《走向清華北大》高考總復(fù)習(xí) 三角函數(shù)的性質(zhì)課件

第二十一講三角函數(shù)的性質(zhì)回歸課本1.正?余弦曲線的定義正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ,k∈Z都是它們的周期,最小正周期是2π.3.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表4.y=tanx的性質(zhì)(1)定義域是{x|x≠kπ+,k∈Z}.(2)值域是R,即正切函數(shù)既無最大值,也無最小值.(3)周期性:正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是π.(4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù).(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間k∈Z內(nèi)都是增函數(shù).(6)對稱性:正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,正切曲線是中心對稱圖形,其對稱中心坐標(biāo)是

(k∈Z).正切函數(shù)無對稱軸.5.y=tanx(x≠kπ+k∈Z)的圖象考點陪練1.函數(shù)的的定義義域是()A.{x|2kπ-≤≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ≤≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ-≤x≤2kπ,k∈∈Z}D.x∈R答案:D2.若的的最最小正周期期為T,且T∈(1,3),則正整數(shù)ω的最大值是是()A.5B.6C.7 D.8答案:B答案:C答案:C5.函數(shù)x∈R是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)數(shù)又是偶函函數(shù)D.非奇非偶函函數(shù)答案:B類型一三三角函數(shù)的的定義域解題準(zhǔn)備:求函數(shù)定義義域的題型型,關(guān)鍵是求使使式子有意意義的x的取值范圍圍,將問題轉(zhuǎn)化化為解不等等式,此題是解三三角不等式式,常用的方法法有:①利用單位圓圓中的三角角函數(shù)線;②利用三角函函數(shù)的圖象象;③利用函數(shù)單單調(diào)性,一定要與相相應(yīng)三角函函數(shù)的周期期聯(lián)系起來來.[分析]先寫出使函函數(shù)有意義義的不等式式或不等式式組,再利用三角角函數(shù)圖象象或單位圓圓求解集.[反思感悟]①求三角函數(shù)數(shù)的定義域域,既要注意一一般函數(shù)的的定義域的的規(guī)律,又要注意三三角函數(shù)本本身的特有有屬性,如題中出現(xiàn)現(xiàn)tanx,則一定有x≠kπ+,k∈Z.②求三角函數(shù)數(shù)的定義域域通常使用用三角函數(shù)數(shù)線?三角函數(shù)圖圖象或單位位圓.類型二三三角函數(shù)的的值域及最最值問題解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的的值域及最最值問題,實質(zhì)上大多多是含有三三角函數(shù)的的復(fù)合函數(shù)數(shù)的值域問問題,常用的方法法有:化為代數(shù)函函數(shù)的值域域或化為關(guān)關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)數(shù)式,再利用換元元?配方等方法法求解.【典例2】求下列函數(shù)數(shù)的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-sinx;(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.[分析]先將原函數(shù)數(shù)式進(jìn)行等等價變形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但要注意自自變量的[反思感悟](1)將原函數(shù)式式化為y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B型或化為關(guān)關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)數(shù)式,利用換元法法進(jìn)行配方方可解決問問題.(2)關(guān)于y=acos2x+bcosx+c,a≠0(或y=asin2x+bsinx+c,a≠0)型或可化為為此型的函函數(shù)求值域域,一般可化為為二次函數(shù)數(shù)在閉區(qū)間間上的值域域問題,切忌忽視函函數(shù)的定義義域.(3)換元法,旨在三角問問題代數(shù)化化,要防止破壞壞等價性.類型三三三角函數(shù)的的單調(diào)性解題準(zhǔn)備:與三角函數(shù)數(shù)單調(diào)性有有關(guān)的問題題1.單調(diào)區(qū)間的的求法函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間間的確定,基本思想是是把ωx+φ看作一個整整體,比如:由2kπ-≤≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即即為增區(qū)間間,由2kπ+≤ωx+φφ≤2kππ+ππ(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即即為減區(qū)間間.2.如何比較兩兩個三角函函數(shù)值的大大小比較三角函函數(shù)值的大大小,往往是利用用奇偶性或或周期性轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為同一一單調(diào)區(qū)間間上的兩個個同名函數(shù)數(shù)值,再利用單調(diào)調(diào)性比較.[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函數(shù)的單單調(diào)區(qū)間,可以通過解解不等式的的方法去解解答,列不等式的的原則是:①把“ωx+φ(ω>0)”視為一個“整體”;②A>0(A<0)時,所列不等式式的方向與與y=sinx(x∈R)?y=cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間間對應(yīng)的不不等式方向向相同(反).(2)對于f(v),v=φ(x),其單調(diào)性的判定方法是:若y=f(v)和v=φ(x)同為增(減)函數(shù)時,y=f(φ(x))為增函數(shù);若y=f(v)和v=φ(x)一增一減時,y=f(φ(x))為減函數(shù).類型四三三角函數(shù)的的奇偶性解題準(zhǔn)備:1.當(dāng)φ=kπ時,y=Asin(ωωx+φ),y=Acos(ωx+φφ)(A,ω≠0)分別為奇函函數(shù)和偶函函數(shù)(k∈Z).2.當(dāng)φ=kπ+時,y=Asin(ωωx+φ),y=Acos3.函數(shù)的定義義域關(guān)于原原點對稱是是函數(shù)具有有奇偶性的的前提條件件,因此在判斷斷函數(shù)奇偶偶性時,應(yīng)首先判斷斷函數(shù)定義義域的對稱稱性.4.當(dāng)函數(shù)定義義域關(guān)于原原點對稱時時,只需分析f(-x)與f(x)的關(guān)系即可可.【典例4】判斷下列函函數(shù)的奇偶偶性(1)f(x)=|sinx|+cosx(2)y=lg(sinx+)[分析]先確定定義義域,再用函數(shù)奇奇偶性的定定義.[解](1)f(x)的定義域為為R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函數(shù)是是偶函數(shù).[反思感悟]判斷函數(shù)奇奇偶性時應(yīng)應(yīng)注意“定定義域關(guān)于于原點對稱稱是函數(shù)為為奇函數(shù)或或偶函數(shù)的的必要條件件”的應(yīng)用用.確定定義域域是研究函函數(shù)問題的的前提,因此解函數(shù)數(shù)問題的步步驟是:①先研究函數(shù)數(shù)的定義域域.②再用相關(guān)定定義加以判判斷.類型五三三角函數(shù)的的周期解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)周周期的求法法有三種:(1)定義法:即直接利用用周期函數(shù)數(shù)的定義求求周期;(2)公式法:三角函數(shù)y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分別別為2π?2ππ和π.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期函函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的周期為函函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的周期為(A,ω,φ為常數(shù),A≠0);(3)轉(zhuǎn)化法:對于較為復(fù)復(fù)雜的三角角函數(shù),可通過恒等等變形轉(zhuǎn)化化為y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k,y=Atan(ωx+φφ)+k的類型,再利用公式式法求得.[反思感悟]求三角函數(shù)數(shù)最小正周周期的基本本方法有兩兩種:一是將所給給函數(shù)化為為y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形式;二是利用圖圖象的基本本特征求.錯源一沒沒注意三角角函數(shù)的有有界性出錯錯【典例1】求函數(shù)y=-3sin2x+9sinx+的最大值.[錯解]配方得,故函數(shù)的最最大值是ymax=8.[剖析]上述解法的的錯誤在于于把題中函函數(shù)與通常常的二次函函數(shù)等同起起來了,它們雖有相相似之處但但也有嚴(yán)格格的區(qū)分.忽視了-1≤sinx≤1的隱含條件件.[正解]事實上,二次函數(shù)在在t∈[-1,1]上遞增.故原函數(shù)當(dāng)當(dāng)sinx=1時取最大值值,即ymax=[評析]正?余弦的值域域是固定在在某一個確確定的范圍圍內(nèi),在解三角題題時,一定要深入入挖掘條件件中由正?余弦函數(shù)有有界性產(chǎn)生生的隱含因因素,否則就會擴擴大解集,造成解題的的失誤.錯源二確確定單調(diào)性性時不注意意復(fù)合規(guī)律律而致錯【典例2】求函數(shù)的的單調(diào)遞增增區(qū)間.[剖析]上述解法忽忽視了復(fù)合合函數(shù)單調(diào)調(diào)性的復(fù)合合規(guī)律.因為構(gòu)成原原函數(shù)的內(nèi)內(nèi)層函數(shù)在在(x∈R)上為減函數(shù)數(shù),因此所求函函數(shù)的單調(diào)調(diào)遞增區(qū)間間為外層函函數(shù)y=cosu的減區(qū)間.錯源三確定定函數(shù)的周周期時不注注意體現(xiàn)最最小而致錯錯【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期.[錯解]設(shè)f(x)=|sinx|+|cosx|,因為f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周周期為π.[剖析]三角函數(shù)數(shù)周期是是指最小小正周期期,而上述解解法沒有有體現(xiàn)出出所求周周期為最最小正周周期.[正解]因為y=|sinx|+|cosx|>0,所以函數(shù)數(shù)y的周期與與函數(shù)y2=1+|sin2x|的周期相相同,而y2=1+|sin2x|的周期為為所所以函函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的周期為為[評析]求三角函函數(shù)的最最小正周周期主要要有三種種方法:一是根據(jù)據(jù)定義,但要注意意體現(xiàn)最最小;二是利用用三角函函數(shù)的圖圖象;三是公式式法,即函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B(ωω≠0)的最小正正周期分分別為錯源四利利用正切切函數(shù)圖圖象求解解方程根根作圖有有誤而致致錯[剖析]產(chǎn)生錯解解的原因因是對y=sinx與y=tanx的圖象的的性質(zhì)認(rèn)認(rèn)識不清清.[答案]A技法求求函數(shù)周周期的若若干策略略一?數(shù)形結(jié)合合當(dāng)一個函函數(shù)的周周期不容容易求得得時,畫出它的的圖象是是行之有有效的好好方法.【典例1】已知函數(shù)數(shù)指指出函函數(shù)的最最小正周周期.顯然函數(shù)數(shù)的最小小正周期期為T=2ππ.二?轉(zhuǎn)化與化化歸形如“y=tanx+cotx”、“y=tanx-cotx”類型的正正切函數(shù)數(shù)可以通通過化簡簡轉(zhuǎn)換成成單一函函數(shù)名稱稱的三角角函數(shù),然后再求求周期.【典例2】求函數(shù)y=tanx+c