2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系3作業(yè)含解析新人教版必修22022022618

PAGEPAGE4空間中直線與直線之間的位置關(guān)系一、選擇題1．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交解析：選B假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c顯然與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，矛盾)．因此c與b可能相交或異面．2.如圖所示，在三棱錐S—MNP中，E、F、G、H分別是棱SN、SP、MN、MP的中點(diǎn)，則EF與HG的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面解析：選A∵E、F分別是SN和SP的中點(diǎn)，∴EF∥PN.同理可證HG∥PN，∴EF∥HG.3．如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關(guān)系為()A．相交 B．平行C．異面而且垂直 D．異面但不垂直解析：選D將展開圖還原為正方體，如圖所示．AB與CD所成的角為60°，故選D.4．下列命題中①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；②如果兩條相交直線和另兩條直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．正確的結(jié)論有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)；對(duì)于②，正確；對(duì)于③，不正確，舉反例：如右圖所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的兩條邊分別垂直于∠APB的兩條邊，但這兩個(gè)角既不一定相等，也不一定互補(bǔ)；對(duì)于④，由公理4可知正確．故②④正確，所以正確的結(jié)論有2個(gè)．5．若P是兩條異面直線l，m外的任意一點(diǎn)，則()A．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都平行B．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都垂直C．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都相交D．過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l，m都異面解析：選B逐個(gè)分析，過點(diǎn)P與l，m都平行的直線不存在；過點(diǎn)P與l，m都垂直的直線只有一條；過點(diǎn)P與l，m都相交的直線1條或0條；過點(diǎn)P與l，m都異面的直線有無(wú)數(shù)條．二、填空題6．空間中有一個(gè)角∠A的兩邊和另一個(gè)角∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________.解析：∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.答案：70°或110°7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為C1D1的中點(diǎn)，則異面直線AE與A1B1解析：設(shè)棱長(zhǎng)為1，因?yàn)锳1B1∥C1D，所以∠AED1就是異面直線AE與A1B1所成的角．在△AED1中，AE＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(3,2)，cos∠AED1＝eq\f(D1E,AE)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,2))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．如圖，點(diǎn)P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是________．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答題9.如圖所示，E、F分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1—ABCD的棱A1A，C1求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．證明：設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ、QC1.∵E是AA1的中點(diǎn)，∴EQ綊A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C∴EQ綊B1C1∴四邊形EQC1B1為平行四邊形．∴B1E綊C1Q.又∵Q、F是DD1、C1C兩邊的中點(diǎn)，∴QD綊C1∴四邊形QDFC1為平行四邊形．∴C1Q綊DF.又∵B1E綊C1Q，∴B1E綊DF.∴四邊形B1EDF為平行四邊形．10．已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角．解：如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB；PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為AB與CD所成的角．所以∠PMN(或其補(bǔ)角)為AB與MN所成的角．因?yàn)橹本€AB與CD成60°角，所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.又因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN①，(1)若∠MPN＝60°，則△PMN是等邊三角形，所以∠PM