matlab曲線擬合與矩陣計算

Matlab應用重點（1）

曲線擬合曲線擬合定義在實際工程應用和科學實踐中，經常需要尋求兩個（或多個）變量間的關系，而實際去只能通過觀測得到一些離散的數據點。針對這些分散的數據點，運用某種你和方法生成一條連續(xù)的曲線，這個過程稱為曲線擬合。曲線擬合可分為：（1）參數擬合----最小二乘法（2）非參數擬合----

插值法一、數據預處理在曲線擬合之前必須對數據進行預處理，去除界外值、不定值和重復值，以減少人為誤差，提高擬合的精度。數據預處理包括：（1）數據輸入與查看（2）數據的預處理傳輸數據通過數據GUI來實現，查看數據點通過曲線擬合工具的散點圖來實現。1.輸入和查看數據集（1）打開曲線擬合工具界面通過cftool命令打開曲線擬合工具界面5個命令按鈕Data按鈕：可輸出、查看和平滑數據；Fitting按鈕：可擬合數據、比較擬合曲線和數據集；Exclude按鈕：可以從擬合曲線中排除特殊的數據點；Ploting按鈕：在選定區(qū)間后，單擊按鈕，可以顯示擬合曲線和數據集；Analysis按鈕：可以做內插法、外推法、微分或積分擬合。（2）輸入數據集在輸入數據之前，數據變量必須存在于matlab的工作區(qū)間?？梢酝ㄟ^load命令輸入變量。單擊曲線擬合工具界面中的Data按鈕，打開Data對話框，在對話框中進行設置，可以輸入數據。Data對話框包括兩個選項卡：DataSets和Smooth.DataSets選項卡：.Importworkspacevectors把向量輸入工作區(qū)，要注意的是變量必須具有相同的維數，無窮大的值和不定值被忽略。Xdata用于選擇觀測數據Ydata用于選擇X的響應數據Weight用于選擇權重，與響應數據相聯系的向量，如果沒選擇，默認值為1..Preview對所選向量進行圖形化預覽.Datasetname設置數據集的名稱。工具箱可以隨即產生唯一的文件名，但用戶可以重命名。.Datasets選項以列表的形式顯示所有擬合的數據集。當選擇一個數據集時，可以對它做如下操作：

.View查看數據集，以圖標形式和列表形式，可以選擇方法排除異常值；

.Rename重命名.Delete刪除數據組例：輸入數據，采用matlab自帶的文件censuscensus有兩個變量：cdate和pop。

cdate是一個年向量，包括1790-1990年，pop是對應年份的美國人口。>>

whos-filecensusNameSizeBytesClassAttributes

cdate21x1168doublepop21x1168double>>loadcensus>>

cftool(cdate,pop)散點圖單擊Data按鈕在Xdata和Ydata兩個下拉式列表框中選擇變量名，將在Data對話框中顯示散點圖的預覽效果：當選擇Datasets列表框中的數據集時，單擊View按鈕，打開ViewDataSet對話框工作表方式2.數據的預處理在曲線擬合工具箱中，數據的預處理主要包括平滑法、排除法和區(qū)間排除法等。(1)平滑數據打開擬合工具箱，單擊Data按鈕，打開Data對話框，選擇Smooth選項卡Smooth選項卡各選項的功能：.Originaldataset用于挑選需要擬合的數據集；.Smootheddataset平滑數據的名稱；.Method用于選擇平滑數據的方法，每一個相應數據用通過特殊的曲線平滑方法所計算的結果來取代。平滑數據的方法包括：（?。㎝ovingaverage用移動平均值進行替換；（ⅱ）Lowess局部加權散點圖平滑數據，采用線性最小二乘法和一階多項式擬合得到的數據進行替換；（ⅲ）Loess局部加權散點圖平滑數據，采用線性最小二乘法和二階多項式擬合得到的數據進行交換；（ⅳ）Savitzky-Golay

采用未加權的線性最小二乘法過濾數據，利用指定階數的多項式得到的數據進行替換；（ⅴ）Span用于進行平滑計算的數據點的數目；（ⅵ）Degree用于Savitzky-Golay方法擬合多項式的階數。.Smootheddatasets對于所有平滑數據集進行列表。可以增加平滑數據集，通過單擊Createsmootheddataset按鈕，可以創(chuàng)建經過平滑的數據集。.View按鈕打開查看數據集的GUI，以散點圖方式和工作表方式查看數據，可以選擇排除異常值的方法。.Rename用于重命名。.Delete可刪去數據組。.Savetoworkspace保存數據集。（2）排除法和區(qū)間排除法排除法是對數據中的異常值進行排除。區(qū)間排除法是采用一定的區(qū)間去排除那些用于系統(tǒng)誤差導致偏離正常值的異常值。在曲線擬合工具中單擊Exclude按鈕，可以打開Exclude對話框Exclusionrulename指定分離規(guī)則的名稱Existingexclusionrules列表產生的文件名，當你選擇一個文件名時，可以進行如下操作：Copy復制分離規(guī)則的文件；Rename重命名；delete刪去一個文件；View以圖形的形式展示分離規(guī)則的文件。Selectdataset挑選需要操作的數據集；Excludegraphically允許你以圖形的形式去除異常值，排除個別的點用“×”標記。Checktoexcludepoint挑選個別的點進行排除，可以通過在數據表中打勾來選擇要排除的數據。ExcludeSections選定區(qū)域排除數據：

ExcludeX選擇預測數據X要排除的數據范圍；

ExcludeY選擇響應數據Y要排除的數據范圍。（3）其他數據預處理方法其他的預處理方法不便通過曲線擬合工具箱來完成，主要包括兩部分：響應數據的轉換和去除無窮大、缺失值和異常值。響應數據的轉換一般包括對數轉換、指數轉換，用這些轉換可以使非線性的模型線性化，便于曲線擬合。變量的轉換一般在命令行里實現，然后把轉換后的數據輸入曲線擬合工具箱，進行擬合。無窮大、不定值在曲線擬合中可以忽略，如果想把他們從數據集中刪除，可以用isinf和isnan置換無窮大值和缺失值。二、曲線擬合Matlab提供兩種曲線擬合方法：（1）以函數的形式，使用命令對數據進行擬合。這種方法比較繁瑣，需要對擬合函數有比較好的了解。（2）用圖形窗口進行操作，具有簡便、快速，可操作性強的優(yōu)點。1.多項式擬合函數(1)Polyfit函數P=polyfit(x,y,n)用最小二乘法對數據進行擬合，返回n次多項式的系數，并用降序排列的向量表示，長度為n+1.[p,s]=polyfit(x,y,n)返回多項式系數向量p和矩陣s。s與polyval函數一起用時，可以得到預測值的誤差估計。如數據y的誤差服從方差為常數的獨立正態(tài)分布，polyval函數將生成一個誤差范圍，其中包含至少50%的預測值.[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)返回多項式的系數，mu是一個二維向量[u1,u2],u1=mean(x),u2=std(x),對數據進行預處理x=(x-u1)/u2(2)Polyval函數利用該函數進行多項式曲線擬合評價y=polyval(p,x)返回n階多項式在x處的值，x可以是一個矩陣或者是一個向量，向量p是n+1個以降序排列的多項式的系數。.y=polyval(p,x,[],mu)用x=(x-u1)/u2代替x，其中mu是一個二維向量[u1,u2],u1=mean(x),u2=std(x),通過這樣處理數據，使數據合理化。[y,delta]=polyval(p,x,s)[y,delta]=polyval(p,x,s,mu)產生置信區(qū)間y±delta。如果誤差結果服從標準正態(tài)分布，則實測數據落在y±delta區(qū)間內的概率至少為50%。例>>x=[00.03850.09630.19250.28880.385];>>y=[0.0420.1040.1860.3380.4790.612];>>[p,s,mu]=polyfit(x,y,5)輸出結果為：p=Columns1through50.0193-0.0110-0.04300.00730.2449Column60.2961說明擬合的多項式為：s=R:[6x6double]

df:0

normr:2.3684e-016mu=0.16690.1499自由度為0

標準偏差為2.3684e-016例:根據表中數據進行4階多項式擬合X1345678910F(x)1054211234>>x=[1345678910];

>>y=[1054211234];

>>[p,s]=polyfit(x,y,4);

>>y1=polyval(p,x);

>>

plot(x,y,'go',x,y1,'b--')>>poly2str(p,'t')

ans=

-0.0049945t^4+0.11461t^3-0.61143t^2-1.1005t+11.5499例：電阻和溫度的關系數據如下求60度時的電阻.溫度20.532.751.073.095.7電阻7658268739421032>>T=[20.532.7517395.7];>>R=[7658268739421032];>>a=polyfit(T,R,1);>>y=poly2str(a,'t')y=3.3987t+702.0968>>y=polyval(a,T)%計算多項式在某一點處的值y=1.0e+003*0.77180.81320.87540.95021.0274>>

plot(T,R,'k+',T,y,'r*')>>holdon>>

plot(T,y,'b')>>polyval(a,60)ans=906.0212例：已知年齡和運動能力的一組數據，試確定二者的關系(根據圖形指定次數)年齡17192123252729第一人20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人24.3528.1126.331.426.9225.721.3>>x1=[17:2:29];>>x=[x1x1];>>y=[20.4825.1326.1530.026.120.319.3524.3528.1126.331.426.9225.721.3];>>

plot(x,y,'r+')>>a=polyfit(x,y,2)a=-0.20038.9782-72.2150>>poly2str(a,'x')ans=-0.20031x^2+8.9782x-72.215>>x1=17:0.1:29;>>y1=-0.20031*x1.^2+8.9782*x1-72.215;>>holdon;plot(x1,y1,'b')數據擬合函數表cfit產生擬合的目標fit用庫模型、自定義模型、平滑樣條或內插方法來擬合數據fitoptions產生或修改擬合選項fittype產生目標的擬合形式cflibhelp顯示一些信息，包括庫模型、三次樣條和內插方法等。disp顯示曲線擬合工具的信息get返回擬合曲線的屬性set對于擬合曲線顯示屬性值數據擬合函數表excludedata指定不參與擬合的數據smooth平滑響應數據confint計算擬合系數估計值的置信區(qū)間邊界differentiate對于擬合結果求微分integrate對于擬合結果求積分predint對于新的觀察量計算預測區(qū)間的邊界datastates返回數據的描述統(tǒng)計量feval估計一個擬合結果結果或擬合類型plot畫出數據點、擬合線、預測區(qū)間、異常值點和殘差2.曲線的參數擬合第一步：在命令行鍵入Cftool打開curvefittingtool對話框；第二步：在curvefittingtool對話框中

單擊Data按鈕打開data對話框指定要分析的（預先存在工作區(qū)間）數據；第三步：在curvefittingtool對話框中單擊fitting按鈕打開fitting對話框，進行設置，實現曲線擬合。Fitting對話框包括兩個面板：“FitEditor”面板和“Tabe

ofFits”面板。（1）Fiteditor選擇擬合的文件名、數據集，選擇排除數據的文件，比較數據擬合的各種方法，包括庫函數、自定義的擬合模型和擬合參數的選擇。（2）TableofFits同時列出所有的擬合結果。兩個面板的詳細描述：Newfit和Copyfit按鈕：開始進行曲線擬合是，單擊Newfit按鈕，它采用默認的線性多項式擬合數據。在原有的擬合形式上，選擇不同的曲線擬合方法，可以用Copyfit按鈕。Fitname選項為當前擬合曲線的名字。單擊Newfit按鈕時系統(tǒng)會產生默認的文件名。Dataset選項為當前的數據集。Exclusionrule排除異常值的文件名，在數據預處理前建立的文件名。CenterandscaleXdata可對觀測數據進行中心化和離散化處理。Typeoffit

擬合的類型，包括參數擬合和非參數擬合兩種。具體包括：（1）CustomEquations自定義擬合的線性或非線性方程；（2）Newequation使用CustomEquations按鈕錢，必須單擊Newequation按鈕選擇合適的方程；（3）Exponential指數擬合包括兩種形式：

y=a*exp(b*x)y=a*exp(b*x)+c*exp(d*x)（4）Fourier傅立葉擬合，正弦和余弦之和（共8個多項式）

（5）Gaussian高斯法，包括8個公式：（6）Interpolant

內插法，包括線性內插、最近鄰內插、三次樣條內插和shape-preserving內插；（7）Polynomial多項式，從一次到九次；（8）Rational有理擬合，兩個多項式之比，分子與分母都是多項式；（9）Power指數擬合，包括兩種形式：

y=a*x^by=a*x^b+c（10）Smoothingspline

平滑樣條擬合，默認的平滑參數由擬合的數據集來決定，參數是0產生一個分段的線性多項式擬合，參數是1產生一個分段三次多項式擬合；（11）SumofSinFunctions正弦函數的和，采用以下8個公式：

a1*sin(b1*x+c1)

…a1*sin(b1*x+c1)+…+a8*sin(b8*x+c8)（12）Weibull

兩個參數的Weibull分布，表達式如下：Y=a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)Fitoptions包括一些擬合方法，如線性擬合、非線性擬合，以及其他選項；單擊Apply按鈕：采用上述所選各種方法進行擬合；單擊Immediateapply按鈕，在選擇一個擬合形式后立即輸出結果并存儲；Results羅列進行擬合的各種參數：（1）SSE-sumofsquaresduetoerror誤差平方和，越接近0曲線的擬合效果越好（2）R-square越接近1，曲線的擬合效果越好（3）DegreeofFreedomAdjustedR-Square調整自由度以后的殘差的平方，數值越接近1，曲線的擬合效果越好（4）RootMeanSquareError根的均方誤差Tableoffits擬合曲線的列表，可以對每個列表做如下操作：Deletefit刪除所選的擬合曲線；Savetoworkspace儲存所有的擬合信息；Tableoptions選擇與擬合相聯系的信息。例：用三次和五次多項式擬合下列數據rand('state',0)

%重置生成器到初始狀態(tài)x=[1:0.1:39:0.1:10]';c=[2.5-0.51.3-0.1];y=c(1)+c(2)*x+c(3)*x.^2+c(4)*x.^3+(rand(size(x))-0.5);cftool(x,y);建立一個M文件，并運行上述文件，打開曲線擬合工具點擊fitting按鈕—newfit—cubicpolynomial--applyresultsLinearmodelPoly3:

f(x)=p1*x^3+p2*x^2+p3*x+p4Coefficients(with95%confidencebounds):p1=-0.09837(-0.1095,-0.08729)p2=1.275(1.113,1.437)p3=-0.4351(-1.092,0.2222)p4=2.56(1.787,3.332)Goodnessoffit:SSE:2.587R-square:0.9993AdjustedR-square:0.9993RMSE:0.3039Results：LinearmodelPoly5:

f(x)=p1*x^5+p2*x^4+p3*x^3+p4*x^2+p5*x+p6Coefficients(with95%confidencebounds):p1=0.001389(-0.003589,0.006367)p2=-0.03441(-0.1601,0.09125)p3=0.1934(-0.9131,1.3)p4=0.2733(-3.856,4.402)p5=1.013(-5.785,7.811)p6=1.835(-2.167,5.837)Goodnessoffit:SSE:2.552R-square:0.9993AdjustedR-square:0.9992RMSE:0.3133擬合圖形：例：用有理擬合方法擬合數據hahn1.mhahn1.m是matlab自帶，描述銅的熱膨脹與熱力學溫度的相關性，包括兩個向量temp與thermex。>>loadhahn1>>

cftool(temp,thermex)

分子分母均為2次分子分母均為3次分子三次、分母二次分子三次、分母二次的有理多項式擬合效果很好，擬合曲線充分體現了整個數據，殘差隨機分布在0附近。3.非參數擬合有時我們對擬合參數的提取或解釋不感興趣，只想得到一個平滑的通過各數據點的曲線，這種擬合曲線的形式稱之為非參數擬合。非參數擬合的方法包括（1）插值法Interpolants（2）平滑樣條內插法Smoothingspline

內插法：在已知數據點之間估計數值的過程，包括Linear線性內插，在每一隊數據之間用不同的線性多項式擬合；Nearestneighbor最近鄰內插，內插點在最相鄰的數據點之間；Cubicspline

三次樣條內插，在每一隊數據之間用不同的三次多項式擬合；Shape-preserving分段三次艾爾米特內插.平滑樣條內插法：是對雜亂無章的數據進行平滑處理，可以用平滑數據的方法來擬合，平滑的方法在數據的預處理中已經介紹。例：用內插法擬合carbon12alpha.mat數據>>loadcarbon12alpha>>

cftool(counts,angle)fit1Fitting—typeoffit—

Interpolant--Nearestneighbor

fit2Fitting—typeoffit—

Interpolant--Shape-preserving例：用三次樣條內插和集中平滑樣條內插法擬合下列數據>>rand('state',0);>>x=(4*pi)*[01rand(1,25)];>>y=sin(x)+.2*(rand(size(x))-.5);>>

cftool(x,y)曲線的平滑級別用SmoothingParameter選項給定，默認的平滑參數值與數據集有關，并再單擊Apply按鈕以后由工具箱自動計算。對于本數據集，默認的平滑參數值接近1，表示平滑樣條接近于三次樣條，并且?guī)缀跽么┻^每個數據點?？梢宰约褐付▍抵担瑸?時，生成一個分段線性多項式的擬合，為1時，生成一個分段三次多項式的擬合，它穿過所有的數據點。

fit2默認平滑參數下的平滑樣條內插擬合結果效果最好。4.基本的擬合界面Matlab還提供了一個方便簡捷的擬合界面。它具有擬合快速，操作簡便的有時，但擬合方法較少。使用步驟：（1）導入數據，并畫圖；（2）在tool菜單中單擊BasicFitting對話框例：用基本擬合界面擬合census.mat>>loadcensus>>

plot(cdate,pop,'ro')在tool菜單中單擊BasicFitting對話框Matlab應用重點（2）

矩陣計算矩陣分析矩陣的行列式矩陣的四則運算矩陣的冪和平方根矩陣的指數和對數矩陣的翻轉矩陣的逆運算矩陣的跡矩陣的范數矩陣的條件數矩陣的重塑矩陣的邏輯運算矩陣的初等變換矩陣的秩矩陣的行列式可用函數det求矩陣的行列式大小。

例：a=[120;25-1;410-1];b=det(a)b=1矩陣的四則運算數組和矩陣的加減運算使用加號和減號，即“+”和“-”。

矩陣相乘使用“*”運算符。如果只是將兩個矩陣中相同位置的元素相乘，使用“.*”運算符。

矩陣除法有左除和右除的區(qū)別，分別使用“\”和“/”運算符。

與“\”和“/”運算符相對應，也有“.\”和“./”運算符，分別用于將兩個矩陣中的對應元素相除。

矩陣與常數的代數運算，可以直接使用上面的各種運算符。

矩陣的冪和平方根矩陣的冪運算使用運算符“^”，冪運算具有類似X^p的形式。如果p是整數，則冪通過重復求平方來計算；如果該整數為負值，則首先計算X的逆；如果p取其他值，則計算需要用到特征值和特征矢量，即如果[V,D]=eig(X)，則X^p=V*D.^p/V。用sqrtm函數求矩陣的平方根。

矩陣的指數和對數矩陣的指數運算用expm函數實現。矩陣的對數運算用logm函數實現。

矩陣的翻轉用fliplr函數左右翻轉矩陣；用flipud函數上下翻轉矩陣；用flipdim函數沿指定方向翻轉矩陣；用transpose函數沿主對角線翻轉矩陣。

矩陣的逆運算用函數inv實現矩陣的逆運算。

由函數pinv實現矩陣的偽逆運算。

Ega=[120;25-1;410-1]b=inv(a);

矩陣的跡矩陣的跡是指矩陣所有對角線元素的和。在MATLAB中，矩陣的跡可由函數trace計算得到。

Eg

A=[123;456;123]T=trace(A)9矩陣的范數矩陣的范數運算可由函數norm來實現，具有norm(A),norm(A,1),norm(A,2),norm(A,inf),norm(A,’fro’)等形式，分別代表矩陣的范數運算、1-范數運算、7-范數運算、無窮大范數運算和F-范數運算。

矩陣的條件數條件數的值代表矩陣“病態(tài)”程度的大小。在MATLAB中，矩陣的條件數可分別由函數cond(A),condest(A)或rcond(A)計算得到，它們分別計算矩陣的條件數值、1-范數矩陣條件數值和矩陣的逆條件數值。

矩陣的重塑用reshape函數進行矩陣重塑。下面將一個3×4的矩陣重塑為2×6的。例：

A=[14710;25811;36912]A=147102581136912B=reshape(A,2,6)B=135791124681012矩陣的邏輯運算使用邏輯運算符，可以直接對數組或矩陣進行邏輯運算，包括邏輯非、邏輯或、邏輯與和邏輯異或運算。

p130表矩陣的初等變換用rref函數進行矩陣的初等行變換。例：A=[1218;12310;23113;1229]A=121812310231131229B=rref(A)B=1003010200110000矩陣的秩用函數rank求矩陣的秩。

例：a=[120;25-1;410-1];b=rank(a)b=3

矩陣的分解矩陣的LU分解矩陣的QR分解矩陣的QZ分解矩陣的喬累斯基分解矩陣的奇異值分解矩陣的特征值分解矩陣的Schur分解矩陣的LU分解矩陣的LU分解是線性方程組求解方法中高斯消去法的基礎，在MATLAB中由函數lu來實現。

矩陣的QR分解在MATLAB中，QR分解可由函數qr實現。常用的調用格式如下：

[B,C]=qr(A)返回的矩陣C為上三角矩陣，矩陣B為滿秩矩陣。

[Q,R,E]=qr(A)返回的矩陣E是置換矩陣，矩陣R是上三角矩陣，矩陣Q是滿秩矩陣。上述矩陣滿足關系A*E=Q*R。

矩陣的QZ分解在MATLAB中，QZ分解可由函數qz來實現。qz函數常用的調用格式如下：

[AA,BB,Q,Z,V]=qz(A,B)要求矩陣A,B是方陣。產生的矩陣AA,BB是上三角矩陣，Q,Z是正交矩陣，矩陣V是特征矢量矩陣。其中，滿足Q*A*Z=AA與Q*B*Z=BB。

[AA,BB,Q,Z,V]=qz(A,B,flag)對于方陣A,B的QZ分解取決于參數flag。參數flag可取'complex'與'real'。

矩陣的喬累斯基分解設矩陣A為n階對稱正定矩陣，則A矩陣可分解為LL，即A=LL。其中，矩陣L是上三角矩陣。此時，這種分解就稱為喬累斯基分解。在MATLAB中，喬累斯基分解由函數chol實現。

矩陣的奇異值分解在MATLAB中，矩陣的奇異值分解由函數svd來實現，其調用格式為

[b,c,d]=svd(A)矩陣的特征值分解在線性代數中，很多情況下需要求矩陣的特征值。MATLAB中求矩陣特征值的函數是eig和eigs。其中函數eigs主要應用于稀疏矩陣。

矩陣的Schur分解在MATLAB中，矩陣的Schur分解由Schur函數來實現，其調用格式為

[b,c]=schur(A)其中c矩陣為Schur矩陣。

線性方程組的求解方形系統(tǒng)p135超定系統(tǒng)不定系統(tǒng)符號矩陣符號矩陣的四則運算符號矩陣的轉置運算符號矩陣的行列式運算符號矩陣的求逆運算符號矩陣的求秩運算符號矩陣的常用函數運算符號矩陣常用線性方程(組)的求解符號矩陣運算的函數：symadd(a,d)——符號矩陣的加symsub(a,b)——符號矩陣的減symmul(a,b)——符號矩陣的乘symdiv(a,b)——符號矩陣的除sympow(a,b)——符號矩陣的冪運算symop(a,b)——符號矩陣的綜合運算符號運算函數：symsize——求符號矩陣維數charploy——特征多項式determ——符號矩陣行列式的值eigensys——