第九講 不定積分計(jì)算

第九講不定積分的計(jì)算一、不定積分的第二類(lèi)換元法二、不定積分的分部積分法一、第二類(lèi)換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第一類(lèi)換元法解決的問(wèn)題難求易求若所求積分易求,則得第二類(lèi)換元積分法.難求，第九講1.定理設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù),且具有原函數(shù),證:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則有換元公式2.適用題型：令令1)根式代換：被積函數(shù)中含有簡(jiǎn)單根式如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令例1.

求解:令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求解:為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求解:令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)三角代換:例5.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令于是機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:被積函數(shù)含有時(shí),除采用采用雙曲代換消去根式,所得結(jié)果一致.(參考書(shū)上P201-P202)或或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三角代換外,還可利用公式原式例7.

求解:令則原式當(dāng)x<0時(shí),類(lèi)似可得同樣結(jié)果.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)倒代換法:小結(jié):1.第二類(lèi)換元法常見(jiàn)類(lèi)型:令令令或令或令或機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根式代換三角代換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.常用基本積分公式的補(bǔ)充(7)

分母中因子次數(shù)較高時(shí),可試用倒代換

令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.求例9.

求解:(P203公式(23))例10.

求解:原式=(P203公式(22))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.

求解:原式(P203公式(22))例12.

求解:令得原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例13.

求解:原式令例16例16目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、分部積分法由導(dǎo)數(shù)公式積分得:分部積分公式或1)v容易求得;容易計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第九講例1.

求解:令則∴原式思考:如何求提示:令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求解:令則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求解:令則∴原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

求解:令,則∴原式再令,則故原式=說(shuō)明:也可設(shè)為三角函數(shù),但兩次所設(shè)類(lèi)型必須一致.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解題技巧:把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積,按“反對(duì)冪三指”的順序,前者為后者為例5.求解:令,則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束反:反三角函數(shù)對(duì):對(duì)數(shù)函數(shù)冪:冪函數(shù)指:指數(shù)函數(shù)三:三角函數(shù)例6.

求解:令,則原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例7.

求解:令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令例8.

求解:令則得遞推公式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:遞推公式已知利用遞推公式可求得例如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.

已知的一個(gè)原函數(shù)是求解:說(shuō)明:此題若先求出再求積分反而復(fù)雜.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

求解法1先換元后分部令即則故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解法2用分部積分法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)分部積分公式1.使用原則:易求出,易積分2.使用經(jīng)驗(yàn):“反對(duì)冪指三”,前u后3.題目類(lèi)型:分部化簡(jiǎn);循環(huán)解出;遞推公式4.計(jì)算格式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例11.求解:令則可用表格法求多次分部積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例12.求解:令則原式原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡(jiǎn)便?令令令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.求下列積分:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)