第一章線性系統(tǒng)知識點總結(jié)-20150423

2023/2/411.1光學(xué)中常用的幾種初等函數(shù)

一、矩形函數(shù)矩形函數(shù)的定義為函數(shù)圖像如下圖所示01第一章線性系統(tǒng)分析二維矩形函數(shù)可表示成一維矩形函數(shù)的乘積式中a>0,b>0,它在xy平面上，以原點為中心的ab矩形范圍內(nèi)，函數(shù)值為1，其它地方為零。光學(xué)上常用矩形函數(shù)表示不透明屏上的矩形孔、狹縫的透過率。它與其它函數(shù)相乘，可限制函數(shù)自變量的取值范圍，起到截取函數(shù)的作用，故又稱為門函數(shù)。如表示一個只出現(xiàn)在區(qū)間二、sinc函數(shù)一維sinc函數(shù)的定義為式中a>0,函數(shù)在x=x0處有最大值1。對于x0=0,該函數(shù)在原點處有最大值1.兩個第一級零值之間的寬度為2a,函數(shù)圖像如圖所示。零點位于二維sinc函數(shù)的定義為sinc函數(shù)常用來描述矩孔或單縫的夫瑯和費衍射圖樣，且與矩形函數(shù)互為傅里葉變換。三、階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義為10階躍函數(shù)與某函數(shù)相乘時，如x>0，則積等于原函數(shù)，在x<0的部分，其積為零。因而階躍函數(shù)的作用如同一個開關(guān)，可開啟或關(guān)閉另一函數(shù)。用來描述光學(xué)直邊(或刀口)的透過率1/2四、符號函數(shù)符號函數(shù)的定義為10-1符號函數(shù)與某函數(shù)相乘，可以使該函數(shù)在某點的極性（正負(fù)號）發(fā)生翻轉(zhuǎn)。如：某孔徑的一半嵌有的相位板，則可用其描述此孔的復(fù)振幅透過率2023/2/47五、三角函數(shù)一維三角函數(shù)的定義為10式中a>0,函數(shù)圖形是底邊寬為2a，高為1的三角形，三角形函數(shù)可表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。六、圓柱函數(shù)圓柱函數(shù)的定義為函數(shù)圖形呈圓柱形，底半徑為a，高度為1。極坐標(biāo)下的形式為圓柱函數(shù)常用來描述圓孔的透過率a七、高斯函數(shù)高斯函數(shù)的定義為二維高斯函數(shù)的形式是曲面下的體積為aba>0.當(dāng)x0=0時，函數(shù)在原點處有最大值1。高斯圖形中曲線下的面積為a.式中2023/2/410曲面下的體積為ab極坐標(biāo)下高斯函數(shù)在統(tǒng)計領(lǐng)域中經(jīng)常用到。高斯函數(shù)在光學(xué)中常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束，有時也用于光學(xué)信息處理中的切趾術(shù)。2、篩選性質(zhì)1、函數(shù)和其它函數(shù)的乘積3、坐標(biāo)縮放性質(zhì)1.2函數(shù)性質(zhì)4、可分離變量性質(zhì)5、函數(shù)是偶函數(shù)三、梳狀函數(shù)光學(xué)上，單位光通量間隔為1個單位的點光源線陣的亮度，可用一個一維梳狀函數(shù)表示：n為整數(shù)梳狀函數(shù)也是廣義函數(shù)，其性質(zhì)可由函數(shù)的性質(zhì)推出。利用坐標(biāo)縮放性質(zhì)，可以把間隔為x0的等間距脈沖序列表示為梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積是因此，可以利用梳狀函數(shù)對普通函數(shù)作等間距抽樣。在x和y方向間隔分別為a和b的二維脈沖序列表示為1.3二維傅里葉變換1、二維傅里葉變換的定義含有兩個變量x,y的函數(shù)f(x,y)，其二維傅里葉變換定義為{}在此定義中，本身也是兩個自變量的函數(shù)。變換F振幅譜相位譜功率譜類似地，函數(shù)f(x,y)也可以用其頻譜函數(shù)表示，即：上式稱為F（，）的二維傅里葉逆變換。=-1{}F-1()FF()1.4卷積與相關(guān)一、卷積的定義兩個函數(shù)f(x,y)和h(x,y)的卷積的定義為：它是包含兩個參量的二重?zé)o窮積分，這里的參變量x,y和積分變量，均為實數(shù)，但函數(shù)f(x,y)和h(x,y)可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。*號表示卷積運算。1、卷積的定義存在條件：物理上的可能性2023/2/4172、卷積運算的例子例：如下圖，已知兩個函數(shù)f(x)和h(x),求其卷積上述卷積的圖解方法，概括起來有四個步驟：折疊、位移、相乘和積分。求卷積的方法：（1）、將f(x)和h(x)變?yōu)閒()和h()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h()h(-)只要將h()曲線相對縱軸折疊便得到其鏡像h(-)曲線。（3）、對任一x(-,+)，只要將曲線h(-)沿x軸平移x便得到h(x-)x>0右移，x<0,左移（4）、計算所對應(yīng)的曲線下的面積為了得到卷積，需對-,+的每一個x值求其卷積值。綜合上面的結(jié)果可得兩函數(shù)的卷積3、卷積運算的兩個效應(yīng)（1）展寬效應(yīng)：假設(shè)函數(shù)只在一個有限區(qū)間不為零，這個區(qū)間可稱為函數(shù)的寬度。一般說來，卷積函數(shù)的寬度等于被卷函數(shù)的和。（2）平滑效應(yīng)：被卷積的函數(shù)經(jīng)過卷積運算，其細(xì)微結(jié)構(gòu)在一定程度上被消除，函數(shù)本身的起伏振蕩變得平緩圓滑。4、卷積運算的基本性質(zhì)（1）分配律（2）交換律（3）結(jié)合律（4）平移不變性已知則令5、函數(shù)f(x,y)與函數(shù)的卷積2023/2/425二、相關(guān)1、互相關(guān)的定義兩個函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)定義為★式中f﹡是函數(shù)f的復(fù)共軛，★號表示相關(guān)運算。令我們可得互相關(guān)定義的另一種形式2、互相關(guān)的卷積表達(dá)式互相關(guān)與卷積是不同的兩種運算，參與互相關(guān)的兩個函數(shù)都不翻轉(zhuǎn)，但是我們可以把它表示成卷積的形式。若f(x,y)是實偶函數(shù)，則★2、互相關(guān)的性質(zhì)（1）證明：令（2）證明：引用施瓦茲不等式其中和一般為復(fù)數(shù)，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)=k時才成立，k是復(fù)常數(shù)。令則由施瓦茲不等式得因為2、自相關(guān)1、定義：時互相關(guān)成為自相關(guān)★當(dāng)由：互相關(guān)的卷積表達(dá)式（3）、歸一化互相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)=歸一化自相關(guān)函數(shù)1-5傅里葉變換的基本性質(zhì)和有關(guān)定理一、傅里葉變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則即兩個函數(shù)的線性組合的傅里葉變換等于各函數(shù)的傅里葉變換的相應(yīng)組合。FFF2、迭次傅里葉變換對二元函數(shù)作二次傅里葉變換，可得其倒立像3、坐標(biāo)縮放性質(zhì)4、位移定理函數(shù)空域的位移，帶來頻域中的線性相移，另一方面函數(shù)在空域中的相移，會導(dǎo)致頻域位移。FFFFFF若請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)請同學(xué)業(yè)們動手推導(dǎo)ffffff5、體積對應(yīng)關(guān)系6、復(fù)共軛函數(shù)的傅里葉變換若f(x,y)為實函數(shù)，顯然有稱具有厄米對稱性二、傅里葉變換的基本定理1、卷積定理FF說明：空域兩個函數(shù)的卷積，在頻域等于其變換的乘積。這一定理有重要的意義，當(dāng)一個復(fù)雜函數(shù)可以表示成簡單函數(shù)的乘積或卷積時，利用卷積定理可由簡單函數(shù)的傅里葉變換來確定復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。而且定理為獲得兩個函數(shù)的卷積提供了另一途徑，即將兩函數(shù)的變換式相乘，再對乘積作逆變換。2、相關(guān)定理（1）互相關(guān)定理★FFFFF2023/2/438卷積定理證明2023/2/439互相關(guān)定理證明互譜能量密度（2）自相關(guān)定理★稱為信號f(x,y)的能譜密度3、巴塞伐定理和廣義巴塞伐定理在應(yīng)用中上述積分都可以表示某種能量。本定理表明對能量的計算，既可以在空域進(jìn)行，也可以在頻域進(jìn)行。從物理上看，這是能量守恒的體現(xiàn)，故也稱為能量積分定理。F4、傅里葉積分定理5、導(dǎo)數(shù)定理設(shè)則有-1FF=-1FFFFF王仕璠《信息光學(xué)原理與應(yīng)用》P29證明：F-1FF5、矩定理由導(dǎo)數(shù)定理可得下面的零階、一階和二階矩定理（1）零階矩定理（2）一階矩定理（3）、二階矩定理例題：？利用了高斯函數(shù)的傅里葉變換也是高斯函數(shù)！例題：求矩形函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求高斯函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求余弦函數(shù)的傅里葉變換FF例題：求三角函數(shù)的傅里葉變換利用卷積定理FFFFF下面利用卷積定理的圖解方法求三角函數(shù)的傅里葉變換。這種方法，用圖形表示出函數(shù)在空間域和頻率域的對應(yīng)關(guān)系，分析思路直觀且便于記憶。*0-112023/2/451原函數(shù)?頻譜函數(shù)原函數(shù)?頻譜函數(shù)11常用函數(shù)的傅里葉變換對2023/2/4521.6線性系統(tǒng)定義一個系統(tǒng)對輸入f1和f2的輸出響應(yīng)為g1、g2，則有若對于任意復(fù)常數(shù)a1和a2，當(dāng)輸入函數(shù)為a1f1(x,y)+a2f2(x,y)時，輸出為則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。LLL由線性系統(tǒng)的定義可知，線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)，即系統(tǒng)對幾個輸入的線性組合的整體響應(yīng)就等于各單個輸入產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以方便地求出系統(tǒng)對于任意復(fù)雜輸入的響應(yīng)。方法是：首先，我們把復(fù)雜的輸入分解成許多更加基本的函數(shù)，即“基元”函數(shù)的線性組合。而基元函數(shù)的響應(yīng)是較容易單獨確定的。這些基元函數(shù)的響應(yīng)再經(jīng)線性組合，就可以得到復(fù)雜輸入所對應(yīng)的輸出，這是線性系統(tǒng)的最大好處?；瘮?shù)通常是指不能再分解的基本函數(shù)。在線性分析系統(tǒng)中，常用的基元函數(shù)有函數(shù)、余弦函數(shù)、和復(fù)指數(shù)函數(shù)。脈沖響應(yīng)以函數(shù)作為基元函數(shù)，研究輸入與輸出的關(guān)系利用函數(shù)的篩選性質(zhì)，任何輸入函數(shù)都可以分解為函數(shù)的線性組合這個積分可以看成是x,y平面上無窮多個不同位置（，）處的以權(quán)重為系數(shù)的線性疊加函數(shù)L的意義是：輸入平面上位于x=,y=處的單位脈沖（點光源）通過系統(tǒng)后在輸出平面上得到的分布。所以它是脈沖響應(yīng)或點擴(kuò)散函數(shù)。對于給定的光學(xué)系統(tǒng)，點擴(kuò)散函數(shù)一般與輸入點脈沖的位置（,）有關(guān)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換LLL顯然，線性系統(tǒng)的性質(zhì)完全由它對單位脈沖的響應(yīng)表征。只要知道系統(tǒng)對位于輸入平面上所有可能的點上的脈沖的響應(yīng)，就可以通過疊加積分而完全確定系統(tǒng)的輸出。另外，如果系統(tǒng)的輸入和輸出之間滿足疊加積所描述的關(guān)系，就可以認(rèn)為這是一個線性系統(tǒng)。令脈沖響應(yīng)式（*）通常稱為疊加積分，它描述了線性系統(tǒng)輸入和輸出的變換Lh的波形可能并不相同。其函數(shù)形式與輸入時刻有關(guān)，記為四、線性不變系統(tǒng)一個線性系統(tǒng)的性質(zhì)可能是隨時間（或空間位置）變化的。例如，一個電路系統(tǒng)，不同時刻輸入的時間脈沖信號，其響應(yīng)L顯然，要做到這一點，是相當(dāng)困難的。不過對于線性系統(tǒng)的一個重要子類——線性不變系統(tǒng)，分析才變得十分簡單。若輸入脈沖延遲時間，其響應(yīng)僅僅有相應(yīng)的時間延遲，而函數(shù)形式不變，即L我們稱這樣的線性系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。這種系統(tǒng)輸入與輸出之間的變換關(guān)系是確定的，不隨時間變化。固定電阻、電容、電感的特性在一段時間內(nèi)，可看作是不隨時間變化的，它們組成的電路是時不變的。一個空間脈沖（如單位點光源）在輸入平面上位移，線性系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)形式不變，只是產(chǎn)生相應(yīng)的位移，即L這樣的系統(tǒng)稱為空間不變系統(tǒng)或位移不變系統(tǒng)對于線性不變系統(tǒng)，疊加積分式變?yōu)槭街衕(x,y)是坐標(biāo)原點單位脈沖響應(yīng)，它可以表征線性空不變系統(tǒng)的性質(zhì)。上式（**）積分稱為卷積積分，其含義仍舊是指：把輸入函數(shù)f(x,y)分解為無窮多個函數(shù)的線性組合，每個脈沖都按其位置加權(quán)，然后把系統(tǒng)對于每個脈沖的響應(yīng)疊加在一起就得對于f(x,y)的整體響應(yīng)。與（*）式不同的是，不論輸入脈沖位置如何，系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的函數(shù)的形式是相同的。因而系統(tǒng)的作用可以用一個脈沖響應(yīng)函數(shù)來表征。2023/2/461五、線性不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)上式是輸入和輸出關(guān)系在空域表示，利用卷積定理，可以得到頻率的關(guān)系式。輸入頻譜輸出頻譜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或頻率響應(yīng)它決定了輸入頻譜中各種頻率成分通過系統(tǒng)時將發(fā)生什么樣的變化。說明：對線性平移不變系統(tǒng)，可以采用兩種研究方法。一是在空域通過輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)的卷積求得輸出函數(shù)；二是在頻域求得輸入函數(shù)與脈沖響應(yīng)兩者各自的頻譜函數(shù)的積。再對該積求逆傅里葉變換求得輸出函數(shù)。線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)定義：如果函數(shù)f(x,y)滿足條件式中a為一復(fù)數(shù)，叫本征值，則稱f(x,y)為算符所表征的系統(tǒng)的也就是說，系統(tǒng)的本征函數(shù)是一個特定的輸入函數(shù)，相應(yīng)的輸出函數(shù)等于輸入函數(shù)與一復(fù)常數(shù)的乘積。由上面的討論可知，復(fù)指數(shù)函數(shù)可以形式不變地通過線性不變系統(tǒng)，因此，它正是線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。在分析線性不變系統(tǒng)時，取復(fù)指數(shù)函數(shù)為基元函數(shù)是非常方便的。L本征函數(shù)L對于非相干處理系統(tǒng)，系統(tǒng)對光強(qiáng)是線性的，這種系統(tǒng)可以把一個實值輸入變換成一個實值輸出，也是一種常見的系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是厄米的，即有：令振幅傳遞函數(shù)相位傳遞函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)1.7.1單色光波場的復(fù)振幅表示單色光場中某一點P在時刻t的光振動可表示為式中是光波的時間頻率。a(P)和（P）分別是P點的光振動的振幅和初相位。1.7二維光場分析一個理想的單色光波對于時間和空間都是無限的。考察實際發(fā)光過程，它總是發(fā)生在一定時間和一定空間范圍內(nèi)，所以理想單色光波是不存在的。但是在實際存在的光波中，有的光波僅僅包含以某一頻率為中心的很窄的頻率范圍，即窄帶光。單色光的結(jié)論可以推廣到窄帶光。對寬帶的非單色光，可以將它們分解為單色光。然后再應(yīng)用單色光的有關(guān)結(jié)論。根據(jù)歐拉公式，一個余弦函數(shù)可以表示為相應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)的實部。因此，u(P,t)也可以表示為如下式子式中Re{}表示對括號內(nèi)復(fù)函數(shù)取實部。顯然，利用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示光振動，便于把相位中空間部分（P）和由時間變量決定的部分2t分開來。定義一個新物理量U（P）—單色光場中P點的復(fù)振幅

它與時間無關(guān)，而僅是空間位置的函數(shù)。對于單色光波，由于頻率恒定，由時間變量確定的相位因子exp(-j2t)對于光場中各點來說均是相同的。光場中光振動的空間分布完全由復(fù)振幅U隨空間位置的變化所確定。1、球面波的復(fù)振幅從點光源發(fā)出的光，其波面表現(xiàn)為球面波。我們常把一個復(fù)雜的光源看做是許多點光源的集合，因此，點光源是一個重要的基本光源，球面波是基本的波面形式。（設(shè)點光源初相為零）發(fā)散波a0是距光源單位距離處的振幅會聚波（設(shè)點光源初相為零）發(fā)散波任一點P處的復(fù)振幅為--波數(shù)同理，對于會聚球面波，其復(fù)振幅為下面討論球面波在直角坐標(biāo)系中光場的分布表達(dá)式許多問題中，我們所關(guān)心的往往是某個確定平面的上的光場分布，所以下面重點討論某一特定平面上復(fù)振幅的數(shù)學(xué)表達(dá)式。0當(dāng)xy平面上只考慮一個對s點張角不太大的范圍，這時有傍軸條件作泰勒級數(shù)展開，略去高階項得上式代入發(fā)散球面波復(fù)振幅公式得到xy平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為2023/2/471在相位因子中包括兩項：描述了位相隨x,y平面坐標(biāo)的變化我們稱之為球面波的（二次）相位因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含有這一因子，就可近似認(rèn)為距離該平面z處有一點光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個平面。exp(jkz)是常量位相因子x,y平面上位相相同的點的軌跡，即等相位線方程為式中c表示某一常量。不同c值所對應(yīng)的等相位線構(gòu)成一簇同心圓，它們是球形波面與x,y平面的交線。要注意的是相位值差2的同心圓之間的間隔并不相等，而是由中心向外愈來愈密集。當(dāng)光源位于x0，y0平面的坐標(biāo)原點上，傍軸近似下，發(fā)散球面波在x,y平面上復(fù)振幅分布為2023/2/473會聚球面波在x,y平面上復(fù)振幅分布為它表示經(jīng)過x,y平面向距離為處會聚的球面波在該平面產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。2、平面波的復(fù)振幅平面波也是光波最簡單的一種形式。點光源發(fā)出的光經(jīng)透鏡準(zhǔn)直，或者把點光源移到無窮遠(yuǎn)處，可以近似獲得平面波。沿方向傳播的單色平面波，在光場中P（x,y,z)點產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為式中，a表示常量振幅，cos,cos,cos為傳播方向的方向余弦。利用式中是常量位相因子，不隨x,y平面坐標(biāo)變化。2023/2/476稱為平面波線性相位因子若平面上復(fù)振幅分布的表達(dá)式中包含這一因子，就可知道它代表一個方向余弦為cos,cos的平面波經(jīng)過該平面。等位相線的方程是不同C值所對應(yīng)的等位相線是一些平行斜線。下圖中用虛線表示出相位值差2的一組波面與x,y平面的交線，即等相位線，它們是一組等距離的平行斜線。由于相位值相差2的點光振動實際相同，所以平面上復(fù)振幅分布的基本特點是以相位值2為周期分布。這是平面波傳播的空間周期特點在x,y平面上的具體表現(xiàn)。它是下面討論平面波空間頻率概念的基礎(chǔ)。01.7.2平面波的空間頻率平面波的空間頻率是信息光學(xué)中常用的基本物理量，深入理解這個概念的物理含義是很重要的。X如圖，研究波矢k在x0z平面內(nèi)的簡單情況。這時波面垂直于x0z平面。由于等相位線方程為與不同C對應(yīng)的等相位線是一些與x軸垂直的平行直線。復(fù)振幅在xy平面上周期分布的空間周期可以用相位差為2的兩相鄰等位線的間距X表示。所以有X方向的空間頻率為（單位長度內(nèi)變化的周期數(shù)）其單位是周/mm因為等相位線平行于y軸，復(fù)振幅沿y方向不變，可認(rèn)為沿y方向空間周期Y=，相應(yīng)的空間頻率為這樣一來，傳播方向余弦為（cos,0）的單色平面波在xy平面上復(fù)振幅的周期分布就可用x,y方向的空間頻率來描述上式直接通過空間頻率表示x,y平面上的復(fù)振幅分布。由空間頻率與傳播方向余弦之間的對應(yīng)關(guān)系，可以認(rèn)為該式代表一個傳播方向余弦為cos=