第三章向量線性關系秩

第三章向量組的線性相關性

本章引入n維向量的概念,討論向量組的線性相關性,建立向量組的極大無關組和秩的概念,并給出矩陣秩的概念及其與向量組秩的關系.§1n維向量及其運算

定義3.1由n個數a1,a2,…,an組成的一個有序數組稱為n維向量，記為或

組成向量的數稱為向量的分量,ai

稱為向量的第i個分量.分量全是實數的向量稱為實向量,分量為復數的向量稱為復向量.線性代數只討論實向量.

如果兩個向量維數相等且對應分量都相等稱它們相等.

分量都是零的向量稱為零向量,記為0.

將向量的分量都改變符號得到的向量,稱為向量的負向量,記為-.

定義中兩種形式分別稱為行向量和列向量,

也可以分別看成1n矩陣和n1矩陣,向量可以按矩陣運算規(guī)律進行相應運算,于是列向量也可寫成：=(a1,a2,…,an)T.

常用的向量運算是向量的加法和數乘兩種運算,統(tǒng)稱為向量的線性運算,完全按矩陣運算處理,所以滿足:(ⅰ)交換律：+=+(ⅱ)結合律:(+)+=+(+)(ⅲ)+0=(ⅳ)+()=0(ⅴ)1=(ⅶ)數的分配律：(k+l)=k+l(ⅷ)向量的分配律：k(+)=k+k.(ⅵ)結合律：(kl)=k(l)

所有n維列(行)向量的全體,對其上所定義的加法和乘數兩種運算,構成了一個n維線性空間,或稱向量空間.

在解析幾何中,曾引進向量的數量積

xy=|x||y|cos且在直角坐標系中，有

定義3.2設有n維向量=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2,…,bn)T,令

但n維向量沒有3維向量那樣直觀的長度和夾角的概念,我們可以按數量積的直角坐標計算公式來推廣,先定義n維向量內積的概念,反過來定義n維向量的長度和夾角.

[,]=a1b1+a2b2+…+anbn稱[,]為向量與的內積.

內積是兩個向量之間的一種運算,其結果是一個實數.內積也可以用矩陣運算表示,當與都是列向量時,有,而且,僅當=0時,[,]=0.

內積具有下列性質(其中,,

為n維向量,k為實數):[,]=T=T。利用這些性質還可以證明Schwarz不等式:

下面定義n維向量的長度和夾角。

當||=1時,稱為單位向量.為向量的長度(或范數),記為||或‖‖.

由Schwarz不等式,對任意非零向量和都有

定義3.3設n維向量=(a1,a2,…,an)T,稱非負實數

當≠0時,是與同方向的單位向量.

可見,[,]=0,于是有

為向量和的夾角.

定義3.4對任意非零向量,,稱

定義3.5若[,]=0,則稱向量與正交.向量與的內積[,]也可以表示成：[,]＝||||cos<,>§2向量組的線性相關性

若干個同維數的列向量(或行向量)組成的集合叫做向量組.

如:m×n

矩陣A=(aij)對應n個m維列向量向量組1,2,…,n稱為A的列向量組.

即A=(1,2,…,n).

m×n

矩陣A=(aij)也對應m個n維行向量……………

1=(a11,a12,…,a1n),

2=(a21,a22,…,a2n),

m=(am1,am2,…,amn),向量組1,2,…,m,稱為矩陣A的行向量組,即反之,由有限個向量組成的向量組也可構成一個矩陣.

線性方程組Ax=b也可以用向量表示成:

x11+x22+…+xnn=

定義3.6對向量和向量組:1,2,…,n,若存在一組數k1,k2,…,kn,使:=k11+k22+…+knn,則稱向量可由向量組1,2,…,n線性表示,也稱向量是向量組1,2,…,n的線性組合.其中,1,2,…,n是矩陣A的列向量組,＝b.

例1

設T=(2,1,0,1),1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1),問能否由向量組1,2,3線性表示.

解設=k11+k22+k33,即

(2,1,0,1)=(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)于是有解得:k1=1,k2=2,k3=1.即=1223所以向量可由向量組,

2,3線性表示.

表示式也可寫成

一般地,對列向量,=k11+k22+…+kss

可寫成

對行向量,=k11+k22+…+kss

可寫成

定義3.7若存在一組不全為零的數k1,k2,…,ks,使:k11+k22+…+kss=0則稱向量組1,2,…,s線性相關,否則稱線性無關.只有當k1,k2,…,ks全為零時才成立.k11+k22+…+kss=0

可見向量組1,2,…,s線性無關的充分必要條件是:

例2

討論向量組

1T=(1,1,0,0),2T=(0,1,0,1),3T=(1,0,0,1)的線性相關性.

解設k11+k22+k33=0

,即

(k1k3,k1+k2,0,k2+k3)=(0,0,0,0)解得:k1=k2=k3=0.

所以1,2,3線性無關.

例3討論向量組

1T=(1,1,2),2T=(0,1,1),3T=(2,3,3)的線性相關性.

解設k11+k22+k33=0

,即

(k1+2k3,k1+k2+3k3,2k1k2+3k3)=(0,0,0)解得:k1=2k2=2k3.比如取k1=2,則有21+2

3=0

所以1,2,3線性相關.

顯然,一個向量組成的向量組線性相關=0

向量組1,2,…,s線性相關x11+x22+…+xss=0有非零解.(稱此向量組為n維標準單位向量組)例4討論n維向量組的線性相關性.

解設k1e1+k2e2+…+knen=0,

即所以,向量組e1,e2,…,en線性無關.(k1,k2,

…,kn)=0,

所以k1=k2=…=kn=0n維標準單位向量組e1,e2,…,en是線性無關的,而且對任意n維向量T=(a1,a2,…,an),都有=a1e1+a2e2+…+anen例5k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0就是(k1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0所以所以向量組1,2,3線性無關.

解得:k1=k2=k3=0

已知向量組1,2,3線性無關,1=1+2,2=2+3,3=3+1,討論向量組1,2,3

的線性相關性.

解設k11+k22+k33=0

,即

定義3.8一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組.由單位向量構成的正交向量組稱為規(guī)范正交向量組.

證

設1,2,…,m是正交向量組,有一組數k1,k2,…,km使用i與上式兩邊做內積,得n維標準單位向量組e1,e2,…,en就是一個規(guī)范正交向量組.

定理3.1正交向量組必線性無關.

k11+k22

+…+kmm=0由于i≠0,所以[i,i]>0,因此,ki＝0(i＝1,2,…,m).

ki(i,i

)=0所以,向量組1,2,…,m線性無關.

命題3.2若向量組有一個部分組線性相關,則此向量組線性相關.所以有:k11+k22+…+krr+0r+1+…+0s=0

推論1

含有零向量的向量組必線性相關.

證明不妨設1,2,…,r,…,s中1,2,…,r線性相關,存在不全為零的數k1,k2,…,kr,使:k11+k22+…+krr=0.而k1,k2,…,kr,0,…,0不全為零,所以1,2,…,s線性相關.

推論2線性無關向量組的任一部分組也線性無關.不妨設k10,則有:

證明必要性:設1,2,…,s線性相關,則存在不全為零的數k1,k2,…,ks,使:k11+k22+…+kss=0.

充分性:不妨設1可由2,…,s線性表示,即存在一組數k2,,…,ks使:1=k22+…+kss

,于是有

定理3.3

向量組1,2,…,s(s2)線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可被其余向量線性表示.1+k22+…+kss

=0這里1,k2,…,ks不全為零,所以1,2,…,s線性相關.兩個向量線性相關的幾何意義是這兩向量共線;三個向量線性相關的幾何意義是這三向量共面;n個向量線性相關的幾何意義是它們在一個n-1維空間.

定理3.4

設向量組1,2,…,r線性無關,而向量組1,2,…,r,線性相關,則可由1,2,…,r線性表示,且表示式唯一.

證明由已知,存在不全為零的數k1,k2,…,kr,l,使k11+k22+…+krr+l

=0若l=0,則k11+k22+…+krr=0,矛盾.所以l0,于是若有:=k11+k22+…+krr=l11+l22+…+lrr即,表示式是唯一的.則有:(k1

l1)1+(k2

l2)2+…+(krl1)r=0所以:k1

l1=k2

l2=

…=krl1=0

設向量組1,2,…,s稱為向量組1,2,…,s的加長向量組.

前面加長向量組的概念中只加了一個分量,而且加在了最后一個分量.也可以加多個分量,分量也可以加在任何位置,都稱為原向量組的加長向量組.

定理3.5線性無關向量組的加長向量組也線性無關.

證明只證明在最后加一個分量的情況,其它類似.所以有:k11+k22+…+kss=0,故k1=k2=

…=ks=0

設k11+k22+…+kss=0

,即所以1,2,…,s線性無關.§3向量組的秩

向量組間的等價關系具有下列性質:

設有兩個向量組分別為:

(Ⅰ):1,2,…,r;(Ⅱ):1,2,…,s.

定義3.9若向量組(Ⅰ)中的每個向量都可以由向量組

(Ⅱ)線性表示,則稱向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表示;若向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)可以互相線性表示,則稱向量組(Ⅰ)和向量組(Ⅱ)等價.(ⅰ)反身性:任何向量組都與自身等價;(ⅲ)傳遞性:若(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,(Ⅱ)與(Ⅲ)等價,則(Ⅰ)

與(Ⅲ)也等價.(ⅱ)對稱性:若(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,則(Ⅱ)與(Ⅰ)也等價;

證先正交化

顯然,列向量組1,2,…,r可由列向量組1,2,…,s線性表示的充分必要條件是:存在sr矩陣C,使

(1,2,…,r)=(1,2,…,s)C

定理3.6如果向量組1,2,…,m線性無關,則有規(guī)范正交向量組e1,e2,…,em與之等價.1=1,

再將1,2,…,m單位化,取

則1,2,…,m就是所求規(guī)范正交向量組.

上述由線性無關向量組1,2,…,m,得到正交向量組1,2,…,m的方法稱為Schimidt(施密特)正交化過程.

例3.6

求一個與向量組1＝(1,1,1)T,2=(1,2,3)T,3=(2,－1,2)T等價的規(guī)范正交向量組。

解先將向量組1,2,3正交化,令1=1＝(1,1,1)T,再將向量組1,2,3規(guī)范化,即取

定義3.10

若實方陣A滿足AAT=E,

則稱A是正交矩陣.1,2,3就是與向量組1,2,3等價的規(guī)范正交向量組.

若記A=(1,2,…,n)，則有可見,ATA=E的充分必要條件是:注意:iTj=a1ia1j+a2ia2j+…+anianj=[i,j]

所以說,n階實矩陣A是正交矩陣A的行(列)向量組是規(guī)范正交向量組.

例如,下列矩陣都是正交矩陣:(ⅰ)1,2,…,r線性無關;(ⅱ)1,2,…,r,線性相關(是向量組中任一向量).

定義3.11若向量組中的某個部分組1,2,…,r,滿足:則稱1,2,…,r是此向量組的一個極大線性無關向量組，簡稱為極大無關組.

例3.7求向量組1=(1,0,0)T,2=(0,1,0)T,3=(0,0,1)T,4=(1,1,1)T的一個極大線性無關組.

所以1,2,3就是向量組1,2,3,4的一個極大線性無關組.

解由于1,2,3線性無關,而且4=1+2+3

類似地,1,3,4和2,3,4都是向量組1,2,3,4的極大線性無關組.

所以1,2,4也是向量組1,2,3,4的一個極大線性無關組.

由于1,2,4也線性無關,而且3=41

2

定理3.7向量組與它的任一極大線性無關組等價.

可見,一個向量組的極大線性無關組是不唯一的.

推論向量組中任意兩個極大線性無關組等價.時(其中A是矩陣),有A=0

證明設A=(aij)rs

,則有

引理若列向量組1,2,…,r線性無關,則當由于1,2,…,r線性無關,所以aij=0,即A=0.(1,2,…,r)A=0證明設向量組1,2,…,r和1,2,…,s等價且都線性無關，則存在sr矩陣A和rs矩陣B,使(1,2,…,r)=(1,2,…,s)A

定理3.8

等價的線性無關向量組含有相同個數的向量.由引理有：BA=Er,同理有AB=Es

(1,2,…,s)=(1,2,…,r)B于是有(1,2,…,r)=(1,2,…,r)BA即(1,2,…,r)(EBA)=0所以，A,B是方陣，即r＝s．

推論一向量組的極大線性無關組所含向量的個數是唯一的.易知，向量組1,2,…,s線性無關R{1,2,…,s}=s.

若一向量組的所有向量都是零向量，規(guī)定其秩為0.

向量組1,2,…,s的秩記為：R{1,2,…,s}

定義3.12

一向量組的極大線性無關組所含向量的個數,稱為向量組的秩.

或記為：rank{1,2,…,s}例7中向量組1,2,3,4的秩R{1,2,3,4}=3.

定理3.9

若向量組1,2,…,s可由向量組1,2,…,t線性表示，則

推論2

向量組1,2,…,p線性無關,且可由向量組1,2,…,q

線性表示，則pq.

推論1

等價的向量組具有相等的秩．

R{1,2,…,s}R{1,2,…,t}

證明記極大線性無關組為:1,2,…,p和1,2,…,q則：向量組1,2,…,p可由1,2,…,q線性表示，于是1,2,…,q是向量組1,2,…,p,1,2,…,q的極大線性無關組.再由1,2,…,p線性無關知pq.

推論3

向量組1,2,…,p可由向量組1,2,…,q

線性表示，且p>q,則向量組1,2,…,p線性相關.

推論4

任意n+1個n維向量線性相關.§4矩陣的秩

第二章指出,任意矩陣都與標準形等價,r就是矩陣A的秩,但由于r的唯一性沒有證明,因此用另一種說法給出矩陣秩的定義.

定義3.13

在矩陣Amn中,任選k個行與k個列(km,kn),位于這k行,k列交叉處的k2個元素,按原相互位置關系所形成的k階行列式稱為A的一個k階子式．

一個mn矩陣的k階子式共有個.

定義3.14

設在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D，且A的所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0,那么D稱為矩陣A的最高階非零子式,r稱為矩陣A的秩,記為R(A).并且規(guī)定零矩陣的秩等于0.

由于R(A)就是A的最高階非零子式D的階數,所以

若A有某個s階子式不等于0，則R(A)s；

若A的所有t階子式全等于0，則R(A)<t;

對任意mn矩陣A都有:0R(A)min{m,n};

對任意矩陣A都有:R(AT)=R(A).

對n階方陣A,由于只有一個n階子式|A|,所以|A|≠0時,R(A)=n;|A|=0時,R(A)<n.即An可逆?R(An)=n.

所以,可逆矩陣也稱為滿秩矩陣,不可逆矩陣(奇異矩陣)也稱為降秩矩陣.

例3.8

求下列矩陣的秩.解由于|A|=0,但所以,R(A)=2.由于B的所有四階子式全為0,但所以,R(B)=3.可見,階梯矩陣的秩等于非零行行數.

定理3.10

初等變換不改變矩陣的秩.

證明設R(A)=r,且D是A的某個r階非零子式.如果或,則在B中一定能找到與D對應的r階子式D1滿足D1=D或D1=-D或D1=kD,所以D1≠0,故R(B)r.

如果,若D中不包含A的第i行,則D也是B的r階非零子式,所以,R(B)r.

若D中包含A的第i行和第j行,則B中對應D的r階子式D1=D≠0,所以,R(B)r.

若D中包含A的第i行不含第j行,則B中對應D的r階子式D1=D+D2,D2也是B的r階子式,而D1、D2至少有一個不等于零,所以,R(B)r.

所以,對A作一次初等變換變成B時有R(B)R(A).由于初等變換是可逆的,B也可以作一次初等變換變成A,所以R(A)R(B),因此,R(A)=R(B).

由于對矩陣做一次初等行變換矩陣的秩不變,所以,對矩陣做有限次初等行變換矩陣的秩也不變.

如果對A作一次初等列變換變成B,則對AT作一次初等行變換變成BT,所以R(AT)=R(BT),于是R(A)=R(B).

推論若A~B,則R(A)=R(B).這就給我們提供了求一般矩陣秩的有效方