高等數(shù)學(xué)第六版(上冊)第七章課后習(xí)題答案

高等數(shù)學(xué)第六版(上冊)第七章課后習(xí)題答案習(xí)題7-11uab2cva3bca、b、c2u3v解2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c2如果平面上一個四邊形的對角線互相平分試用向量證明這是平行四邊形 證 ABOBOADCOCOD 而 OCOAODOB 所以 DCOAOBOBOAAB這說明四邊形ABCD的對邊ABCD且AB//CD從而四邊形ABCD是平行四邊形3把ABCBC邊五等分分點依次為D1、D2、D3、D4各分點與點A連接試以ABc、 BCa表示向量、A、A、D4A1 1解D1ABABD1c5a 2Ac5a 3Ac5a 4Ac5a4M1(012)M2(110)試用坐標(biāo)表示式表 示向量M1M2及2M1M2解M1M2(1,1,0)(0,1,2)(1,2,2)2M1M22(1,2,2)(2,4,4)5a(676)的單位向量6272(6)2解6272(6)2平行于向量a(676)的單位向量為1a(6,76或1a(67,6|a| 1111 11 |a| 11 11116在空間直角坐標(biāo)系中指出下列各點在哪個卦限？A(123)B(234)C(234)D(231)解A在第四卦限B在第五卦限C在第八卦限D(zhuǎn)在第三卦限7在坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)各有什么特征？指出下列各點的位置A(340)B(043)C(300)D(010)解xOy面上點的坐標(biāo)為(xy0)yOz面上點的坐標(biāo)為(0yz)zOx面上點的坐標(biāo)為(x0z)x軸上點的坐標(biāo)為(x00)y軸上點的坐標(biāo)為(0yz軸上點的坐標(biāo)為(00z)A在xOy面上B在yOz面上C在x軸上D在y軸上8求點(abc)關(guān)于(1)各坐標(biāo)面(2)各坐標(biāo)軸(3)坐標(biāo)原點的對稱點的坐標(biāo)解(1)點(abc)關(guān)于xOy面的對稱點為(abc)點(abc)關(guān)于yOz面的對稱點為(abc)點(abc)關(guān)于zOx面的對稱點為(abc)點(abc)x軸的對稱點為(abc)點(abc)關(guān)于y軸的對稱點為(abc)點(abc)z軸的對稱點為(abc)點(abc)關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為(abc)9P0(x0y0z0)分別作各坐標(biāo)面和各坐標(biāo)軸的垂線出各垂足的坐標(biāo)解xOyyOzzOx面上垂足的坐標(biāo)分別為(x0y00)、(0y0z0)和(x00z0)xyz軸上垂足的坐標(biāo)分別為(x000)(0y00)和(00z0)10過點P0(x0y0z0)分別作平行于z軸的直線和平行于xOy面的平面問在它們上面的點的坐標(biāo)各有什么特點？解在所作的平行于z軸的直線上點的坐標(biāo)為(x0y0z)在所作的平行于xOy面的平面上點的坐標(biāo)為(xyz0)一邊長為a的立方體放置在xOy面上其底面的中心在坐標(biāo)原點xy軸上求它各頂點的坐標(biāo)解因為底面的對角線的長為標(biāo)分別為

2a所以立方體各頂點的坐(2a,0,0)2(2a,0,a)2

(22(2a)2

(0,2a,0)2(0,2a,a)2

222a)212M(435)到各坐標(biāo)軸的距離解點M到x軸的距離就是點(435)與點(400)之間的距離即(3)25234dx(3)25234點M到y(tǒng)軸的距離就是點(435)與點(030)之間的距離即425241dy425241點M到z軸的距離就是點(435)與點(005)之間的距離442(3)2dz

513yOz面上A(312)B(422)C(05等距離的點解P(0yz)A、B、C等距離則|PA|232(y1)2(z2)2|PB|242(y2)2(z2)2|PC|2(y5)2(z由題意有 |PA|2|PB|2|PC|2即(y(z2)2(y5)2(z即(y2)2(z2)2(y5)2(z解之得y1z2故所求點為(012)14A(419)B(1016)C(243)為頂點的三角形是等腰三角直角三角形解因為(69)2|AB|(2(24)2(41)2(39)2|AC(36)2|BC

7727 2 所以|BCAB|2|AC|AC|因此ABC是等腰直角三角形15設(shè)已知兩點M1(4,的模、方向余弦和方向角

2,1)和M2(302)計算向量M1M2解M1M2(34,0(1)2(1)2(2)212|M1M2|

2,2

2,1)12

cos22

cos123

4

316設(shè)向量的方向余弦分別滿足(1)cos0(2)cos1coscos0問這些向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)面的關(guān)系如何？解(1)cos0時x軸yOz面cos1時y軸的正向一致垂直于zOx面coscos0時xy軸z軸垂直于xOy面17r4u60r在軸u上的投影解Prjr412u 3 218B(217)xyz軸上447A的坐標(biāo)解設(shè)點A的坐標(biāo)為(xyz)由已知得2x41y47z7解得x2y3z0點A的坐標(biāo)為A(230)19m3i5j8kn2i4j7kp5ij4k求向量a4m3np在x軸上的投影及在y軸上的分向量解因為a4m3np4(3i5j8k)3(2i4j7k)(5ij4k)13i7j15ka4m3npx13y7j習(xí)題721a3ij2kbi2jk求(1)abab(2)(2a)3ba2b(3)a、b夾角的余弦(1)ab31(1)2(2)(1)3i j kab3125ij7k121(2)(2a)3b6ab6318a2b2(ab)2(5ij7k)10i2j14k(3)|ab|3 3|a||b| 146 2212a、b、c為單位向量abc0abbcca解因為abc0所以(abc)(abc)0即 aabbcc2ab2ac2ca0于是 abbcca1(aabbcc)132 2 2 3M1(112)M2(331)M3(313)M1M2、M2M3同時垂直的單位向量解 M1M231,12)(2,

M2M3(33,13,31)(0,2,2) i j knM1M2M2M32402

16i4j4k217|n|3616162 17e14j4k)12j2k為所求向量217 174設(shè)質(zhì)量為100kg的物體從點M1(318)沿直線稱動到點M2(142)計算重力所作的功(長度單位為m重力方向為z軸負(fù)方向)F(0010098)(00980)

SM1M2(13,41,28)(2,3,6)WFS(00980)(236)5880(焦耳)5OOx1P1處有一與成角1F1作用著在O的另一側(cè)與點O的距離為x2的點P2處有一與成角1的力F1作用著問1、2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎樣的條件才能使杠桿保持平衡？解因為有固定轉(zhuǎn)軸的物體的平衡條件是力矩的代數(shù)和為零再注意到對力矩正負(fù)的規(guī)定可得使杠桿保持平衡的條件為x1|F1|sin1x2|F2|sin20即 x1|F1|sin1x2|F2|sin26a(434)b(221)上的投影解Praebab1ab1 3,4)(2,1(423222222|b22227a(352)b(214)有怎樣的關(guān)系abz軸垂直?解ab(32524)ab與z軸垂abk(32524)(001)0即24022時abz軸垂直8試用向量證明直徑所對的圓周角是直角 ABO的直徑C點在圓周上則OBOA

|OC||OA| 因為ACBC(OCOA)(OCOB)(OCOA)(OCOA)|OC|2|OA|20 所以ACBC∠C909設(shè)已知向量a2i3jkbij3k和ci2j計算(1)(ab)c(ac)b(2)(ab)(bc)(3)(ab)c解(1)ab21(3)(1)138ac21(3)(2)8(ab)c(ac)b8c8b8(cb)8[(i2j)(ij3k)]8j24k(2)ab3i4j4kbc2i3j3ki jb)(bc)3423

k4jk3i(3)ab21

jk318i5jk13(ab)c81(5)(2)10210已知OAi3j

OBj3k求OAB的面積 解 根據(jù)向量積的幾何意義于是OAB的面積為OAS1||OA2

|OAOB|表示以O(shè)A和OB為鄰邊的平行四邊形的面積 ijk 19因為OAOB1033i3jk|OAOB|19013

(3)2 所以三角形OAB的面積為S1|

192OAOB212試用向量證明不等式a2a2a2b2b2b2|ababab|1 2 3 1 2 3 11 22 33其中a1、a2、a3、b1、b2、b3為任意實數(shù)并指出等號成立的條件解設(shè)a(a1a2a3)b(b1b2b3)則有ab|a||b|cos(a,^b)|a||b|于是 a2a2a2b2b2b2babab|1 2 3 1 2 3 11 22 33其中當(dāng)1時ab平行是等號成立習(xí)題731一動點與兩定點(231)和(456)等距離求這動點的軌跡方程M(xyz)依題意有(x2)2(y3)2(z1)2(x4)2(y5)2(z6)2即 4x4y10z6302建立以點(132)為球心且通過坐標(biāo)原點的球面方程14解球的半徑R32(2)2 14球面方程為(x1)2(y3)2(z2)214即 x2y2z22x6y4z03x2y2z22x4y2z0表示什么曲面?知方程得(x22x1)(y24y4)(z22z1)141即 (x(y2)2(z(6)26所以此方程表示以(121)為球心以 為半徑的球面64求與O及點(234)的距離之比為12的點的全體所組成的曲面的方程它表示怎樣曲面？解設(shè)點(xyz)滿足題意依題意有x2y2zx2y2z2(x2)2(y3)2(z4)22化簡整理得(x2)2(y1)2(z4)21163 3 929它表示以(2,4)為球心以2 為半徑的球面293 3 3y2z25將zOx坐標(biāo)面上的拋物線z25x繞x軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的z換成 得旋轉(zhuǎn)曲面的方程y2z25xy2z2x2y26將zOx坐標(biāo)面上的圓x2z29繞z軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解將方程中的x換成 得旋轉(zhuǎn)曲面的方程x2y2x2y27xOy4x29y236xy軸旋轉(zhuǎn)一周求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程解雙曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x29y29z236雙曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)而得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為4x24z29y2368畫出下列方程所表示的曲面(1)(xa)2y2(a)22 2(2)x2y214 9(3)x2z219 4(4)y2z0(5)z2x29指出下列方程在平面解析幾何中和在空間解析幾何中分別表示什么圖形(1)x2解在平面解析幾何中x2表示平行于y軸的一條直線在空間解析幾何中x2表示一張平行于yOz面的平面(2)yx1面解析幾何中yx11y1的直線在空間解析幾何中，yx1z軸的平面(3)x2y24解在平面解析幾何中x2y24表示中心在原點半徑是4的圓在空間解析幾何中x2y24表示母線平行于z軸準(zhǔn)線為x2y24的圓柱面(4)x2y21解在平面解析幾何中x2y21表示雙曲線在空間解析幾何中x2y21表示母線平行于z軸的雙曲面10說明下列旋轉(zhuǎn)曲面是怎樣形成的(1)x2y2z214 9 9xOyx2y21x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的zOx面上的橢圓4 9x2z21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的4 9(2)x2y2z214解這是xOy面上的雙曲線x2y21繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是yOz面上的雙曲4線y2z21繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的4(3)x2y2z21解這是xOy面上的雙曲線x2y21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的或是zOx面上的雙曲線x2z21繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的(4)(za)2x2y2zOx面上的曲線(za)2x2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的yOz面上的曲線(za)2y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的11畫出下列方程所表示的曲面(1)4x2y2z24(2)x2y24z24(3)zx2y23 4 9習(xí)題741畫出下列曲線在第一卦限內(nèi)的圖形(1)x1yy4x2y2x4x2y2xy(3)

x2y2a2x22 a2指出下方程組在平面解析幾何中與在空間解析幾何中分別表示什么圖形y2x3(1)y2x3

y5x1y5x1y2x3的交點(417)在空y2x3 3 3間解析幾何中

y5x1表示平面y5x1與y2x3的交線它表示過點(4,17,0)并z軸

y2x3 3 3x2y21(2)4 9 y3

x2y21

x2 y2面解析幾何中

4 y3

表示橢圓

491y3的交點(03)在x2y2

x2 y2空間解析幾何中

4 9y3

表示橢圓柱面

491與其切平面y3的交線x22 z03分別xx22 z0解把方程組中的x消去得方程3y2z216這就是母線平行于x軸且通過曲線x22 zx22 z0把方程組中的y消去得方程3x22z216這就是母線平行于y軸且通過曲線x22 zx22 z04求球x2y2z29xz1xOy面上的投影的方程xz1z1xx2y2z292x22xy28z軸準(zhǔn)線x2y2z29xz1的交線的柱面方程于是所求的投影方程為z2x22xy28z5將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程y(1)x2y2yyxx2y2z292x2z29即x3costz3sint2故所求參數(shù)方程為

x2(3)22

z2132x3cost2

y3costz3sint2z(2)(x1)2y2(zz解將z0代入(x1)2y2(z1)24得(x1)2y23x

3costy

3sint于是所求參數(shù)方程為x1

3cost

y3sintz0xaco6求螺旋線yasin在三個坐標(biāo)面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程zbx2y2a2xOy面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為zx2y2a2z由第三個方程得z代入第一個方程得bxcosz即zbarccosxa b a于是螺旋線在zOx面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為zbarccosx ay0由第三個方程得z代入第二個方程得bysinz即zbarcsinya b a于是螺旋線在yOz面上的投影曲線的直角坐標(biāo)方程為x0zbarcsiny aa2x2y2a2x2y2的投影

與圓柱體x2y2ax(a>0)的公共部分在xOy面和zOx面上a2x2y2解圓柱體x2y2ax在xOy面上的投影為x2y2ax它含在半a2x2y2xOyx2y2a2內(nèi)xOyx2y2axzOx面上的投影x2y2axy2axx2a2x2y2a2axa2x2y2a2axzOx面上的投影為

(0xa)于是半球與圓柱體的公共部分在0za2ax(0xa)即z2axa20xaz08求旋zx2y2(0z4)在三坐標(biāo)面上的投影z4x2y24zx2y2(0z4)xOyx2y24x0zy2zx2y2(0z4)yOzy2z4y0zx2zx2y2(0z4)zOxx2z4習(xí)題751求過點(301)3x7y5z120平行的平面方程解所求平面的法線向量為n(375)所求平面的方程為3(x3)7(y0)5(z1)0即3x7y5z402求過點M0(296)且與連接坐標(biāo)原點及點M0的線段OM0垂直的平面方程解所求平面的法線向量為n(296)所求平面的方程為2(x2)9(y9)6(z6)0即2x9y6z12103求過(111)、(222)、(112)三點的平面方程解n1(112)(111)(023)n1(112)(222)(310)所求平面的法線向量為i jnn1n2023 1所求平面的方程為

k33i9j6k03(x1)9(y1)6(z1)0即x3y2z04指出下列各平面的特殊位置并畫出各平面(1)x0解x0是yOz平面(2)3y10解3y10是垂直于y軸的平面它通過y軸上的點1,3(3)2x3y60解2x3y60z軸的平面xy軸上的截3和2(4)x 3y0解x 3y0是通過z軸的平面它在xOy面上的投影的斜率為33(5)yz1解yz1是平行于x軸的平面它在y軸、z軸上的截距均

(6)x2z0解x2z0是通過y軸的平面(7)6x5z0解6x5z0是通過原點的平面52x2yz50與各坐標(biāo)面的夾角的余弦解n(221)此平面與yOz面的夾角的余弦為cocos,i)ni 2 2|n||i| 22(2)23此平面與zOx面的夾角的余弦為coscos^j)nj 2 222(2)211|22(2)211此平面與xOy面的夾角的余弦為k)nk1 1|n||k| 22(2)236一平面過點(101)a(211)b(11試求這平面方程解所求平面的法線向量可取為i jnab211所求平面的方程為

k1ij3k0(x1)(y0)3(z1)0即xy3z407x3yz12xyz0x2y2z3的交點解解線性方程組x3yz12xyz0x2y2z3x1y1z3三個平面的交點的坐標(biāo)為(113)8分別按下列條件求平面方程zOx面且經(jīng)過點(253)解所求平面的法線向量為j(010)于是所求的平面為0(x2)5(y5)0(z3)0即y5(2)通過z軸和點(312)解所求平面可設(shè)為AxBy0因為點(312)在此平面上所以3AB0將B3A代入所設(shè)方程得Ax3Ay0所以所求的平面的方程為x3y0(3)平行于x軸且經(jīng)過兩點(402)和(517)解所求平面的法線向量可設(shè)為n(0bc)因為點(402)和(517)都在所求平面上n1(517)(402)(119)n是垂直的即b9c0b9c于是n(09cc)c(091)所求平面的方程為9(y0)(z2)0即9yz209求點(121)x2y2z100的距離解點(121)x2y2z100的距離為2222d1222222習(xí)題761求過點(413)x3yz的直線方程2 1 5解所求直線的方向向量為s(215)所求的直線方程為x4y1z32 1 52M1(321)M2(102)的直線方程解所求直線的方向向量為s(102)(321)(421)所求的直線方程為x3y2x14 2 12xyz3用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線x2xyz解平面xyz1和2xyz4的法線向量為n1(111)n2(211)所求直線的方向向量為isn1n212

j k12ij3k1 12xyz在方程組2xyz

中令y0得xz12x2xz4

解得x3z2于是點(302)為所求直線上的點所求直線的對稱式方程為x3yz22 1 3參數(shù)方程為x32tytz23t5y2z104求過點(203)5y2z10

垂直的平面方程解所求平面的法線向量n可取為已知直線的方向向量即i j2)123 5

k416i14j2所平面的方程為16(x2)14(y0)11(z3)0即 16x14y11z6505求直線3y3z90與直線2x2yz230的夾角的余弦

2yz0

8yz180解兩直線的方向向量分別為is153i

j k333i4jk21j ks22238

110i5j10k1兩直線之間的夾角的余弦為cos(s)

s1s21 2 |s||s|1 203242(1)2102(5)21022xyz762xyz7

與直線6y3z8平行22xyz0解兩直線的方向向量分別為i j1 21i j

k13ij5k1ks232

6 39i3j因為s23s1所以這兩個直線是平行的7求過點(024)x2z1y3z2平行的直線方程解因為兩平面的法線向量n1(102)與n2(013)不平行所以兩平面相交于一直線此直線的方向向量可作為所求直線的方向向量s即i js1001

k22i3jk3所求直線的方程為xy2z42 3 18求過點(312)x4y3z的平面方程5 2 1解所求平面的法線向量與直線x4y3z的方向向量5 2 1s1(521)垂直因為點(312)和(430)都在所求的平面上也是垂直的因此所求平面的法線向量可取為i jns25 214

k18i9j22k2所求平面的方程為8(x3)9(y1)22(z2)0即 8x9y22z590xyz9求直線xy3z0xyz解已知直線的方向向量為is1

j k1 3

2i4j2k2(i2jk)已知平面的法線向量為n(111)因為sn214(1)(2)(1)0xyz所以sn從而直線xy3z0與平面xxyz10試確定下列各組中的直線和平面間的關(guān)系(1x3y4z4x2y2z32 7 3解s(273)所給平面的法線n(422)因為sn(2)4(7)(2)3(2)0所以sn從而所給直線與所給平面平行又因為直線上的點(340)不滿足平面4x2y2z3所以所給直線不在所給平面上(2)xyz和3x2y7z83 2 7解所給直線的方向向量為s(327)n(327)因為sn所以所給直線與所給平面是垂直的(3x2y2z3xyz33 1 4解所給直線的方向向量為s(314)n(111)sx2yz10和2xyz0

xyz10

xyz0解已知直線的方向向量分別為i11i(2,1

j k2i2j3k1j k11jk11所求平面的法線向量可取為ins1s20所求平面的方程為

j k23ijk11(x1)(y2)(z1)0即xyz012求點(120)x2yz10上的投影解平面的法線向量為n(121)過點(120)并且垂直于已知平面的直線方程為x1y2z1 2 x1ty22tzt代入平面方程x2yz10中得(1t)2(22t)(t)10解得t2再將t2代入直線的參數(shù)方程得x5 y23 3 3 3z2于是點(120)在平面x2yz10上的投影為點3(5,2,2)2332xyz4013P(312)到直線x2xyz40解已知直線的方向向量為

的距離is12

j k1 3j3k11過點P且與已知直線垂直的平面的方程為3(y1)3(z2)0即yz10解線性方程組xyz02xyz40yz0

y12

z322xyz40點P(312)到直線2xyz40與點(1,1,3)間的距離即

的距離就是點P(312)222d (11)2(23)3 22 2 214設(shè)M0是直線L外一點M是直線L上任意一點s試證M0L的距離d|M0Ms||s|解M0LdL的方向向量sMN根 據(jù)向量積的幾何意義以M0M和MN為鄰邊的平行四邊形的面積為 |M0MMN||M0Ms| M0MMN為鄰邊的平行四邊形的面積為d|MNd|s|因此d|

M0M

s|

d|M0Ms||s|y2z9015求直線y2z90

在平面4xyz1上的投影直線的方程解過已知直線的平面束方程為(23)x(4)y(12)z90為在平面束中找出與已知平面垂直的平面令(411)(23412)0即 4(23)(1)(4)1(12)0解之得13將13代入平面束方程中得11 1117x31y37z1170故投影直線的方程為4xyz31y37z117016畫出下列各曲面所圍成的立體圖形(1)x0y0z0x2y13x4y2z120(2)x0z0x1y2

zy4(3)z0z3xy0x 3y0x2y21(在第一卦限內(nèi))(4)x0y0z0x2y2R2y2z2R2(在第一卦限內(nèi))總習(xí)題七1填空設(shè)在坐標(biāo)系[Oijk]AM的坐標(biāo)依次為(x0y0z0)和(xyz)則在[Aijk]坐標(biāo)系中點M的坐標(biāo)為 向量OM的坐標(biāo)為 解M(xx0yy0zz0)

OM(x,y,z)提示自由向量與起點無關(guān)它在某一向量上的投影不會因起點的位置的不同而改變設(shè)數(shù)123不全為0使1a2b3c0則abc三個向量是 的解共面(3)設(shè)a(212)b(4110)cba且ac則解3提示acac0又因為acabaa241(1)210(221222)279所以3(4)設(shè)a、b、c都是單位向量且滿足abc0則abbcca解32提示因為abc0所以(abc)(abc)0即 aabbcc2ab2ac2ca0于是 abbcca1(aabbcc)132 2 2(5)設(shè)|a|3|b|4|c|5且滿足abc0則|abbcca|解36提示c(ab)abbccaabb(ab)(ab)aabbaba3ab|abbcca|3|ab|3|a||b|334362yA(137)B(575)等距離的點M(0y0)則有12(y3)27252(y7)2(5)2即 (y3)2(y7)2y2M(020)3ABCA(3,2,1)B(5,4,7)C(1,1,2)C所引中線的長度解線段AB的中點的坐標(biāo)為(35,24,17)(4,1,3)所求中線的長度為2 2 2d(4d(41)2(11)2(32)230 4ABCBCa、CAbABcD、E、Fa、 b、c表示AD、BE、CF并證明 ADBECF0解c1aADABBD 2a1bBEBCCE 2b1cCFCAAF 2 3 3ADBECF2(abc)2(cc)05試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊且其長度等于第三邊長度的一半證明設(shè)DE分別為ABAC的中點則有1()DEAEAD2ACAB BCBAACACAB所以 1DE2BCDE//BC且|DE|1|BC|26設(shè)|ab||ab|a(358)b(11z)zab(248z)ab(468z)因為|ab||ab|所以22(4)22(4)2(8z)242(6)2(8z)2解得z137設(shè)|a|3

|b|1

(a,^b)求向量ab與ab的夾角6|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b312|ab|2(ab)(ab)|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)312abab的夾角為則

3cos763cos16cosb)(ab)

|a|2|b|2

312|ab||ab|arccos27

|ab||ab|

778a3b7a5ba4b7a2b求解因為a3b7a5ba4b7a2b所以 (a3b)(7a5b)0(a4b)(7a2b)0即 7|a|216ab15|b|20 7|a|230ab8|b|20又以上兩式可得|a||b|2ab于是 ab1|a||b|2 39a(212)b(11z)z為何值時最小？并求出此最小值解ab12z|a||b|

32z20(a,^b)時為單調(diào)減函數(shù)求的最小值也就是求f(z)12z2的最大值

32z2f(z14z0z43(2z2)3/2當(dāng)z4時2所以arccos22 min 2 410設(shè)|a|4|b|3

(a,^b)求以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積6解(a2b)(a3b)3ab2ba5ba以a2b和a3b為邊的平行四邊形的面積為|(a2b)(a3b)|5|ba|5|b||a|sin(a,^b)534130211a(231)b(123)c(212)rrarbPrjcr14r解設(shè)r(xyz)rarbra0rb0即2x3yz0x2y3z0Prjcr14r1c14即|c|2xy2z42解線性方程組2x3yz0x2y3z02xy2z42得x14y10z2所以r(14102)i jkrarbr與ab2312

17i5jk平行故可設(shè)r(751)3Prjcr14r1c14rc42即|c|(725112)422所以r(14102)12a(132)b(234)c(3126)a、b、c共面ab表示ca、b、c共面的充要條件是(ab)c0因為i jab1323

k26i3k4(ab)c(6)(3)012(3)60所以向量a、b、c共面設(shè)cab則有(23324)(3126)即有方程組2333126解之得51所以c5ab13M(x,y,z)xOyM到點(1,1,2)的距離相等M的軌跡方程解根據(jù)題意有(x(y(x(y(z2)2或 z2(x1)2(y1)2(z2)2化簡得(x1)2(y1)24(z1)這就是點M的軌跡方程14指出下列旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線和旋轉(zhuǎn)軸(1)z2(x2y2)解旋轉(zhuǎn)曲面的一條母線為zOx面上的曲線z2x2旋轉(zhuǎn)軸為z軸(2)x2y2z2136 9 36xOyx2y21y軸(3)z23(x2y2)

36 9yOzz3yz軸(4) x2y2z214 4xOyx2y21x軸415A(300)B(001)xOy角的平面的方程3解設(shè)所求平面的法線向量為n(abc)BA(3,0,1)xOy面的法線向量為k(001)按要