2021-2022學(xué)年山東省青島市4區(qū)市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版

青島市4區(qū)市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試

數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，22題．全卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．TOC\o"1-5"\h\z1?對于無窮常數(shù)列7,7,…，7…，下列說法正確的是()A.該數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列B.該數(shù)列是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列C?該數(shù)列是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列D?該數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列2?下列說法正確的是()―?—?―?―?若a,b是兩個(gè)空間向量，a,b則不一定共面OA-OC=ACc.若p在線段ab上，則AP=tAB(0<t<1)D?3?在空間直角坐標(biāo)系D?3?在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)A(1,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對稱點(diǎn)為Ar(—1,—2,3)已知數(shù)列｛a｝滿足2a=4+aa且a=1，則a的值為()nn+1nn+132022B?2C?4A?4.在三棱錐O_ABC中,M是OA的中點(diǎn),P是△ABC的重心.設(shè)OA=D?一4a,OB=b,OC=c,則MP二則MP二()1-1r1一A.—a——b+—c2631-1r-B.—a-—b+c

321-1r1-一1r1C?——a+—b+—cD.—a+—b——c633325?《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣,自冬至日起,其日影長依次成等差數(shù)列,立春當(dāng)日日影長為9.5尺,立夏當(dāng)日日影長為2.5尺,則春分當(dāng)日日影長為()A?4.5尺A?4.5尺B?5尺6?已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,nn值,則n的值為()C?5.5尺D?6尺a>0，公差d<0,1a=3a?若S取得最大57nA?A?6或7B?7或87?已知S為正項(xiàng)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和,nnC?8或9D?9或10a=1,3aS=S2S2(n>2),則(1nn—1nn—1A.S=A.S=nnB.S=2n—1nC.S=2n-1nD?S=2n—1n8.已知a,b為兩條異面直線，在直線a上取點(diǎn)A,E,在直線b上取點(diǎn)A,F,使AA丄a,11且AA丄b(稱AA為異面直線a,b的公垂線)?若AE=2,AF=3,EF=5,AA=3€2,1111則異面直線a，b所成的角為()A?B.3A?B.3D?5兀~6二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分?在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求?全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分?9?在公比q為整數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，S是數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，若aa=32,nnn14a+a=12,則()

A.q=2B.數(shù)列｛S+2｝是等比數(shù)列nC.s=254D.數(shù)列｛loga｝是公差為2的等差數(shù)列82n下列結(jié)論正確的是（）直線l的方向向量方=（0,3,0），平面a的法向量u=（0,—5,0），則l〃q兩個(gè)不同的平面a，卩的法向量分別是u=（2,2,-1），v=（一3,4,2），則a丄0若直線l的方向向量a=（12-1）,平面a的法向量m=（3,6,k），若l，則實(shí)數(shù)k=15若AB=（2,—1,—4），AC=（4,2,0），AP=（0,—4,—8），則點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，….設(shè)第n層有a個(gè)n球，從上往下n層球的總數(shù)為S，記b=（—1）n（a—a），則（）nnn+1nA.C.aA.C.a—an+1ns—snn—1(n+1)B.b+b+…+b=201220a3D.f的最大值為怎2n-1212.在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中,點(diǎn)P滿足DP=^DD+^DA，，e[0,1],11111卩e[0,1]，則以下說法正確的是（）A.當(dāng)九屮時(shí)，直線Bp//平面CB1D1B.B.當(dāng)九+卩=1時(shí)，線段CP長度的最小值為TOC\o"1-5"\h\zc兀當(dāng)九+卩=1時(shí)，直線CP與平面BCCB所成的角不可能為丁113兀當(dāng)卩=時(shí)，存在唯一點(diǎn)P使得直線DP與直線CB所成的角為丁13三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知｛a｝為等差數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和，若a=S=4，則a=.nn44214.已知空間向量a=（1,0,1），b=（2,—1,2），則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是15.如圖，在平行六面體ABCD—ABCD中，ZBAD=ZBAA=ZDAA=60。，111111AB=2，AD=2，AA=3，AC與BD相交于點(diǎn)O，則OA=.11

16.設(shè)集合A16.設(shè)集合A=kx=4n-3,neN｝,B=x=3n-1,neN*｝,把集合AuB中的元素TOC\o"1-5"\h\z從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列｛a｝，則a=，數(shù)列｛a｝的前50項(xiàng)和為.n2n四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列，數(shù)列｛b｝為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,12nb一b=15，b一b=6.5142(1)求數(shù)列｛a｝和｛b｝的通項(xiàng)公式;nn(2)a,n(2)a,n為奇數(shù)nb,n為偶數(shù)n，求數(shù)列｛c｝的前2n項(xiàng)和Sn2n18.(12分)如圖，空間幾何體由兩部分構(gòu)成，上部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐，下部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱，圓錐和圓柱的軸在同一直線上，圓錐的下底面與圓柱的上底面重合，點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn),AB是圓柱下底面的一條直徑，AA，BB是圓柱的兩條母線,11C是弧AB的中點(diǎn).求異面直線AC與PB所成的角的余弦值;1求點(diǎn)A到平面PBC的距離.1(12分)已知數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)和為S,S=1,S=3S+1.nn1n+1n求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n若數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和T=n2，求數(shù)列｛a-b｝的前n項(xiàng)和P.nnnnn(12分)如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°，沿對角線BD將△ABD折起，使A,

C之間的距離為x/6，若P,Q分別為線段BD,CA上的動(dòng)點(diǎn).求線段PQ長度的最小值；當(dāng)線段PQ長度最小時(shí)，求直線PQ與平面ACD所成的角的余弦值.21.(12分)在如圖所示的多面體中，AD〃BC且AD=2BC,AD丄CD,EG〃AD且EG=AD,CD〃FG且CD=2FG,DG丄平面ABCD,DA=DC=DG=2,m,N分別為棱FC,EG的中點(diǎn).求點(diǎn)F到直線EC的距離；求平面BED與平面EDC的夾角的余弦值；在棱GF上是否存在一點(diǎn)Q,使得平面MNQ〃平面EDC?若存在，求出點(diǎn)Q的位置;若不存在，說明理由.22.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列{a}n1n已知正項(xiàng)數(shù)列{a}n1n=(1+a)(1+a)-(1+a)}是等比數(shù)列；na,a+2成等比數(shù)列，n+1nTn(1)(2)(3)1證明：數(shù)列求T及數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；nn若b=+，求數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和S，并證明：2S+=1.n2a2a+4nnn3T—1nnn2021——2022學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平檢測高二數(shù)學(xué)評分

標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分1—8：DCACDBCB二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題．每小題5分，共20分9．AB；10．BD；11．ACD；12．ABC．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．0；TOC\o"1-5"\h\z（848）—,——，—；（999丿詣；3，4590.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（10分）解：（1）設(shè)數(shù)列｝的公差為〃，數(shù)列｛b｝的公比為q,nn因?yàn)閍=a+n2nn所以令n=1得a=a+1，即d=a一a=12111又a=11所以a=1+(n-1)x1=nn因?yàn)閎一b因?yàn)閎一b=15，b一b=65142b(q4一1)=151()解得＜b\q3—q丿=6\b=11q=2b=一1611q=-2舍）所以b=1x2n-1=2n-1n(2)由((2)由(1)得c=nn,n為奇數(shù)2n-1,n為偶數(shù)所以S=[1+3+5+—+(2n一1)]+G+8+32+—+22n-1n(1+2n—1)2(1一4n)2()=+=4n—17+n221—4318.（12分）解：（1）由題意可得OP丄平面ABC，C是弧AB的中點(diǎn)，則OC丄AB則以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OB，OP所在直線分別為x軸、尹軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則A（0,-1,0）,C（1,0,0）,P（0,0,4）,B（0,1,2）,iAC=（1丄0）,PB=（o丄-2）i???cos???cos■[AC,PB；;=AC-PB???異面直線AC與PB所成角的余弦值為-110(2)由題意可得A(0,-1,2),B(0,1,0),1則PA=(0,-1,-2)，PB=(0丄-4)，PC=(1,0,-4)1設(shè)平面PBC的法向量n=(x,y,z),n設(shè)平面PBC的法向量n=(x,y,z),n-PC=x一4z=0取z=1，得n=（4,4,1）???點(diǎn)A1到平面PBC的距離為:PA-nd=-^-n==2后=?33=1119?（12分）解：（i）由S=3S+1（ngN*）,得S=3S+1（n>2）,TOC\o"1-5"\h\zn+1nnn-1兩式相減，得a=3a（n>2）.n+1n由S=3S+1=a+a,S=a=2，得a=3=3a,21/12、1121所以a=3a\ngN*）,n+1n即數(shù)列｛a｝是以1為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，n從而有a=3n-1n（2）由T=n2可知：n當(dāng)n>2時(shí)，b=T一T=n2-（n一1匕=2n一1nnn-1當(dāng)n=1時(shí)，b=T=1適合上式11

所以b=2n一1n所以c=ab=（2n—1）?3n-innn所以P=1x1+3x3+5x32+…+（2n—1）x3n-1n3P=1x3+3x32+…+（2n—3）x3n-1+（2n—1）x3n,n兩式相減得：—2P=1x1+2x3+2x32+2x33+…+2x3n-1—（2n—1）x3nn.6—2x3n/）_=1+—（2n—1）x3n1—3所以P=（n—1）?3n+1n20?（12分）解:（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，AB=2,ZBAD=60。,所以AABD和ABCD是等邊三角形.設(shè)O是BD的中點(diǎn)，則AO丄BD，CO丄BD，OA=OC=€3，所以O(shè)A2+OC2=AC2，所以AO丄CO，由于BDcOC=O，所以AO丄平面BCD以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA所在直線分別為x軸、尹軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系|PQ|=Ja2+b2+（J3—b）=a2+2[b—更]I2丿當(dāng)a=0，b=宇時(shí)，線段PQ的長度取得最小值為乎，PQ=諄瞬k22丿所以(2)由(1)得P(0,0,0)，QI22丿AC,0八3），C（0八；3,0），D（-1,0,0），AC=C,J3,—打），AD=Cl,0,r?3），設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),n-AC=\；'3y—x/3z=0n-AD=—x—*3z=0取z=1，貝9n=Cp3,l,l）設(shè)PQ與平面ACD所成角為0,羽=2糸=而2貝ysin0=PQ?n所以cos0=：1—21?（12分）解：（1）由DG丄平面ABCD知，DG丄DC,DG丄DA，又AD丄CD,以D為原點(diǎn)，DA,DC,DG所在直線分別為x軸、尹軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則D（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,0,2）,E（2,0,2）,F（0,1,2）,B（1,2,0）,（3A則M0,亍1I2丿所以點(diǎn)F到直線EC的距離,N（1,1,2）,CE=（2,-2,2）,EF=（-2,1,0）,/\ce-EF~\c^\廠—4—24+4+4丿I丿DB=（1,2,0）,DE=（2,0,2）,DC=（0,2,0）設(shè)平面BED的法向量為m=（x,y,z）,111（2）由（1）知,m-DB=x+2y=011，令兒=1，則m=（—2,1,2）m-DE=2x+2z=0111設(shè)平面EDC的法向量為n=（x,y,z）,222In-DE=2x+2z=0則\22，令x=1，則n=(1,0,—1丿In-DC=2y=02J2故cos：；m,n=2近所以平面BED與平面EDC夾角的余弦值為二一(3)設(shè)GF上存在一點(diǎn)Q，設(shè)Q(0,九,2)，九&[o，1〕-3,-1丿，MN+-A丿，y3,Z3)則MQ=設(shè)平面MNQ的法向量為鼻=(x3p-MN=x-y+z=03233:-3]2丿p-MQ=y-z=033令y3=1，則p=l2f22—九?.?平面MNQ〃平面EDC:.n//p，即一1—二故不存在點(diǎn)Q使得平面MNQ/平面EDC22．(12分)解：(1)因?yàn)閍，Ja，a+2成等比數(shù)列，n丫n+1n所以a=a(a+2)=a2+2a，n+1nnnn所以a+1=(a+1)2*n+1n因?yàn)閍=2，所以a+1>1，1n將*式兩邊取對數(shù)，得ln(1+a)=2ln(1+a),n+1n九-2-，無解,-1In(1+a)即a=2，ln(1+a)

n所以，數(shù)列｛ln(1+a)｝是首項(xiàng)為ln3，公比為2的等比數(shù)列n由(1)知ln(1+a)=2n-1xln3，n所以1+a=32n-1，所以a=32n-1-1nn所以T=(1+a)(1+a)???(1+a)n12n=32°X3