第一章-仿射幾何1

高等幾何電子教案§1.1平行射影與仿射對(duì)應(yīng)一.兩直線(xiàn)間的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)ABCD1.平行射影或透視仿射：若直線(xiàn)且,，≠≠

,點(diǎn)A,B,C,D……,過(guò)點(diǎn)A,B,C,D……作直線(xiàn)的平行線(xiàn)交于……，則可得直線(xiàn)到直線(xiàn)的一個(gè)映射。稱(chēng)為平行射影或透視仿射，記為T(mén)ABCD原象點(diǎn)：A,B,C,D……

直線(xiàn)a上的點(diǎn)平行射影的方向：直線(xiàn)透視仿射與方向有關(guān)，方向變了，則得到另外的透視仿射O點(diǎn)O為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(同一平面上兩相交直線(xiàn)的公共點(diǎn))映象點(diǎn)：……直線(xiàn)上的點(diǎn)記透視仿射T：………2.仿射（或仿射變換）：仿射是透視仿射鏈或平行射影鏈表示透視仿射鏈，T表示仿射（如圖）………………仿此，每一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都可以這樣表示。注：1.仿射是有限回的平行射影組成的2.判斷仿射是否是透視仿射的方法：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的聯(lián)線(xiàn)是否平行3.書(shū)寫(xiě)的順序與平行射影的順序是相反的二.兩平面的平行射影與仿射對(duì)應(yīng)：1.平行射影：如圖點(diǎn)A,B,C共線(xiàn)a，則共線(xiàn)gABCal兩相交平面的交線(xiàn)為自對(duì)應(yīng)點(diǎn)的集合即對(duì)應(yīng)軸平面到平面的仿射是有限回平行射影的積組成的，是透視仿射鏈性質(zhì)：1.透視仿射保留同素性.（幾何元素保留同一種類(lèi)而不改變）即點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，直線(xiàn)對(duì)應(yīng)為直線(xiàn).2.保留點(diǎn)與直線(xiàn)的結(jié)合性2仿射：§1.2仿射不變性與不變量定義1

仿射不變性與不變量：經(jīng)過(guò)一切透視仿射不變的性質(zhì)和數(shù)量仿射圖形：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的圖形.仿射性：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的性質(zhì).仿射量：經(jīng)過(guò)任何仿射對(duì)應(yīng)不改變的數(shù)量.定理1：兩直線(xiàn)間的平行性是仿射不變性.（反證法）推論平行四邊形是仿射不變的圖形.定義2簡(jiǎn)比：設(shè)A,B,C為共線(xiàn)三點(diǎn)，這三點(diǎn)的簡(jiǎn)比（ABC）定義為以下有向線(xiàn)段的比：當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上時(shí)，(ABC)<0當(dāng)點(diǎn)C在線(xiàn)段AB或BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)時(shí)，(ABC)=-1則點(diǎn)C稱(chēng)為分點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)稱(chēng)為基點(diǎn)簡(jiǎn)比(ABC)等于點(diǎn)C分割線(xiàn)段AB的分割比的相反數(shù)例1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,2)和B(6,1)兩點(diǎn)直線(xiàn)被直線(xiàn)x+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡(jiǎn)比（ABP）解:設(shè)(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在定理2共線(xiàn)三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射不變量.定理3兩平行線(xiàn)段之比是仿射不變量.∴點(diǎn)P在直線(xiàn)x+3y-6=0上.ABC==要證:ABCDE證明:如圖,作DEAC,==∵簡(jiǎn)比是仿射不變量∴定理4一直線(xiàn)上兩線(xiàn)段之比是仿射不變量.定理5在透視仿射下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)應(yīng)軸的距離之比是一個(gè)常數(shù)gABC證明:設(shè)T為到的一個(gè)透視仿射,如圖并且則=若ABg,==g,則顯然成立.若ABg,=g,=過(guò)A,,B,分別引軸g的垂線(xiàn)垂足分別為由相似三角形得:定理2任意兩個(gè)三角形面積之比是仿射不變量.證明:分兩種情形特殊情形:有兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)軸g上并且重合.如圖ABCg一般情形:如圖對(duì)應(yīng)三角形的三對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)都不在對(duì)應(yīng)軸上,△ABC與對(duì)應(yīng),三對(duì)對(duì)應(yīng)邊相交于對(duì)應(yīng)軸g上.ABCgXYZ由的證明可得:推論1在仿射變換下，任何一對(duì)對(duì)應(yīng)多邊形面積之比是仿射不變量推論2在仿射變換下，任何兩條封閉凸曲線(xiàn)所圍成的面積之比是仿射不變量§1.3平面內(nèi)的仿射變換及其決定一.平面內(nèi)的透視仿射設(shè)為平面到平面的透視仿射，射影方向?yàn)?設(shè)為平面到平面的透視仿射，射影方向?yàn)?則gAB設(shè)T將上的點(diǎn)A變換為其本身上的點(diǎn)T將上的點(diǎn)B變換為其本身上的點(diǎn)aT將上的點(diǎn)變換為上的點(diǎn),將上的直線(xiàn)a變換為上的直線(xiàn),即T保留同素性和接合性.T將上的相交直線(xiàn)a,b變換為上的相交直線(xiàn).T將上的平行直線(xiàn)

變換為上的平行直線(xiàn).

和的交線(xiàn)g上的每一點(diǎn)經(jīng)過(guò)T不變，且T具有仿射不變性與不變量，稱(chēng)T為平面到自身的透視仿射定理1平面內(nèi)的透視仿射由一對(duì)對(duì)應(yīng)軸與一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全決定證明:設(shè)已知對(duì)應(yīng)軸g與不在其上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為平面上任一已知點(diǎn)定理2給定平面內(nèi)的兩個(gè)三角形，至多利用三回透視仿射可使一個(gè)三角形變?yōu)榱硪粋€(gè)三角形BAXg連直線(xiàn)AB,設(shè)與對(duì)應(yīng)軸g相交于X,連X與,則AX與是一對(duì)對(duì)應(yīng)直線(xiàn)過(guò)B引的平行直線(xiàn),與B對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就只能是這直線(xiàn)與的交點(diǎn).∴是唯一確定的.BAgAB=ggoABC證明:把△ABC平移到使頂點(diǎn)A落在上,把平移看作透視仿射的特例.記為ABC∵對(duì)應(yīng)軸不存在,對(duì)應(yīng)邊互相平行再以直線(xiàn)為透視軸,以作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射.最后以為對(duì)應(yīng)軸,以作為一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定一個(gè)透視仿射T為仿射變換定理3原象點(diǎn)不共線(xiàn)，映象點(diǎn)也不共線(xiàn)的三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)決定唯一的仿射變換.若兩三角形有一對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用兩回透視仿射就夠了.若兩三角形有兩對(duì)頂點(diǎn)重合,則利用一回透視仿射就夠了.仿射等價(jià)圖形:經(jīng)過(guò)仿射變換可以互相轉(zhuǎn)換的圖形.任意三角形是仿射等價(jià)的.證明:存在性:設(shè)是平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意三點(diǎn).也是不共線(xiàn)的任意三點(diǎn).存在一個(gè)仿射變換T使在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè)交于Q.由定理2知.QP唯一性:設(shè)存在另一個(gè)仿射,在平面內(nèi)任意取一點(diǎn)P,設(shè)于Q為仿射.∴保持接合性且簡(jiǎn)比不變都在直線(xiàn)上.且有:∴對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P,都有作業(yè):§1.4仿射變換的代數(shù)表示設(shè)有一正交笛卡兒坐標(biāo)系xoy，以E為單位點(diǎn)（如圖）。一個(gè)仿射變換T將平面上一點(diǎn)P變換為一點(diǎn)，求P的坐標(biāo)（x,y）和的坐標(biāo)之間的關(guān)系。仿射變換T由三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)唯一確定.設(shè)的坐標(biāo)為X軸上的單位點(diǎn)的映象的坐標(biāo)為y軸上的單位點(diǎn)的映象的坐標(biāo)為設(shè)P在坐標(biāo)軸上的正射影，且，則T將平行四邊形及分別變換為平行四邊形及.由于T保留簡(jiǎn)比.則xyOP(x,y)或者寫(xiě)為且因?yàn)槿c(diǎn)不共線(xiàn)，三點(diǎn)不共線(xiàn)所以行列式不為O(1)(2)定義1把笛氏坐標(biāo)系在仿射對(duì)應(yīng)下的象叫仿射坐標(biāo)系，叫點(diǎn)的仿射坐標(biāo)，記為對(duì)于斜交笛氏坐標(biāo)系，仿射坐標(biāo)系，上面的代數(shù)式（1），（2）都成立。例1求使點(diǎn)（0，0），（1，1），（1，-1）分別變?yōu)辄c(diǎn)（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射變換。將點(diǎn)解:分別代入仿射變換的代數(shù)表示式得:∴仿射變換式為:例2求仿射變換的不變直線(xiàn)。解:設(shè)