山東省青島市第三十六中學2022-2023學年高一數學理聯(lián)考試卷含解析

山東省青島市第三十六中學2022-2023學年高一數學理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（

）

A．4

B．8

C．16

D．20參考答案：C略2.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人．為了調查他們的身體狀況的某項指標，需從他們中間抽取一個容量為的樣本，則老年人、中年人、青年人分別應抽取的人數是（

）A.7，11，18 B.6，12，18C.6，13，17 D.7，14，21參考答案：D試題分析：由題意，老年人、中年人、青年人比例為1：2：3．由分層抽樣的規(guī)則知，老年人應抽取的人數為×42=7人，中年人應抽取的人數為×42=14人，青年人應抽取的人數為×42=21人考點：分層抽樣方法3.函數f（x）=log3（4x﹣1）的定義域為（）A．（﹣∞，] B．[） C．（] D．（）參考答案：D【考點】對數函數的圖像與性質．【專題】整體思想；換元法；函數的性質及應用．【分析】由對數有意義可得4x﹣1＞0，解不等式可得函數的定義域．【解答】解：由對數有意義可得4x﹣1＞0，解不等式可得x＞，∴函數的定義域為（，+∞）故選：D【點評】本題考查對數函數的定義域，屬基礎題．4.若為任一非零向量，為長度為1的向量，下列各式正確的是（

）A． B． C． D．參考答案：C略5.設、是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，則

B．若，，則C．若，，則

D．若，，則參考答案：B6.如果函數f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4]上是減函數，那么實數a的取值范圍是(

)A．a≥5 B．a≤5 C．a≤﹣3 D．a≥﹣3參考答案：C【考點】二次函數的性質．【專題】函數的性質及應用．【分析】利用二次函數對稱軸和區(qū)間（﹣∞，4]的關系，建立不等式進行求解即可．【解答】解：∵函數f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在區(qū)間（﹣∞，4]上是減少的，∴二次函數的對稱軸x≥4，即，∴a≤﹣3．故選：C．【點評】本題主要考查二次函數的圖象和性質，要求熟練掌握二次函數對稱軸和函數單調性之間的關系．7.甲、乙兩人玩猜數字游戲，先由甲心中想一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b，其中a，b∈{0，1，2，3}，若|a-b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）

A.

B.

C.

D.參考答案：C8.假設有一組數據為6，8，3，6，4，6，5，這些數據的眾數與中位數分別是（

）A.5，6

B.6，6

C.6，5

D.以上都不正確參考答案：B9.設集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，則A∩B=（）A．（﹣3，﹣） B．（﹣3，） C．（1，） D．（，3）參考答案：D【考點】交集及其運算．【專題】計算題；定義法；集合．【分析】解不等式求出集合A，B，結合交集的定義，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故選：D【點評】本題考查的知識點是集合的交集及其運算，難度不大，屬于基礎題．10.在中，若，則此三角形為

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三棱錐V﹣ABC中，VB=，BC=2，則二面角V﹣AB﹣C的大小為．參考答案：60°【考點】二面角的平面角及求法．【分析】取AC中點O，連結VO，BO，則∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角V﹣AB﹣C的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D，正三棱錐V﹣ABC中，VB=，BC=2，取AC中點O，連結VO，BO，∵VA=VC=VB=，AB=AC=2，AO=CO=，∴VO⊥AC，BO⊥AC，VO==2，BO==3，∴∠VOB是二面角V﹣AB﹣C的平面角，cos∠VOB===，∴∠VOB=60°．∴二面角V﹣AB﹣C的大小為60°．故答案為：60°．12.求函數的定義域．參考答案：[2，3）∪（3，+∞）．【考點】函數的定義域及其求法．【分析】該函數的定義域是需要根式和含0次冪項都有意義的x的取值構成的集合．【解答】解：要使原函數有意義，則需解得：x≥2，且x≠3，所以原函數的定義域為[2，3）∪（3，+∞）．故答案為[2，3）∪（3，+∞）．13.若函數f（x）=，則f（3）=．參考答案：﹣2【考點】函數的值．【分析】利用函數性質直接求解．【解答】解：∵函數f（x）=，∴f（3）==﹣2．故答案為：﹣2．14.已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，對于任意x∈R都f（x+6）=f（x）+f（3）成立；當x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時，都有．給出下列四個命題：①f（3）=0；②直線x=﹣6是函數y=f（x）圖象的一條對稱軸；③函數y=f（x）在[﹣9，﹣6]上為增函數；④函數y=f（x）在[0，2014]上有335個零點．其中正確命題的序號為．參考答案：①②【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；函數的性質及應用．【分析】①中，由題意，令x=﹣3，求出f（3）=0；②中，由題意，求出f（x）的周期為6，且滿足f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x），得出x=﹣6是y=f（x）圖象的對稱軸；③中，由題意，得出y=f（x）在[﹣3，0]上是減函數，從而得y=f（x）在[﹣9，﹣6]上的單調性；④中，由題意，知y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，得出y=f（x）在[0，2014]上的零點數．【解答】解：對于①，∵f（x+6）=f（x）+f（3），∴f（﹣3+6）=f（﹣3）+f（3），又∵f（﹣3）=f（3），∴f（3）=f（3）+f（3），∴f（3）=0，①正確；對于②，由①知f（x+6）=f（x），∴f（x）的周期為6；又∵f（x）是R上的偶函數，∴f（x+6）=f（﹣x）；而f（x）的周期為6，∴f（x+6）=f（﹣6+x），f（﹣x）=f（﹣x﹣6），∴f（﹣6﹣x）=f（﹣6+x）；∴直線x=﹣6是y=f（x）圖象的一條對稱軸，②正確；對于③，x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2時，有，即y=f（x）在[0，3]上是增函數；∵f（x）是R上的偶函數，∴y=f（x）在[﹣3，0]上是減函數；又f（x）的周期為6，∴y=f（x）在[﹣9，﹣6]上是減函數，③錯誤；對于④，f（3）=0，且f（x）的周期為6，又y=f（x）在[0，3]上為增函數，在[3，6]上為減函數，∴y=f（x）在[0，6]上只有一個零點3，又2014=335×6+3，∴y=f（x）在[0，2014]上有335+1=336個零點，④錯誤．綜上，以上正確的命題是①②．故答案為：①②．【點評】本題考查了函數的單調性與奇偶性，周期性與對稱性以及函數零點的綜合應用問題，是較難的題目．15.函數的定義域為________.參考答案：略16.函數的值域為

.參考答案：略17.已知ω為正整數，若函數f（x）=sin（ωx）在區(qū)間上不單調，則最小的正整數ω=

．參考答案：2【考點】正弦函數的圖象．【分析】由題意可得ω?＜，且ω?＞，由此求得最小正整數ω的值．【解答】解：∵ω為正整數，函數f（x）=sin（ωx）在區(qū)間上不單調，∴ω?＜，ω?＞，∴＜ω＜3，則最小的正整數ω=2，故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設數列的前n項和為，已知.(1）求的值。（2）求證為等差數列，并求數列的通項公式。（3）證明：對一切正整數。參考答案：解（1）由已知得∴∵

∴（2）兩式相減得∴∴又∵∴是首項為，公差為的等差數列∴即（3）當時，當時，當時，略19.{an}為等差數列，Sn為數列{an}的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數列{}的前n項和，求Tn.參考答案：略20.(8分)已知集合,,,且,求的取值范圍。參考答案：，當時，，而

則

這是矛盾的；當時，，而，21.過點P（1，4）作圓C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的兩條切線，切點為A、B．（Ⅰ）求PA和PB的長，并求出切線方程；（Ⅱ）求直線AB的方程．參考答案：【考點】圓的切線方程．【專題】綜合題；分類討論；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）求出PC，利用勾股定理求PA和PB的長，分類討論求出切線方程；（Ⅱ）求出以P（1，4）、C（2，1）為直徑的圓的方程，將兩圓的方程相減可得公共弦AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）PC==∴PA=PB==3

斜率不存在時，切線方程：x﹣1=0，斜率存在時，設方程為y﹣4=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+4=0，圓心到直線的距離d==1，∴k=﹣∴切線方程為4x+3y﹣16=0，綜上所述，切線方程為4x+3