第七章二次曲線的射影性質(zhì)

§

7.2Pascal定理與Brianchon定理

兩個古老而美麗的定理.內(nèi)容包括兩個定理及其逆定理,以及它們的各種極限、退化形式.有著重要的應(yīng)用意義！簡單六點形簡記為：123456三雙對邊12,45；23,56；34,61(間隔(n–2)/2條邊)簡單六線形簡記為：123456§

7.2Pascal定理與Brianchon定理一、Pascal定理與Brianchon定理

定理4.7(Pascal)

定理4.7'(Brianchon)

定理4.8(Pascal逆定理)

定理4.8'(Brianchon逆定理)Pascal線Brianchon點§

7.3

配極變換一、極點與極線

在二次曲線理論中十分重要,與二次曲線的大部分重要性質(zhì)有關(guān).只討論二階曲線,總假定：非退化.設(shè)定義7.1

兩點P,Q關(guān)于共軛.(如圖)

定理7.13點P關(guān)于的共軛點的軌跡為一條直線Sp=0.

證明設(shè)P(pi),Q(qi).則PQ與

:S=0的交點M(pi+qi)滿足§

7.3配極變換設(shè)兩根為1,2.則交點為Mj(pi+jqi)(j=1,2).于是(PQ,M1M2)=–11/2=–11+2=0將qi改為流動坐標xi,得P關(guān)于的共軛點的軌跡為直線Sp=0.§

7.3配極變換一、極點與極線定理7.13點P關(guān)于的共軛點的軌跡為一條直線Sp=0.推論7.5兩點P,Q關(guān)于共軛Spq=0.即注2P在上,則Spp=0,規(guī)定：上的點關(guān)于自共軛.注1驗證兩點P,Q關(guān)于共軛,只要驗證上式.§

7.3配極變換2.極點與極線定義7.7對于點P,若則稱P關(guān)于的共軛點軌跡p切線p為P關(guān)于的極線,方程為Sp=0.反之,稱P為直線p關(guān)于的極點.§

7.3配極變換一、極點與極線

推論7.6平面上任一點P關(guān)于的極線存在唯一,方程為Sp=0.反之,平面上任一直線p關(guān)于的極點存在唯一.

證明只要證后半.設(shè)直線u:u1x1+u2x2+u3x3=0,求u關(guān)于的極點.

設(shè)P(pi)為其一個極點.

由于P(pi)的極線唯一存在為Sp=0,從而u與Sp=0為同一直線,即2.極點與極線§

7.3配極變換一、極點與極線2.極點與極線即§

7.3配極變換二、配極變換1.配極變換定義7.9稱由決定的同底點場與線場之間的變換為關(guān)于非退化二階曲線

:S=0的配極變換.注2任一非退化二階曲線都決定了平面上的一個配極變換.

注1(4.18)即表示點x與直線u是關(guān)于

:S=0的極點極線關(guān)系.注4非異實對稱矩陣類非退化二階曲線配極變換§

7.3配極變換二、配極變換1.配極變換

注本定理為配極變換最基本的幾何性質(zhì).

定理7.14(配極原則)點P關(guān)于的極線p通過點Q點Q關(guān)于的極線q通過點P.

定理7.14'(配極原則)直線p關(guān)于的極點P在直線q上直線q關(guān)于的極點Q在直線p上.§

7.4

二次曲線的射影分類一、二階曲線的奇異點1.定義

定義7.20若點P0(p0i)的坐標是方程組的非零解,則稱P0為二階曲線：的一個奇異點.

注1.P0為的奇異點

P0在上,且Sp0=0.

注2.

:S=0有奇異點|aij|=0

為退化的.§

7.4

二次曲線的射影分類

注3.若秩(aij)=2,則有唯一奇異點；若秩(aij)=1,則有無窮多的奇異點,構(gòu)成一條直線.2.性質(zhì)(1).定理7.24.上一點P為奇異點P與上任一點連線上的點都在上.§

7.4

二次曲線的射影分類二、二階曲線的射影分類1.|aij|0,秩(aij)=3.再作一次僅改變單位點的射影坐標變換S'=0又可化為去掉“''”之后,由于齊次性及x1,x2,x3的平等性,只有兩種情況§

7.4

二次曲線的射影分類綜上,非退化二階曲線的方程必可化為上述兩種標準方程之一.§

7.4

二次曲線的射影分類二、二階曲線的射影分類2.|aij|=0,秩(aij)=2.

退化為兩條相交直線m1,m2

取新的射影坐標系如圖所示,的方程可化為即§

7.4

二次曲線的射影分類

綜上,當二階曲線退化且秩為2時,其方程必可化為上述兩種標準方程之一.§

7.4

二次曲線的射影分類二、二階曲線的射影分類3.|aij|=0,秩(aij)=1.

退化為一條完全由奇異點構(gòu)成的直線.取此直線為坐標三點形的一邊,比如A'2A'3,

則S=0必可化為

綜上,當退化且秩為1時,的方程必可化為上述標準方程.

由以上討論,二階曲線被分成5個等價類,屬于同一等價類的二階曲線的方程必可化為上述5種標準方程之一.§

7.5

二次曲線的仿射理論一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系

定義7.21對于任意的二階曲線,

若交l于兩個相異的實點重合的實點共軛的虛點,則稱為雙曲型的拋物型的.橢圓型的若非退化,則稱為雙曲線拋物線.橢圓雙曲線拋物線橢圓約定本節(jié)與下節(jié),僅在射影仿射平面上討論,即指定l:x3=0.§

7.5

二次曲線的仿射理論一、二階曲線與無窮遠直線的關(guān)系設(shè)其中xi為射影仿射坐標,則x1,x2地位平等而x3特殊.與l的交點為解出x1:x2即得交點(x1,x2,0).于是,對于x1:x2,有兩個相異的實根重合的實根共軛的虛根為雙曲型的拋物型的.橢圓型的§

7.5

二次曲線的仿射理論

定理7.25對于二階曲線

:S=0,A33的符號為仿射不變的.由于l：x3=0為仿射不變的,因此二階曲線與l的相交情況也是仿射不變的,所以有下列定理§

7.5

二次曲線的仿射理論二、二階曲線的中心

定義7.22l關(guān)于的極點C稱為的中心.(1)通常點C為的中心C為的對稱中心(即C為過C的弦的中點).

(2)雙曲線,橢圓的中心為有窮遠點；拋物線的中心為無窮遠點.雙曲線橢圓有心二階曲線無心二階曲線拋物線§

7.5

二次曲線的仿射理論因為中心C為l的極點,設(shè)C(c1,c2,c3).則中心方程組為于是,中心坐標為：有心二階曲線：(A31,A32,A33).無心二階曲線：(A31,A32,0).即(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).易犯之錯：A32的符號！§

7.5

二次曲線的仿射理論三、直徑與共軛直徑(1).直徑仿射定義解幾定義

無窮遠點P的有窮遠極線(過中心的通常直線).

一組平行弦中點的軌跡.(XY,ZP)=–1(2).共軛直徑

直徑AB的共軛直徑為AB上無窮遠點P的極線EF(相互通過對方極點的兩直徑).

直徑AB的共軛直徑為平行于AB的弦的中點軌跡EF.(XY,ZP)=–1仿射定義解幾定義(3).共軛方向：與一對共軛直徑平行的方向.l不是任何二階曲線的直徑！利用中心坐標,可直接寫出的直徑方程為或者§

7.5

二次曲線的仿射理論四、漸近線1.定義.二階曲線上無窮遠點處的有窮遠切線稱為其漸近線.注1.等價定義：過中心的有窮遠切線稱為漸近線.注2.與漸近線平行的方向稱為漸近方向.注3.雙曲線橢圓有兩條實虛漸近線,一對漸近方向；拋物線無漸近線.從而,漸近線只對有心二階曲線討論.§

7.5

二次曲線的仿射理論§

7.6

二次曲線的仿射分類問題：在射影仿射平面上,給定適當選取射影仿射坐標系,將的方程化為射影仿射標準方程.

依據(jù)：

的秩,A33的符號,將雙曲型、拋物型、橢圓型三類曲線進一步細分為若干射影仿射等價類,得到每一類的標準方程.

注意：由l

：x3=0在射影仿射平面上的特殊性,故在選取新的射影仿射坐標系時必須保持A1',A2'總在l上.§

7.6

二次曲線的仿射分類一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.1.A33≠0,有心二階曲線.

以A1'A2'A3'為坐標三點形,適當選取單位點E'(按單位點規(guī)則),建立新的仿射坐標系.注意到x1,x2地位平等,而x3特殊,從而有下列三個射影仿射等價類在射影仿射平面上,有心二階曲線皆可化為上述標準方程之一.§

7.6

二次曲線的仿射分類一、非退化|aij|0,秩(aij)=3.2.A33=0,無心二階曲線,即拋物線.在射影仿射平面上,無心二階曲線(拋物線)皆可化為上述標準方程.