《余弦定理》學(xué)案2

《余弦定理》學(xué)案（2）知識梳理1．余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到邊的轉(zhuǎn)換）2.解決以下兩類問題：1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）3.三角形ABC中典例剖析題型一：利用余弦定理解三角形例1在中，已知，，，，求c.解∵且，∴為鈍角，，由余弦定理知，∴即，解得或（舍去）∴.評述已知三角形的三邊或兩邊和一角可應(yīng)用余弦定理求解。熟練掌握余弦定理是解題的關(guān)鍵，同時還要注意方程思想的運用。題型二：判斷三角形的形狀例2在中，若，試判斷的形狀.解：方法一：由正弦定理和已知條件得：，∵，∴，即，∵B、C為的內(nèi)角，∴，故為直角三角形.方法二：原等式變形為：，即：，由余弦定理得：故為直角三角形.評述：判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后利用平面幾何知識即可判定三角形的形狀。備選題：余弦定理的應(yīng)用例3：已知A、B、C是△ABC的三個內(nèi)角，且滿足（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinAsinB求證：A＋B＝120°證明：由（sinA＋sinB）2－sin2C＝3sinA·sinB可得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA·sinB又∵sinA＝eq\f(a,k)，sinB＝eq\f(b,k)，sinC＝eq\f(c,k)，∴eq\f(a2,k2)＋eq\f(b2,k2)－eq\f(c2,k2)＝eq\f(a,k)·eq\f(b,k)整理得a2＋b2－c2＝ab∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)又0°＜C＜180°，∴C＝60°∴A＋B＝180°－C＝120°評述：（1）有關(guān)三角形內(nèi)角的證明，選擇余弦值與正弦值相比較，要省去取舍的麻煩.但注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，應(yīng)先確定角的范圍；（2）在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時，運用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，要求熟練掌握.（2）解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式，但應(yīng)注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范圍.另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinB·cosA＝sinAcosB兩端同除以sinAsinB得cotA＝cotB，再由0＜A，B＜π，而得A＝B.點擊雙基1.在在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=,則AC邊上的高為（）A.B.C.D,解：由余弦定理知：cosA===,A=AC邊上的高為ABsinA=答案：B2.在在△ABC中,已知其面積S=（a）,則角C的度數(shù)為（）A.135B.45C.60D.120解：S=（a），absinC=（a）sinC=即sinC=cosC,tanC=1C=45答案：C3．在△ABC中，若，則其面積等于（）A．B．C．D．解：答案：D4..已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、，則的取值范圍是．解：在銳角三角形中，答案：5．在△ABC中，若，則解：答案：120課后作業(yè)1若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段能組成（）三角形。

A.銳角 B.鈍角C.直角D.等腰解：長為7的邊所對角最大，設(shè)它為，則答案：A2.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2則∠C的度數(shù)（）

A、600B、450或1350C、1200D解：由a4+b4+c4=2(a2+b2)c，得a4+b4+c4-2a2c-2b2c=0(a)=a4+b4+c4-2a2c-2b2c+2bc=2bc,a===,C=450或1350答案：B3.設(shè)a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是()

A.B.C.<a<6解：a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則（a+2）>a+(a+1)，a<0-1<a<3,又a>0答案：A4.△ABC中，a,b,c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若<0,則△ABC（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形解：由余弦定理得cosC<0,C是鈍角答案：C5.已知△ABC的三邊滿足（a+b+c）(a+b-c)=3ab,則C的度數(shù)為（）A.15B.30C.45D.60解：由條件將a+b看作一個整體，利用平方差公式得到（a+b）-c=3ab,化簡整理，得a=ab,cosC===,C=60答案：D6.在△ABC中，cos=,則△ABC的形狀是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解：根據(jù)余弦的二倍角公式變形式，原式可化為=，cosA==,a+b=c△ABC為直角三角形答案:B7.在△ABC中，若，，C=，則此三角形有()A.一解B.兩解C.無解D.無法判斷解：由余弦定理得：負值不合題意，舍去。答案：A8.若的周長等于20，面積是，，則邊的長是（）A.5 B.6C.7D解：由三角形面積，得，又∵的周長等于20，∴由余弦定理得：==∴，解得.答案：C二．填空題9.在△ABC中，A=600,最大邊和最小邊的長是方程的兩實根，那么BC邊長等于.解：A=600最大邊和最小邊為b,c,最大邊和最小邊的長是方程的兩根，b+c=9,bc=,a=b+c-2bccosA=(b+c)-2bc-2bccosA=49,a=7答案：710.在△ABC中，a=1,B=450,,則△ABC的外接圓的直徑是.解：S=acsinB=c,c=4,=252R===5答案：511.在△ABC中,,則角A=.解：由得，又=-，A=120答案：120三．解答題12.在四邊形ABCD中，四個角A、B、C、D的度數(shù)的比為3:7:4:10，求AB的長。解：設(shè)四個角A、B、C、D的度數(shù)分別為3x、7x、4x、10x則有解得連BD，在中，由余弦定理得：是以DC為斜邊的直角三角形13.在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷三角形的形狀.解法一：利用余弦定理將角化為邊.∵bcosA＝acosB∴b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2∴a2＝b2∴a＝b故此三角形是等腰三角形.解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.∵bcosA＝acosB又b＝2RsinB，a＝2RsinA∴2RsinBcosA＝2RsinAc