020002對于，于任意實x，可得g）﹣g﹣）＝|x﹣（﹣x）＝|2．易知，只需取x＝1，則可得（1﹣（﹣1）＝＞1所以（x）不具有性質(zhì)（1）．（Ⅱ）證明：設二次函數(shù)f（）＝++（a0）滿足性質(zhì)（）．則對于任意實數(shù)x，滿足f（）﹣（﹣x）＝

+bx+﹣（2+bx+）＝|2|≤k．若≠0，則可取，有f