對(duì)圖形與幾何的理解及教學(xué)策略思考

對(duì)圖形與幾何的理解及教學(xué)策略思考第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日數(shù)與代數(shù)(50％)空間與圖形(35％)統(tǒng)計(jì)與概率(15％)實(shí)踐與綜合應(yīng)用數(shù)與式函數(shù)方程與不等式認(rèn)識(shí)關(guān)系變換概率統(tǒng)計(jì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)樹(shù)第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日一、對(duì)圖形與幾何的理解1.圖形與幾何的核心內(nèi)容圖形與幾何認(rèn)識(shí)(一個(gè)圖形)關(guān)系(兩個(gè)圖形)變換數(shù)學(xué)是研究空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，圖形與幾何是中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中較為重要的內(nèi)容。第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日重慶市近幾年中考考點(diǎn)09年10年11年

12年認(rèn)識(shí)圓中的角圓中的角圓中的角圓中的角三視圖三視圖弧長(zhǎng)扇形面積尺規(guī)作圖(三角形)尺規(guī)作圖(角的組合)尺規(guī)作圖(應(yīng)用)簡(jiǎn)單全等證明解直角三角形簡(jiǎn)單全等證明解直角三角形關(guān)系相似比(面積)相似比(中線周長(zhǎng))相似比(圖形面積)相似比(高)平行線相交線平行線相交線平行線相交線平行線相交線圓與圓位置直線與圓位置中心對(duì)稱軸對(duì)稱第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日變換幾何綜合幾何綜合幾何綜合幾何概率直角梯形(證線段等求線段長(zhǎng))直角梯形(證線段2倍證角和差)一般梯形(求線段長(zhǎng)證線段和差)菱形(求線段長(zhǎng)證線段和差)拋物線,旋轉(zhuǎn),證線段2倍,等腰分類動(dòng)點(diǎn),分段函數(shù)旋轉(zhuǎn),證周長(zhǎng)不變,等腰分類動(dòng)點(diǎn),分段函數(shù)平移,等腰分類動(dòng)點(diǎn),分段函數(shù)平移,直角分類合計(jì)第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2.圖形與幾何的課標(biāo)要求①平行線等分線段②梯形和等腰梯形③梯形的中位線定理④相似三角形的證明⑤與圓有關(guān)的證明⑥圓和圓的位置關(guān)系⑦圓錐的側(cè)面積和全面積⑧弦切角、相交弦、切割線定理第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.圖形與幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)點(diǎn):線:角：三角形:四邊形:圓:①認(rèn)識(shí)從一般到特殊:角特殊,邊特殊…直角三角形,等腰三角形平行四邊形→矩形,菱形,正方形

梯形→直角梯形,等腰梯形從簡(jiǎn)單到復(fù)雜邊,角,特殊線段概念,性質(zhì)(判定),運(yùn)用第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)與點(diǎn)：點(diǎn)與線：點(diǎn)與多邊形(角):點(diǎn)與圓：線與線：線與多邊形(角):線與圓：角與角:多邊形與多邊形:多邊形與圓：圓與圓：②關(guān)系從簡(jiǎn)單到復(fù)雜/點(diǎn)在線外,點(diǎn)在線上點(diǎn)在形外,點(diǎn)在形上,點(diǎn)在形內(nèi)點(diǎn)在圓外,點(diǎn)在圓上,點(diǎn)在圓內(nèi)比較(相等:和差倍分,不等),平行,相交/直線與圓相離,直線與圓相交比較(相等:和差倍分,不等)全等,相似//數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日③變換點(diǎn):線:角:三角形:四邊形:圓:運(yùn)動(dòng)變換平移旋轉(zhuǎn)對(duì)稱從簡(jiǎn)單到復(fù)雜第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日二、圖形與幾何教學(xué)策略1.整體結(jié)構(gòu)要讓學(xué)生掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，最有效率的是掌握和運(yùn)用結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)具有較知識(shí)點(diǎn)更強(qiáng)的遷移力。（1）框架性結(jié)構(gòu)——體現(xiàn)知識(shí)整體（3）過(guò)程性結(jié)構(gòu)——體現(xiàn)知識(shí)形成（2）方法性結(jié)構(gòu)——體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例1：菱形的性質(zhì)菱形的性質(zhì)可以從哪些角度入手?學(xué)習(xí)菱形以什么方法來(lái)學(xué)(過(guò)程性結(jié)構(gòu))?教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)為什么學(xué)習(xí)矩形之后是菱形(框架性結(jié)構(gòu))?邊,角,特殊線段(對(duì)稱性)觀察—猜想—驗(yàn)證四邊形轉(zhuǎn)化為三角形,平行線等□→角特殊→邊特殊菱形要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容(方法性結(jié)構(gòu))？概念→性質(zhì)判定→運(yùn)用第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例2：兩條直線的位置關(guān)系相交線(鄰補(bǔ)角,對(duì)頂角)→垂線→三線八角→平行線邊,角,特殊線段概念,性質(zhì)(判定),運(yùn)用每節(jié)課局限在這些知識(shí)點(diǎn)的結(jié)論記憶和運(yùn)用請(qǐng)畫兩條直線,你能畫出幾種不同的位置?(框架性結(jié)構(gòu))兩條直線相交要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？(方法性結(jié)構(gòu))用結(jié)構(gòu)：平行兩條直線位置關(guān)系：相交，平行觀察→猜想→驗(yàn)證兩條直線相交以什么方法來(lái)學(xué)？(過(guò)程性結(jié)構(gòu))教結(jié)構(gòu)：相交第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例：等腰三角形例題：∠ABC=∠ACB,BO.CO分別平分∠ABC,∠ACB.①圖中有幾個(gè)等腰三角形?變式1：…

過(guò)O作EF∥BC.①圖中有幾個(gè)等腰三角形?②線段EF與BE、FC之間有何關(guān)系?變式2：…

若∠B≠∠C.①圖中有沒(méi)有等腰三角形?②線段EF與BE、FC之間還有無(wú)關(guān)系?2.變式訓(xùn)練第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE案例：等邊三角形（1）條件結(jié)論變式常見(jiàn)方法：第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE【變式】當(dāng)點(diǎn)D、E滿足什么條件時(shí),△ADE是等邊三角形？（2）封閉開(kāi)放第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【變式】將△AED繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)任意角度,上述結(jié)論是否都成立？【例題】如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDEABCED【變式】將△ADE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使C、A、D三點(diǎn)在一條直線上.求證：CE=BD.你還能得出哪些結(jié)論？(邊.角.三角形…位置關(guān)系.數(shù)量關(guān)系.形狀)（3）圖形變換第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【變式】將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度,上述結(jié)論還成立嗎？如圖，正方形CGEF的邊CG在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，連接AE，取線段AE的中點(diǎn)M，連接MD、MF.

求證：MD=MF.【變式】

將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？（4）改變載體第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【原型】如圖,△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),DE∥BC.求證：△ADE是等邊三角形.ABCDE【改編】若點(diǎn)D是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是DE的中點(diǎn)，AB=2，是否存在這樣的點(diǎn)D，使△ABP是等腰三角形，若存在，求出此時(shí)AD的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由.（5）化靜為動(dòng)P第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【原型】如圖，菱形ABCD中,E、F分別是AB、AD邊的中點(diǎn),H為CD邊上一點(diǎn),且滿足∠BHC=2∠BCE．（1）求證：CE=CF；（2）求證：CH=AB+AH．【改編】（6）特殊一般第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日【原型】如圖，∠C=90°DE⊥AC，若AE=1，AC=3，BC=2，求△ADE的面積.【改編】

（7）轉(zhuǎn)換題型第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日3.語(yǔ)言轉(zhuǎn)化(1)文字語(yǔ)言(2)圖形語(yǔ)言(3)符號(hào)語(yǔ)言①幾何符號(hào):∵,∴,⊥,∥,△,□②關(guān)系符號(hào):≌,∽,＝,≠,≈,＞,≥,＜,≤③英文字母A,B,C,D等,希臘字母π,α,β,γ等條件上圖,輔助線寫法第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日4.推理論證由數(shù)式的計(jì)算轉(zhuǎn)到對(duì)幾何圖形的推理論證。知道結(jié)論可以證明出來(lái)，但不知道怎么用符號(hào)語(yǔ)言把論證的過(guò)程完整準(zhǔn)確的表達(dá)出來(lái)，或論證過(guò)程拖泥帶水，語(yǔ)言表達(dá)無(wú)法準(zhǔn)確簡(jiǎn)明.

第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日5.問(wèn)題引導(dǎo)好“問(wèn)”五度（1）準(zhǔn)確度——對(duì)準(zhǔn)教學(xué)目標(biāo)（2）趣味度——激發(fā)力強(qiáng)（3）深刻度——有效攻克重難點(diǎn)（4）開(kāi)放度——充分暴露相異構(gòu)想（5）集中度——主問(wèn)突出，線索清晰答疑—質(zhì)疑暴露問(wèn)題—提出問(wèn)題第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例：軸對(duì)稱問(wèn)題1．閱讀教材58—59頁(yè)，找出其中的重要概念,勾出概念中的關(guān)鍵詞,思考：如何判斷一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形？如何判斷兩個(gè)圖形是否成軸對(duì)稱？問(wèn)題2．成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等嗎？如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形全等嗎？這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱嗎?第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題3．軸對(duì)稱圖形和(成)軸對(duì)稱有什么區(qū)別和聯(lián)系?問(wèn)題4．圖中的兩個(gè)三角形關(guān)于直線MN對(duì)稱，請(qǐng)你標(biāo)出點(diǎn)A、B、C的對(duì)稱點(diǎn)A′、B′、C′,思考直線MN與線段AA′有什么關(guān)系？PNMCBA第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例1：正比例函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題1．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=x,y=2x,y=3x的圖象,觀察它們有什么共性？(形)問(wèn)題2．你能說(shuō)明它們?yōu)槭裁从羞@樣的共性？(數(shù))問(wèn)題3．上述結(jié)論能推廣到一般情形嗎？問(wèn)題4．你能類比上述研究過(guò)程,得出k＜0的情形嗎？第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例2：一元二次方程的解法——公式法問(wèn)題1．你能用配方法求出二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程的解嗎？問(wèn)題2．你能用配方法求出二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程的解嗎？問(wèn)題3．你能用配方法求出二次項(xiàng)系數(shù)為字母的一元二次方程的解嗎？第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例3：有理數(shù)的加法問(wèn)題1．小明在一條東西向的跑道上，先向東走了20米，又向東走了30米，能否確定他現(xiàn)在位于原來(lái)位置的哪個(gè)方向，與原來(lái)位置相距多少米?你能用一個(gè)算式簡(jiǎn)潔的表示這兩次運(yùn)動(dòng)及結(jié)果嗎？（必須表明運(yùn)動(dòng)的方向和距離）問(wèn)題2．如果刪去問(wèn)題1中的兩個(gè)“向東”，你還能確定小明的位置嗎？一共有幾種情形？請(qǐng)直接用算式寫出所有情形．第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日問(wèn)題3．觀察得到的幾個(gè)算式，你能發(fā)現(xiàn)和的符號(hào)與兩個(gè)加數(shù)的符號(hào)有什么關(guān)系嗎？和的絕對(duì)值與兩個(gè)加數(shù)的絕對(duì)值又有什么關(guān)系？問(wèn)題4．兩種特殊情形：（1）第一次向西走了30米，第二次向東走了30米；（2）第一次向西走了30米，第二次沒(méi)走．請(qǐng)分別寫出算式，你能從中得出什么結(jié)論？第二十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例4：拋物線的增減性變式1:拋物線y=3x2上有兩點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2)

當(dāng)x1＞x2＞0時(shí),問(wèn)y1和y2的大小關(guān)系問(wèn)題.拋物線y=3x2上有兩點(diǎn)(4,y1)、(1,y2)

問(wèn)y1和y2的大小關(guān)系.變式2:拋物線y=ax2(a＜0)上有兩點(diǎn)(x1,y1)、(x2,y2)

當(dāng)x1＜x2＜0時(shí),問(wèn)y1和y2的大小關(guān)系第三十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日案例5：已知一元二次方程有一個(gè)根為1,那么這個(gè)方程可以是

.(只需寫出一個(gè)方程)(上海2005)學(xué)生嘗試，教師追