中考總復(fù)習(xí)：分式與二次根式-知識講解(提高)與例題講解

中考總習(xí)分式與次式—知講解（高）【考綱求了解分式的概念，會利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分，會進(jìn)行分式的加、減、乘、除、乘方運算；能夠根據(jù)具體問題數(shù)量關(guān)系列出簡單的分式方程，會解簡單的可化為一元一次方程的分式方程；利用二次根式的概念及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的化簡運用二次根式的加、減、乘、除法的法則進(jìn)行二次根式的運算．【知識絡(luò)【考點理考點一分的有關(guān)念性質(zhì)1分式設(shè)、B示兩個整式．如果B中有字母，式子就叫做分式．注意分母值不能為零，否則分式?jīng)]有意義2.分式的本性質(zhì)（M不等于零的整式）.3最簡式分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡要點詮：分式的概念需注意的問題：(1)分式是兩個整式相除的商其中分母是除式分子是被除式，而分?jǐn)?shù)線則可以理解為除號，還含有括號的作用；分式中，A和均為整式，A可含字母，也可不含字母，但B必須含有字母且不為0；判斷一個代數(shù)式是否是分式不要把原式約分變形，只根據(jù)它的原有形式進(jìn)行判斷．分式有無意義的條件：在分式中，當(dāng)B≠時，分式有意義；當(dāng)分式有意義時B≠0．當(dāng)=0，分式無意義；當(dāng)分式無意義時=0．③當(dāng)≠0=0時，分式的值為零．考點二分的運算1基本算則分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似,具體運算法則如下:（1加減運算

錯誤！找引用源誤！未到引用。=錯！未找引源。同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法則進(jìn)行計算（2）乘法運算兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母（3）除法運算兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.（4）乘方運算（分式乘方）分式的乘方，把分子分母分別乘方．．零指．負(fù)整指

.4分式混運算順先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號先算括號里面的．5約分把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．約分需明確的問題：對于一個分式來說約分就是要把分子與分母都除以同一個因式，使約分前后分式的值相等；約分的關(guān)鍵是確定分式的分子和分母的公因式其思考過程與分解因式中提取公因式時確定公因式的思考過程相似；在此，公因式是分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母最低次冪的積．6通分根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母的分式可以化為同分母的分式，這一過程稱為分式的通分．通分注意事項：通分的關(guān)鍵是確定最簡公分母簡公分母應(yīng)為各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有因式的最高次冪的積．不要把通分與去分母混淆是通分成了去分母，把分式中的分母丟掉．確定最簡公分母的方法：最簡公分母的系數(shù)，取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；最簡公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次冪的積.要點詮釋：分式運算的常用技巧（順序可加法：有些異分母式可,簡公分母很復(fù)雜果采用先通分再可加的方法很繁.果先把兩個分式相加,把所得結(jié)果與第三個分式可加減,順序運算下,為簡便.整體通分法：當(dāng)整式與分式相加減時,般情況下常常把分母為1的整式看做一個整體進(jìn)行通,此方法計算,運算簡便.巧用裂項法對于分子相同分母是相鄰兩個連續(xù)整數(shù)的積的分式相加減，分式的項數(shù)是比較多的，無法進(jìn)行通分，因此，常用分式

11n(nn

進(jìn)行裂項.分組運算法:當(dāng)有三個以上的異分母分式相加減時可考慮分組則是使各組運算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)且值相同或為倍數(shù)關(guān)系這樣才能使運算簡便.化簡分式法有些分式的分子分母都異常時如果先通分，運算量很大應(yīng)先把每一個分別化簡，再相加減（6）倒數(shù)法求值（取倒數(shù)法）（7）活用分式變形求值.(8)設(shè)

求值法參數(shù)法)(9)整體代換法.(10)消元代入法.考點三分方程及應(yīng)1分式程概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2分式程解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程邊都乘以最簡公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3分式程增根問增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為，那么就會出現(xiàn)不適合原方程的根--增根；驗根因為解分式方程可能出現(xiàn)增根所以解分式方程必須驗根驗根方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為，如果為0，即為增根，不0，就是原方程的解．4分式程應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類似，但要稍復(fù)雜一些．解題時應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解．另外，還要注意從多角度思考、分析、解決問題，注意檢驗、解釋結(jié)果的合理性．要點詮：解分式方程注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進(jìn)行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否0，如果為，即為增根，不為，就是原方程的解．列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：審——仔細(xì)審題，找出等量關(guān)系；設(shè)——合理設(shè)未知數(shù)；列——根據(jù)等量關(guān)系列出方程；解——解出方程；驗——檢驗增根；答——答題．考點四二根式的要質(zhì)1.

a0(

；a(a0)

；3.

|

(a0)(

；4.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

abab(

；5.商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：

(a，

.6.若

a0

，則

ab

.要點詮：與

的異同點：（1）不同點：

與

表示的意義是不同的，

表示一個正數(shù)算術(shù)平方根的平方，而

表示一個實數(shù)平方的算術(shù)平方根；在

中，而

中a可以是正實數(shù)，0，負(fù)實數(shù)．但

與

都是非負(fù)數(shù)，即

，

．因而它的運算的結(jié)果是有差別的，

，而（2同點被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)

時，=；時，而

無意義，.考點五二根式的算1二次式乘除運(1)運算結(jié)果應(yīng)滿足以下兩個要求：①應(yīng)為最簡二次根式或有理式；②分母中不含根號注意知道每一步運算的算理；乘法公式的推廣：aaa(aa，a13n23n2二次式加減運先化為最簡二次根式類比整式加減運算明確二次根式加減運算的實質(zhì)；3二次式混合運對二次根式的混合運算首先要明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，如有括號，應(yīng)先算括號里面的；二次根式的混合運算與整式、分式的混合運算有很多相似之處，整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用要點詮：怎樣快速準(zhǔn)確地進(jìn)行二次根式的混合運算明確運算順序，先算乘方，再算乘除后算加減，有括號先算括號里面的；在二次根式的混合運算中原學(xué)過的運算律運算法則及乘法公式仍然適用；在二次根式的混合運算中如結(jié)合題目特點靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半2627273232a與（2）2627273232a與（2）功倍的效果.(1)加法與乘法的混合運算，可分解為兩個步驟完成，一是進(jìn)行乘法運算，二是進(jìn)行加法運算，使難點分散，易于理解和掌握.在運算過程中對于各個根式不一定要先化簡可以先乘除，進(jìn)行約分，達(dá)到化簡的目的，但最后結(jié)果一定要化簡.例如8，沒有必要先對

進(jìn)行化簡，使計算繁瑣，可以先根據(jù)乘分配律行乘法運算，

8327

，通過約分達(dá)到化簡目的；(2)多項式的乘法法則及乘法公式在二次根式的混合運算中同樣適用.如

32

，利用了平方差公式所以在進(jìn)行二次根式的混合運算時借助乘法公式會使運算簡化.4分母理把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘若它們的積不含二次根，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式常用的二次根式的有理化因式：（1）互為有理化因式；與b

互為有理化因式一般地

b與b

互為有理化因式；（3）

ab與

互為有理化因式；一般地

a與c2xx222xx22互為有理化因式.【典型題類型一分的意義1．若分式的為

0，則的值等于．【答案】1；【解析】由分式的值為零的條件得﹣1=0，+1≠0，由﹣1=0，得x﹣1x=1，由x+1≠0，得x≠﹣1，∴=1，故答案為．【總結(jié)升華若分式的值為零，需同時具備兩個條件分子為）分母不為．這兩個條件缺一不可．舉一反：【變式

1如果分3的值為

0則值應(yīng)為.【答案】由分式的值為零的條件得3x-27=0且x-3≠0，由3x

2

-27=0，得3（x+3）=0，∴x=-3x=3，由x-3≠0得x．綜上得

x=-3分x27值為

0故答案為-3．,即或,即或【分式與二次根式：例】【變式2】若分式

不論

x取何實數(shù)總有意義，則m的x

取值范圍是．【答案若分式

x2

不論x取何實數(shù)總有意義，則分母x

x

≠0，設(shè)

yx

，當(dāng)eq\o\ac(△,＜)eq\o\ac(△,)0可，

＜0,m

.答案＞類型二分的性質(zhì)2．已知

bca求abc

的值.【答案與解析】設(shè)

baa

,所以所以所以

ak,cabk2()),()(a)當(dāng),所求代數(shù)式

abc13

,當(dāng)

a

,所求代數(shù)式.即所求代數(shù)式等或.8【總結(jié)升華當(dāng)已知條件以此等式出現(xiàn)時可用設(shè)法求解舉一反：,,a且,,a且【變式已知【答案】

11111,,ac9ac

1求abc的值15ab因為

11111,ab6b9ac15

,各式可加1115所以所以

11131，a180)1bc()abc)11cb類型三分的運算3．已知

x

,求

x2y2z2yxy

的值.【答案與解析】因為

y0

,所以原等式兩邊同時乘以

x

,得:x(y)yxy(x)yzxy

xy.即

x(2z)z2z(x)xyyzzx所以所以

yz2x)z22zz【總結(jié)升華】條件分式的求值如需把已知條件或所示條件分式變形，必須依據(jù)題目自身的特點，這樣才能到事半功倍abc,,2abc,,2的效果，條件分式的求值問題體現(xiàn)了整體的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.舉一反：【式1】知

z,x

且,

abcab

的值.【答案】由已知a所以1yxyaxaxxx

,所以

aaxy

,同理所以

bz,bxyxyabczxabxyyxy

.【分式與二次根式例2【變式已知x＋－4，－12，求

x

的值．【答案】原式

(x(

2

=

2

2y

(x))y)將x＋y＝－4＝－12入上式，∴原式

(

23415,得當(dāng)時,,即或2,得當(dāng)時,,即或2a2x類型四分方程及用4．a(chǎn)何值時,關(guān)于

的方程

2ax3x

會產(chǎn)生增根【答案與解析】方程兩邊都乘以

(x2)(xx整理得

(x

.當(dāng)=時,方程無解.a

10a

.如果方程有增根,那么(x2)(x2)2當(dāng)時,,所以;a當(dāng)時,10,所以a=6.a所以當(dāng)或=方程會產(chǎn)生增根.【總結(jié)升華】因為所給方程的增根只能是或

.

，所以應(yīng)先解所給的關(guān)于的式方程，求出其根，然后求的值.5甲．乙兩人準(zhǔn)備整理一批新到的實驗器材．若甲單獨整理需要分鐘工：若甲．乙共整理鐘后，乙需再單獨整理20分鐘才能完工．問乙單獨整理多少分鐘完工？若乙因工作需要，他的整理時間不超過30鐘，則甲至少整理多少分鐘才能完工？【答案與解析】（1）設(shè)乙單獨整理x鐘完工，根據(jù)題意得：202040x解得＝80，經(jīng)檢驗＝80是原分式方程的解．答：乙單獨整理鐘完工．（2）設(shè)甲整理y鐘完工，根據(jù)題意，得30y8040解得：y≥25答：甲至少整理鐘完工．【總結(jié)升華分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．此題等量關(guān)系比較多，主要用到公式：工作總量＝工作效率×工作時間．將總的工作量看作單位1，根據(jù)本工作分兩段時間完成列出分式方程解之即可；設(shè)甲整理y鐘完工，根據(jù)整理時間不超過30分鐘，列出一次不等式解之即可．舉