第一章 多項式

一、基本概念和重要結果第一章

多項式若數(shù)域P上的多項式f(x)與g(x)的最大公因式是1，則稱f與g互素，并記為(f,g)=1。我們用g|f表示多項式g能除盡多項式f，同樣的，用a|b表示數(shù)a能除盡b，而用a|b表示數(shù)a除不盡b。用f

′(x)表示多項式f(x)的一階導數(shù)，一般用f(k)(x)表示f(x)的k階導數(shù)。1.互素（互質）多項式(1)域F上的多項式f(x)與g(x)互素當且僅當存在多項式u(x)和v(x)，使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.以下設f，g，h，f1，f2是多項式。(2)若(f,g)=1且f|gh，則f|h.(3)若(f1,f2)=1且f1|g，f2|g,則f1f2|g.(4)若(f,g)=1,(f,h)=1，則(f,gh)=1.(5)若(f,g)=1，則(fg,f+g)=1.(6)若f無重因式，則(f,f′)=1.2.不可約多項式

數(shù)域P上次數(shù)≥1的多項式p(x)稱為域P上的不可約多項式，如果它不能表成數(shù)域P上的兩個次數(shù)比p(x)低的多項式的乘積。(1)設p(x)是不可約多項式且p(x)|f(x)g(x)，則必有p(x)|f(x)或p(x)|g(x).設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數(shù)多項式.如果有一個素數(shù)p,使得

p

|

an;

p

|

an-1,an-2,…,a0;

p2

|

a0;那么f(x)在有理數(shù)域上是不可約多項式.(2)（Eisenstein判別法）

(3)不可約多項式p(x)是f(x)的k重因式，則它是f′(x)的k-1重因式，從而它是f(x)，f′(x)，…，f(k-1)(x)的因式，但它不是f(k)(x)的因式3.多項式的根(1)n次多項式在復數(shù)域上有n個根。(2)a是多項式f(x)的根當且僅當f(a)=0.(3)設f(x)=xn+a1xn-1+…+an-1x+an，是f(x)的根,則其中（i1,i2,…,ik）是1,2,…,n取k個數(shù)的任一組合。(4)設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是整系數(shù)多項式，r/s是f(x)的有理根且r與s互素，則必有s|an，r|a0。特別地，若an=1,則f(x)的有理根都是整數(shù)，且一定是a0的約數(shù)（因子）。(5)f(x)的各項系數(shù)同號，則f(x)無正根。(6)若多項式f(x)的奇次項和偶次項符號相反，則f(x)無負根。(7)實系數(shù)多項式f(x)的正根個數(shù)等于它的系數(shù)的變號數(shù)，或較系數(shù)的變號數(shù)多一個偶數(shù)。(8)奇次實系數(shù)多項式至少有一個實根。(9)實系數(shù)多項式實根個數(shù)與其次數(shù)有相同的奇偶性。4.對稱多項式(1)下列多項式為基本對稱多項式：……(2)任一對稱多項式f(x1,x2,…,xn)都能表示為基本對稱多項式的多項式，即：(4)牛頓多項式設則當k≤n時則當k>n時二、基本方法

1.關于最大公因式的證明，一般有以下幾種方法：

(1)利用定義；

(2)證明等式兩邊能互相整除；

(3)如果f(x)=q(x)g(x)+r(x)，且g(x)≠0，那么(f(x),g(x))=(g(x),r(x))

(4)如果d(x)|f(x)，d(x)|g(x)，且有u(x)，v(x)∈P[x]使d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，則d(x)是f(x)，g(x)的一個最大公因式。

2.將對稱多項式表為初等對稱多項式的方法：方法一:逐步消去首項法第一步:首先找出對稱多項式f的首項

則一定有:k1≥k2≥…≥kn;第二步:由f的首項寫出:第三步:作,并展開化簡.再對f1按第一、二、三步進行,構造.如此反復進行,直至出現(xiàn),則.方法二:待定系數(shù)法設f是m次齊次對稱多項式,用待定系數(shù)法求解的一般步驟為:第一步:根據(jù)f的首項指標組寫出所有可能的指標組(k1,k2,…,kn),這些指標組應滿足①k1≥k2≥…≥kn;②k1+k2+…+kn=m;③前面的指標組先于后面的指標組.第二步:由指標組(k1,k2,…,kn)寫出對應的初等對稱多項式的方冪的乘積:第三步:設出f由所有初等對稱多項式的方冪乘積的線性表達式,其首項系數(shù)即為f的首項系數(shù),其余各項系數(shù)分別用a,b,c,…代替.第四步:分別選取適當?shù)膞i(i=1,2,…,n)的值,計算及f,代入第三步中設出的表達式得到關于a,b,c,…的線性方程組,解這個線性方程組求得a,b,c,…的值,最后寫出所求的f的表達式.三、例題選講

1.(大連理工大學,2004年)設f(x),g(x)是有理系數(shù)多項式,且f(x),g(x)在復數(shù)域內(nèi)無公共根,則f(x),g(x)在有理數(shù)域上的最大公因式是

.解答:答案是1.因為f(x),g(x)在復數(shù)域內(nèi)無公共根,那么他們在復數(shù)域上的最大公因式為1,又由有理數(shù)域屬于復數(shù)域,那么由多項式的性質可知它們在復數(shù)域上的最大公因式與在有理數(shù)域上的最大公因式相同,都為1.

2.(南京大學,2005年)設f(x)=x6-10x5+6x4-310x3-580x2+20x-1115,則f(12)=

.解答:答案是2005.利用余數(shù)定理將f(x)用多項式的除法除以x-12.(一)填空題：

3.(天津大學,2002年)設f(x)=x3-7x2+7x+15,g(x)=x2-x-20.則(f(x),g(x))=

.解答:答案是x-5.

4.(北京交通大學,2005年)設p是素數(shù),則多項式xp+px+p和x2+p的最大公因式為

.解答:答案是1.

5.(廈門大學,2007年)設f(x),g(x)是有理系數(shù)多項式,且f(x),g(x)在復數(shù)域上有f(x)整除g(x),則在有理數(shù)域上

(選填“一定”或“未必”)有f(x)整除g(x).解答:答案是一定.(整除的定義與數(shù)域擴大(或縮小)無關)分析：可利用輾轉相除法或綜合除法得出答案。

6.(天津大學,2002年)多項式x3+3px+q有重根的條件是

.解答:答案是

或

.解答:答案是1.

8.(北京交通大學,2004年)已知方程2x4-x3+2x-3=0只有一個有理根,它就是x=

.解答:答案是1.

7.(大連理工大學,2005年)設f(x)是有理數(shù)域上的不可約多項式,為f(x)在復數(shù)域內(nèi)的一個根,則的重數(shù)為

.

9.(北京交通大學,2004年)如果f(x)=x3-3x+k有重根,則k=

.解答:答案是2或-2（不能寫成±2）.解答:答案是rx3+qx2+px+1=0.

10.(北京交通大學,2005年)設3次方程x3+px2+qx+r=0,r≠0,則以該方程的根的倒數(shù)為根的3次方程為

.(二)、綜合題考點1：數(shù)域、整除、最大公因式與互素多項式：主要考查數(shù)域的定義、多項式之間整除與輾轉相除法、最大公因式的定義和性質，以及互素多項式的性質。例1.1.1（上海交大，2002年）設f1(x)=af(x)+bg(x)，g1(x)=cf(x)+dg(x)，且證明:(f(x),g(x))=(f1(x),g1(x))證:令d(x)=(f(x),g(x))，d1(x)=(f1(x),g1(x))，顯然有d(x)|f(x)，d(x)|g(x).由f1(x)，g1(x)可以由f(x)，g(x)線性表出，可知d(x)|f1(x)，d(x)|g1(x)，那么有d(x)|d1(x).由于，則矩陣可逆，那么可以求出它的逆陣，使得f(x),g(x)可以被f1(x),g1(x)線性表出，與上面同樣的過程可以證得d1(x)|d(x)，又由d(x),d1(x)的首項系數(shù)都為1，可知d(x)=d1(x)□例1.1.2（哈工大，2005年）設f

(x)，g(x)都是實數(shù)域R上的多項式，a∈R.(1)證明:g(x)-g(a)|f(g(x))-f(g(a))(2)問x3-a|f(x3)-f(a)是否成立，為什么？

(1)證:令y=g(x),考慮多項式：h(y)=f(y)-f(g(a))由h(g(a))=f(g(a))-f(g(a))=0可知(y-g(a))|h(y)即g(x)-g(a)|f(g(x))-f(g(a))

(2)解:令，注意用到上一問的結論，將上一問中的a換成這里的b，將上一問的g(x)換成這里的x3，可得x3-a|f(x3)-f(a)□例1.1.3（哈工大，2006年）已知f

(x)，g(x)是數(shù)域P上兩個次數(shù)大于零的多項式，且存在u1(x),v1(x)∈P[x]，使得u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，問是否存在，u(x),v(x)∈P[x]，使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1，，如果存在，這樣的u(x),v(x)是唯一的嗎？說明理由。

解：由u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=1，若有u1(x)的次數(shù)大于g(x)的次數(shù)，由帶余除法有：u1(x)=g(x)q(x)+u(x),帶入上一式得：f(x)(g(x)q(x)+u(x))+g(x)v1(x)=1,即易得：f(x)(u1(x)-u2(x))=g(x)(v2(x)-v1(x))f(x)u(x)+g(x)(f(x)q(x)+v1(x))=1,令v(x)=f(x)q(x)+v1(x),則有：否則由比較次數(shù)可知上式將不可能成立。關于唯一性的證明，可以假設u2(x),v2(x)也滿足條件，那么有：u1(x)f(x)+v1(x)g(x)=u2(x)f(x)+v2(x)g(x)=1由f(x)與g(x)互素，可知g(x)|(u1(x)-u2(x)又由可得u1(x)-u2(x)=0,即u1(x)=u2(x),這時有v1(x)=v2(x).□例1.1.4（華南理工大，2006年）設f

(x)，g(x)是實數(shù)域P上的多項式，證明：f(x)|g(x)當且僅當對于任意大于1的自然數(shù)n，f

n(x)|gn(x).證明:必要性顯然成立，下證充分性。設g(x)在數(shù)域P上的不可約分解為：其中pi(x)為互不相同的不可約多項式，則：若有f

n(x)|gn(x)，則：其中d是某個常數(shù)，因此有：f(x)|g(x).□例1.1.4（天津大學，2002年）如果d(x)|f

(x)，d(x)|g(x),且d(x)為f(x)，g(x)的一個組合，證明：d(x)是f(x)與g(x)的一個最大公因式。證明：顯然d(x)是f(x)與g(x)的一個公因式，現(xiàn)在要證明它是最大公因式。任取h(x)|f(x)，且h(x)|g(x)，由于d(x)可以表示為f(x)與g(x)的一個組合，那么有h(x)|d(x)，即d(x)是f(x)與g(x)的一個最大公因式。（重大，2004，南京理工大，2004都考過）例1.1.6（北京科技大學，2004年）求一個三次多項式f

(x)，使得f(x)+1能被(x-1)2整除，而f(x)-1能被(x+1)2整除。解：由題知f

/(x)能被x-1和x+1整除，又由f(x)是一個三次多項式，那么f

′(x)是一個二次多項式，于是可設f

′(x)=a(x+1)(x-1)=ax2-a，積分易得f(x)=(a/3)x3-ax+b（其中a,b為常數(shù)）由題可知：f(1)=-1，f(-1)=1，將這兩個條件代入方程中易解得,那么有：f(x)=(1/2)x3-(3/2)x□(中山大學，2007：試求一個9次多項式f(x)，使得f(x)+1能被(x-1)5整除，而f(x)-1能被(x+1)5整除。答案：中科院，2005：試求一個7次多項式f(x)，使得f(x)+1能被(x-1)4整除，而f(x)-1能被(x+1)4整除。答案：)考點2：因式分解與不可約多項式(1)證明：存在實數(shù)c(0<c<1)，使得f′(c)=0，這里f′(x)為f(x)的導函數(shù)。(2)在Q[x]中將f(x)分解為不可約因式之積例1.2.1（上交大，2005年）假設

(1)證:由而顯然f(x)是一個多項式，在區(qū)間[0,1]上連續(xù)，在區(qū)間(0,1)上可導，根據(jù)Rolle定理，存在實數(shù)c(0<c<1)，使得f′(c)=0.

(2)解：對f(x)用初等列變換把第一行的第2、第3元素變?yōu)?之后并經(jīng)過簡單計算易得f(x)的表達式為：f(x)=-3x2(x-1)(2x3+2x2+x-2)假如要把f(x)分解為有理數(shù)域上不可約因子的乘積，在這里只要說明它的最后一個因子g(x)=2x3+2x2+x-2在有理數(shù)域上不可約就行了，如果g(x)在有理數(shù)域上可約，那么由于它是一個3次的多項式，必然有一次的因子，即存在有理數(shù)的根，而假如x=q/p（其中p,q是互素的整數(shù)）是g(x)的根，那么必有p|2，q|(-2)，即p=±1,±2,q=±1,±2.把x=±(1/2),±1,±2依次代入g(x)中驗證均不為0，于是有g(x)為有理數(shù)域上的不可約因式?！踝ⅲ鹤⒁獾揭韵露ɡ淼膽茫涸Of(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個次數(shù)n大于0的整系數(shù)多項式，如果q/p是f(x)的一個有理根，其中p,q是互素的整數(shù)，那么p|an,q|a0.另外，需要注意到的一點是：對于次數(shù)大于3的有理系數(shù)多項式，它可以在有理數(shù)域上分解并不代表它一定有有理根。例如：一個次數(shù)為4的有理系數(shù)多項式，它可能分解為兩個次數(shù)為2的有理系數(shù)多項式的乘積，而并不需要有有理根。例1.2.2（東南大學，2004年）設a1,a2,…,an為互不相同的整數(shù)，g(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)-1，(1)求證：g(x)在有理數(shù)域Q上不可約。(2)對于整數(shù)t≠-1，問h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)+t在有理數(shù)域Q上是否可約，為什么？

(1)證:假設g(x)在有理數(shù)域上可約，由g(x)的首項系數(shù)是1，可知它必然是一個本原多項式。對于本原多項式，在有理數(shù)域上可約等價于在整數(shù)集合上可約，于是存在兩個首項系數(shù)為1的整系數(shù)多項式f(x)，k(x)，使得:g(x)=f(x)k(x)，注意到g(ai)=-1(i=1,2,…,n)。于是f(ai)k(ai)=-1(i=1,2,…,n)，注意到f(ai)，k(ai)是整數(shù)，顯然有f(ai)+k(ai)=0(i=1,2,…,n).由f(x)，k(x)的次數(shù)均小于g(x)的次數(shù)可知l(x)=f(x)+k(x)的次數(shù)小于n,又由l(x)有n個不同的根ai

(i=1,2,…,n)，知l(x)=0，于是f(x)=-k(x)，可得g(x)=-(k(x))2≤0，而由g(x)的首項是xn，知當n足夠大時，總可以使得g(x)>0，這將導致矛盾。于是g(x)在有理數(shù)域上不可約。

(2)解:對于整數(shù)t≠-1，h(x)在有理數(shù)域上可能可約，也可能不可約。例如，t=0時，顯然有h(x)在有理數(shù)域上可約。將t=1，n=2，a1=1，a2=0代入，可得h(x)=x2-x+1，顯然它在有理數(shù)域上不可約?！踝ⅲ罕驹囗検降亩x為：一個非零整系數(shù)多項式：g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b0

，如果它的各項系數(shù)的最大公因數(shù)只有±1，則g(x)是一個本原多項式。對于本原多項式或整系數(shù)多項式，有如下重要的性質：若整系數(shù)多項式（或者本原多項式）在有理數(shù)域上可約，則它在整數(shù)集合上也可約，即可分解為次數(shù)較低的整系數(shù)多項式之積。

(2)在有理數(shù)域上求多項式g(x)=x4+2x3-11x2-12x+36的標準分解式。例1.2.3（四川大學，2004年）(1)設多項式f(x)=(x-1)(x-2)…(x-2(n-1))+1，其中n為非負整數(shù)，證明：f(x)在有理數(shù)域上一定可約。

(1)證:若f(x)在有理數(shù)域上可約，那么由它是整系數(shù)多項式，則有它在整數(shù)集合上可分解。于是存在兩個整系數(shù)多項式h(x),k(x),使得f(x)=h(x)k(x).注意到f(i)=1，i=1,2,…2n-1，于是h(i)k(i)=1，i=1,2,…2n-1.令l(x)=h(x)-k(x).由h(x)與k(x)的次數(shù)小于2n-1知l(x)的次數(shù)也小于2n-1，但是l(x)有2n-1個不同的根為x=1,2,…,2n-1，那么有l(wèi)(x)=0，于是h(x)=k(x)，推得：f(x)=(k(x))2≥0.但是f(0)<0，矛盾，于是f(x)在有理數(shù)域上不可約。解(2):注意到g(2)=g(-3)=0，由綜合除法可得：g(x)=(x-2)2(x+3)2，此式為g(x)在有理數(shù)域上的標準分解式?！踝ⅲ盒枰煊浺粋€關于多項式的定理是：K[x]中的n次多項式(n≥0)在K中至多有n個根（重根按重數(shù)計算）。由此定理可以推得：若一個次數(shù)小于n的多項式有n個不同的根，那么它必然是零多項式，即為0.另外，多項式的綜合除法在簡化多項式的一次因子的分解計算中起著重要的作用?？键c3：重因式、多項式函數(shù)與根例1.3.1（清華大學，2003年）任給互異復數(shù)a,b和a0,a1,a2,b0,b1,b2，是否存在多項式f(x)使得f(i)(a)=ai，f(i)(b)=bi(i=0,1,2)？證明之。(其中，

f(i)(a)表示f(x)的i次微商在a的取值。)解：不妨先考慮對于a=0，b=1的情形。取一個五次多項式g(y)=c5y5+c4y4+c3y3+c2y2+c1y+c0使它對y=0和y=1滿足題目的條件，即有：可得到關于系數(shù)c5,c4,c3,c2,c1,c0的六個線性方程組，其系數(shù)矩陣為對于任給的六個復數(shù)，對于任意六個數(shù)a0,a1,a2,b0,b1,b2，可以令：易算得行列式|A|=4≠0，即方程組存在唯一解，于是可以令，有注意到，顯然?。杭粗梢哉业竭@樣g(y)的滿足條件，于是有為滿足條件的多項式?！趵?.3.2（上交大，2004年）求下面多項式的根：分析：表面上是考查多項式，實際上是對矩陣的行列式與特征值的考查，本題可以直接計算行列式的值，然后再看多項式的根，但是計算量偏大，可以直接利用矩陣的特征值理論節(jié)省計算量。解：不妨設a1=1，并設顯然將x=2代入矩陣A，即得到的矩陣為-B，有：顯然有r(B)=1，且|B|=0，令y=x-2，考查B的特征多項式f(y)=|yIn-B|，方程組BX=0的解空間的維數(shù)為n-r(B)=n-1，注意到B是對稱陣，知其有n-1個特征值0（即f(y)的n-1個根），還有一個根可以用：得到為：即為f(y)的最后一個根，將a1=1代入，并注意x=y+2可知：f(x)的根為2（n-1重）和（1重）□?=+niia123注：注意一下結論：(1)K[x]中的多項式f(x)沒有重因式的充要條件是：f(x)和它的導數(shù)f′(x)互素，即(f(x),f′(x))=1.特別地，在復數(shù)域上，(f(x),f′(x))=1當且僅當f(x)沒有重根。(2)K[x]中的多項式f(x)，若令d(x)=(f(x),f′(x))，那么有：是一個沒有重因式的多項式，且這個多項式的每個不可約因子與f(x)的不可約因子相同。特別地，對于復數(shù)域上的多項式f(x)，是一個沒有重根的多項式，且這個多項式是f(x)的所有不同的一次因子的乘積的倍數(shù)。分析：對多項式根與系數(shù)關系的考查。例1.3.3（中南大學，2003年）證明：若方程x3+px+q=0的兩個根與有關系式則-q=(p-q)2證明：設方程的一個根為，注意方程的二次項的系數(shù)為零，于是由Vieta定理有：根據(jù)已知條件有：又根據(jù)Vieta定理有：兩式聯(lián)立，消去有：-q=(p-q)2□注：Vieta定理：K[x]中的多項式f(x)=xn+p1xn-1+…+pn-1x+pn在數(shù)域K上有n個根x1,x2,…,xn，則：…………例1.3.4(重慶大學,2005年)設f(x)=x3+6x2+3px+8，試確定p的值并使f(x)有重根并求其根解：注意f′(x)=3(x2+4x+p)，若要f(x)有重根，那么必須有(f(x),f′(x))≠1，由f(x)對f′(x)作除法運算可知：3f(x)=f′(x)(x+2)+3(2p-8)(x-1).若2p-8=0，那么將p=4代入易得：f(x)=(x+2)3，其重根為-2（3重）若2p-8≠0，那么必須有:(x-1)|f′(x)，即有f′(1)=0，由此可得p=-5，于是有f(x)=(x-1)2(x+8)，其根為1（重2），-8（1重）。□考點4：Eisenstein判別法的應用注：有時直接利用Eisenstein判別法無法判別f(x)是否在有理數(shù)域上不可約，這時需要利用以下結論：設f(x)=anxn+…+a1x+a0是次數(shù)n大于零的整系數(shù)多項式，設b是任意給定的一個整數(shù)，令g(x)=f(x+b)=an(x+b)n+…+a1(x+b)+a0，則f(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是g(x)在有理數(shù)域上不可約。這意味著，如果我們能夠證明：g(x)=f(x+b)在有理數(shù)域上不可約，那么就有f(x)在有理數(shù)域上不可約。這個結論在解題過程中往往會用到。例1.4.1(上海