2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章第9節(jié) 第2課時 定點、定值、范圍、最值問題學(xué)案 理 新人教B版

第2課時定點、定值、范圍、最值問題考點一定點問題【例1】(2018·臨汾一中月考)已知橢圓C：＋y2＝1(a>0)，過橢圓C的右頂點和上頂點的直線與圓x2＋y2＝相切.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)M是橢圓C的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點，設(shè)這兩條直線的斜率分別為k1，k2，且k1＋k2＝2，證明：直線AB過定點.(1)解∵直線過點(a，0)和(0，1)，∴直線的方程為x＋ay－a＝0，∵直線與圓x2＋y2＝相切，∴，解得a2＝2，∴橢圓C的方程為＋y2＝1.＝(2)證明當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，解得x0＝－1.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB的方程為y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2?＋＝2?＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)?(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km?k＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m?m(x＋1)＝y(tǒng)－x，故直線AB過定點(－1，－1).綜上，直線AB過定點(－1，－1).規(guī)律方法圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.(2)特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).【訓(xùn)練1】(2018·西安模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，若橢圓上的點T(2，)到點F1，F(xiàn)2的距離之和等于4.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線y＝kx(k≠0)與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，A為橢圓C的左頂點，直線AE，AF分別與y軸交于點M，N.問：以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過，請說明理由.解(1)由橢圓上的點T(2，)到點F1，F(xiàn)2的距離之和是4，可得2a＝4，a＝2.又T(2，)在橢圓上，因此＋＝1，所以b＝2.所以橢圓C的方程為＋＝1.(2)因為橢圓C的左頂點為A，所以點A的坐標(biāo)為(－2，0).因為直線y＝kx(k≠0)與橢圓＋＝1交于E，F(xiàn)兩點，設(shè)點E(x0，y0)(不妨設(shè)x0>0)，則點F(－x0，－y0).由消去y，得x2＝，則y0＝，所以x0＝，所以直線AE的方程為y＝(x＋2).因為直線AE，AF分別與y軸交于點M，N，令x＝0，得y＝同理可得點N，即點M..所以|MN|＝＝.設(shè)MN的中點為P，則點P的坐標(biāo)為則以MN為直徑的圓的方程為x2＋即x2＋y2＋y＝4，.＝，令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.故以MN為直徑的圓經(jīng)過兩定點P1(2，0)，P2(－2，0).考點二定值問題【例2】(2018·長春模擬)已知拋物線E：x2＝2py(p>0)的焦點為F，以拋物線E上點P(2，y0)為圓心的圓與直線y＝相交于M，N兩點且||＝||＝||.(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線l與拋物線E相交于A，B兩點，線段AB的中點為D.與直線l平行的直線與拋物線E切于點C.若點A，B到直線CD的距離之和為4，求證：△ABC的面積為定值.(1)解由拋物線的定義得|PF|＝y(tǒng)0＋，點P到直線y＝的距離為y0－，∵圓P與直線y＝相交于M，N兩點，且||＝||，∴＝，即cos∠PMN＝，∴∠PMN＝30°，∴點P到直線y＝的距離為||，即||＝2∵||＝∴y0－＝，||，，得y0＝p，將點(2，p)代入拋物線方程，得p＝2，∴拋物線E的方程為x2＝4y.(2)證明設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋b，代入拋物線方程，得x2－4kx－4b＝0，則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，則點D(2k，2k2＋b).設(shè)與直線l平行且與拋物線E相切的直線方程為y＝kx＋m，代入拋物線方程，得x2－4kx－4m＝0，由Δ＝16k2＋16m＝0，得m＝－k2，點C的橫坐標(biāo)為2k，則C(2k，k2)，∴直線CD與x軸垂直，則點A，B到直線CD的距離之和為|x1－x2|，即|x1－x2|＝4，∴＝4，則16k2＋16b＝32，即b＝2－k2，∴|CD|＝|2k2＋b－k2|＝2，∴S△ABC＝|CD|·|x1－x2|＝×2×4＝4，即△ABC的面積為定值.規(guī)律方法圓錐曲線中定值問題的特點及兩大解法(1)特點：待證幾何量不受動點或動線的影響而有固定的值.(2)兩大解法：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②引起變量法：其解題流程為→↓→↓→【訓(xùn)練2】(2016·北京卷)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|·|BM|為定值.(1)解由已知＝，ab＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.所以橢圓方程為＋y2＝1.(2)證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).設(shè)橢圓上一點P(x0，y0)，則＋y＝1.當(dāng)x0≠0時，直線PA方程為y＝(x－2)，令x＝0得yM＝.從而|BM|＝|1－yM|＝直線PB方程為y＝.x＋1.令y＝0得xN＝∴|AN|＝|2－xN|＝∴|AN|·|BM|＝..·＝＝＝·＝4.當(dāng)x0＝0時，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|為定值.考點三范圍與最值問題【例3】(2018·武漢模擬)已知點F為橢圓E：＋＝1