第0章 概率論基本知識點(diǎn)

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論基本知識點(diǎn)主講：劉朝林《概率論》主要內(nèi)容一、概率的基本概念二、概率的公理化定義及幾種特殊定義

三、一維隨機(jī)變量四、二維隨機(jī)變量五、隨機(jī)變量的數(shù)字特征六、大數(shù)定律和中心極限定理一、概率的基本概念1、概率統(tǒng)計(jì)研究的對象：客觀現(xiàn)象確定性現(xiàn)象不確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象模糊現(xiàn)象

高等數(shù)學(xué)線性代數(shù)等概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)等模糊數(shù)學(xué)2）隨機(jī)試驗(yàn)：試驗(yàn)：進(jìn)行一次觀測或測驗(yàn)，稱為一次試驗(yàn)；隨機(jī)試驗(yàn)（簡稱試驗(yàn)，用E表示）：滿足三個條件：1.可重復(fù)性；2.試驗(yàn)結(jié)果的多樣性與明確性；3.具體某次試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性（不確定性）。3）隨機(jī)事件：

一次隨機(jī)試驗(yàn)中有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的結(jié)果稱為此隨機(jī)試驗(yàn)E的隨機(jī)事件，簡稱事件。記為：A,B,…4）必然事件：5）不可能事件：6）樣本點(diǎn)（基本事件）：7）樣本空間：8）隨機(jī)事件和樣本點(diǎn)：9）必然事件和樣本空間：2、事件的關(guān)系：

1）子事件：

Ω

BA2）事件相等：3）和（并）事件：

Ω

BA4）積（交）事件：

Ω

BA5）差事件：

Ω

BA6）互斥事件：7）逆（對立）事件：8）完備事件組：稱為完備事件組，若

滿足:

ΩABAB1、古典概型概率的定義：1）古典概型隨機(jī)試驗(yàn)：特點(diǎn)：1）樣本空間（樣本點(diǎn)總數(shù)）的有限性；

2）每個樣本點(diǎn)出現(xiàn)的等可能性。2）古典概率的定義：設(shè)試驗(yàn)E為古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間Ω由n個樣本點(diǎn)組成。若事件A由r個樣本點(diǎn)組成，則定義A的概率為,記為P(A)．即二、概率的公理化定義及其它定義3）有限可加性:設(shè)兩兩互斥

則：。性質(zhì)：1）非負(fù)性:2）規(guī)范性:例2．設(shè)有40件產(chǎn)品，其中有10件為次品其余為正品，現(xiàn)從中任取5件，求取出的5件產(chǎn)品中至少有4件次品的概率？解：設(shè)：:“取出5件產(chǎn)品恰好有件i次品”，

i＝0,1,2,3,4,5；：“取出的5件產(chǎn)品中至少有4件次品”，則：

樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù):

的樣本點(diǎn)總數(shù):A5的樣本點(diǎn)總數(shù):所以：2、幾何概型概率的定義：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為某可量的區(qū)域Ω,且Ω中任一區(qū)域A出現(xiàn)的可能性大小與該區(qū)域的幾何度量成正比,而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān),則稱E為幾何概型的試驗(yàn),并定義事件A的概率為：

當(dāng)樣本空間為一維、二維、三維時，Ω的幾何度量分別是長度、面積、體積。3）有限可加性:設(shè)兩兩互斥

則：。性質(zhì)：1）非負(fù)性:2）規(guī)范性:解：以分別表示兩人在[0,60]內(nèi)到達(dá)的時刻。設(shè)：A:“兩人可能會面”等價于“兩人到達(dá)時間差不超過時間10，即”，

例3．(約會問題)甲、乙兩人相約0點(diǎn)到1點(diǎn)在某地會面，先到者等候另一個人最多10分鐘，過時就離去。假設(shè)兩人等可能地在0點(diǎn)到1點(diǎn)這段時間內(nèi)任一時刻到達(dá)，試求兩人能夠會面的概率。則樣本空間：事件A：因此事件A的概率為：60601010xyy=x+10y=x-1003、概率的統(tǒng)計(jì)定義：設(shè)A為試驗(yàn)E的一個事件，如果隨著試驗(yàn)重復(fù)次數(shù)的增加，A出現(xiàn)的頻率在0與1之間某個數(shù)p附近擺動，則定義A的概率為p，記為P(A)，即:

3）有限可加性:設(shè)兩兩互斥

則：。性質(zhì)：1）非負(fù)性:2）規(guī)范性:4、概率的公理化定義：設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，對于試驗(yàn)E中的每個隨機(jī)事件，有一個實(shí)數(shù)P(A)與之對應(yīng)，若P(A)還滿足：1)非負(fù)性：對事件A,有；2)規(guī)范性：P(Ω)=1；3)可列可加性：設(shè)為兩兩互斥的可列無窮多個事件,則：，稱：為事件的概率。5、概率的運(yùn)算性質(zhì)：1）不可能事件概率為零，即：；2）有限可加性：互斥,3）設(shè)A為任一隨機(jī)事件，則：；4）設(shè)A，B為任意兩個隨機(jī)事件，則：當(dāng)時，；5）單調(diào)性：若，則；6）；隨機(jī)試驗(yàn)摸球1，2，…，10交通紅燈，黃燈，綠燈-1011，2，…，10-1011，2，…，101、分布函數(shù)：定義：設(shè)X為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù)∈R

為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。三、一維隨機(jī)變量：

性質(zhì)：1）單調(diào)不減性：即當(dāng)時，有；

2）；

3）是右連續(xù)函數(shù)，即對于任意的x，有；2、分布列：定義：設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為且則稱此數(shù)列為離散型隨機(jī)變量的分布列。

性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：例4、假定某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中目標(biāo)的概率為0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射擊到子彈用盡，求：1）耗用子彈數(shù)X的分布列；2）隨機(jī)變量X的分布函數(shù)；3）最多用3發(fā)子彈的概率。解：因X的取值為：k＝1,2,3,4,5

根據(jù)題意：在第k次射中時，前k-1次都未射中，令：一次射中概率p=0.9,

則：1）分布列為：X12345P0.90.090.0090.00090.00012）分布函數(shù)：3）：略。3、密度函數(shù)：定義：如果存在一個非負(fù)可積函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為X

的分布密度或密度函數(shù)。性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：例5、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：求：1）系數(shù)常數(shù)A；

2）X的分布函數(shù)F(x)3)解：1）2）X

的分布函數(shù)F(x):3）:4、常見分布：二項(xiàng)分布：

X的分布律：

線性可加性：若，，且相互獨(dú)立，則：

2）Poisson分布X～P(λ)：3）幾何分布X～G(p)：4）均勻分布X～U[a,b]：5）指數(shù)分布X～Γ(λ)：6）正態(tài)分布X～N(μ,σ)：2正態(tài)分布密度函數(shù)曲線6.1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X～N(0,1)：1、二維隨機(jī)變量及其推廣：四、二維隨機(jī)變量1）二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：2）二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列：顯然：稱：為X

的邊緣分布列；為Y

的邊緣分布列；3）二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)：為X的邊緣密度函數(shù)；為Y的邊緣密度函數(shù)；4）二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性：若對于任意的x,y，滿足如下關(guān)系：

則可稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。判斷獨(dú)立性：例6、若(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為：1）求;解：1）2)X

與Y

是否相互獨(dú)立?解：先分別求X與Y的邊緣密度函數(shù)：因：，所以X

與Y

不相互獨(dú)立。五、隨機(jī)變量的數(shù)字特征：1、一維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：如果級數(shù)收斂，則稱級數(shù)：

為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。函數(shù)變換的數(shù)學(xué)期望：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,若收斂，則稱：為連續(xù)型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)變量的方差：2、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：3、數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)：1）c為常數(shù)，則，；2），3），4）若X與Y獨(dú)立，則：5）常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差；例7、設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：求：數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)。解：例8、假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時全天停止工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利潤10萬元；發(fā)生故障一次仍可獲利潤5萬元；發(fā)生2次故障所獲利潤為0元；發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？解：設(shè)X為機(jī)器一周內(nèi)發(fā)發(fā)生故障的次數(shù)，則：X的取值為：0,1,2,3,4,5；顯然：X～B(n,p)=B(5,0.2)故X

的分布列為：則可求出S(X

)的分布列為：p0.32770.40960.20480.05120.00640.0003X012345

又設(shè)關(guān)于X的利潤函數(shù)為S(X

)：E(S(X))=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048+(-2)×0.0512+(-2)×0.0064+(-2)×0.0003=5.209(萬元)

即為一周內(nèi)期望利潤。p0.32770.40960.20480.05120.00640.0003X012345

S(X)1050-2-2-24）協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩：（1）X

和Y

協(xié)方差：（2）X

和Y

相關(guān)系數(shù)：（3）性質(zhì)：P16～P17。（4）矩:

稱為X

的k

階原點(diǎn)矩；稱為X

的k

階中心矩；六、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)存在，則對任意的實(shí)數(shù)ε大于0，有：,i＝1,2,…,n，