第1章 《全等三角形》 證明與計(jì)算綜合訓(xùn)練習(xí)題 八年級數(shù)學(xué)蘇科版上冊

第1章《全等三角形》證明與計(jì)算綜合訓(xùn)練1．在四邊形ABCD中，AE平分∠BAD，且AE平分BC，∠AED＝α°．（1）如圖1，當(dāng)α＝90時(shí)，求證：AD＝AB+CD；（2）如圖2，當(dāng)α＝120，且DE平分∠ADC時(shí)，探究線段AB、BC、CD、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．（1）求證：BD＝CD．（2）如圖2，若∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，求證：AB+BE＝AC．（3）如圖3，若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長線于點(diǎn)E，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論．3．如圖，BA＝BE，∠A＝∠E，∠ABE＝∠CBD，ED交BC于點(diǎn)F，且∠FBD＝∠D．求證：AC∥BD．證明：∵∠ABE＝∠CBD（已知）∴∠ABE+∠EBC＝∠CBD+∠EBC（）即∠ABC＝∠EBD在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD（）∴∠C＝∠D（）∵∠FBD＝∠D∴∠C＝（等量代換）∴AC∥BD（）4．探究問題1已知：如圖1，三角形ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，AE，BF交于點(diǎn)M，連接DE，DF．若DE＝kDF，則k的值為．拓展問題2已知：如圖2，三角形ABC中，CB＝CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部，且∠MAC＝∠MBC，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：DE＝DF．推廣問題3如圖3，若將上面問題2中的條件“CB＝CA”變?yōu)椤癈B≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．5．如圖，已知B（0，1），C（﹣2，0），過點(diǎn)B作AB⊥BC，使得AB＝BC，AB交x軸于點(diǎn)F．（1）求點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離；（2）點(diǎn)P從A出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿射線AB運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒，請用含有t的式子表示△ACP的面積S；（3）在（2）的條件下，當(dāng)BC平分∠PCF時(shí)，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．6．如圖，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是邊AB上的一點(diǎn)，AE＝AC，F(xiàn)是邊AC上的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE、FE，當(dāng)EC平分∠DEF時(shí)，猜測EF、BC的位置關(guān)系，并說明理由．解：EF、BC的位置關(guān)系是．說理如下：因?yàn)锳D是∠BAC的角平分線（已知）所以∠1＝∠2．在△AED和△ACD中，所以△AED≌△ACD（S．A．S）．得（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．（完成以下說理過程）7．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作CF⊥BD交BD的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AE⊥AF于點(diǎn)A．（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）過點(diǎn)A作AH⊥BF于點(diǎn)H，求證：CF＝EH．8．如圖①A、E、F、C在一條直線上，AE＝CF，過E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD．（1）圖①中有對全等三角形，并把它們寫出來；（2）求證：BD與EF互相平分于G；（3）若將△ABF的邊AF沿GA方向移動變?yōu)閳D②時(shí)，其余條件不變，第（2）題中的結(jié)論是否成立，如果成立，請予證明．9．已知∠AOB＝90°，OC是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題．（1）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動，兩直角邊分別與OA，OB交于M，N，如圖①，求證：PM＝PN；（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線OC上移動，一條直角邊與OB交于N，另一條直角邊與射線OA的反向延長線交于點(diǎn)M，并猜想此時(shí)①中的結(jié)論P(yáng)M＝PN是否成立，并說明理由．10．已知，如圖1，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，點(diǎn)C在直線BD上且與F重合，AB＝FD，BC＝DE（1）請說明△ABC≌△FDE，并判斷AC是否垂直FE？（2）若將△ABC沿BD方向平移至如圖2的位置時(shí)，且其余條件不變，則AC是否垂直FE？請說明為什么？11．如圖，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)O是線段AD上一點(diǎn)，OP＝OC．（1）求∠APO+∠DCO的度數(shù)；（2）求證：AC＝AO+AP．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，點(diǎn)D從B出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段BC上從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)E同時(shí)從C出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度在線段CA上向點(diǎn)A運(yùn)動，連接AD、DE，設(shè)D、E兩點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0＜t＜4）（1）運(yùn)動秒時(shí)，AE＝DC；（2）運(yùn)動多少秒時(shí)，△ABD≌△DCE能成立，并說明理由；（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝α，則∠ADE＝（用含α的式子表示）．13．如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠ABC＝∠ACB，BC＝16厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動．同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)以a厘米/秒的速度向A點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒．（1）直接寫出：①BD＝厘米；②BP＝厘米；③CP＝厘米；④CQ＝厘米；（可用含t、a的代數(shù)式表示）（2）若以D，B，P為頂點(diǎn)的三角形和以P，C，Q為頂點(diǎn)的三角形全等，試求a、t的值；（3）若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t秒；直接寫出t＝秒時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇．14．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2cm的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向點(diǎn)D運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，求△EBP的面積；（2）若點(diǎn)Q以與點(diǎn)P不同的速度運(yùn)動，經(jīng)過幾秒△BPE與△CQP全等，此時(shí)點(diǎn)Q的速度是多少？（3）若點(diǎn)Q以（2）中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿長方形ABCD的四邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在長方形ABCD的哪條邊上相遇？15．在△ABC中AB＝AC，BD、CE分別平分∠ABC、∠ACB，交AC、AB于點(diǎn)D、E．（1）如圖①，求證：BD＝CE；（2）如圖②，BD、CE交于點(diǎn)F，作AG∥CE交BD延長線于點(diǎn)G，若AE＝CE，請直接寫出圖中與BE相等的線段．16．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．（1）求證：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度數(shù)．17．如圖，在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD＝AC，在CF的延長線上截取CG＝AB，連接AD．AG．（1）求證：AD＝AG；（2）AD與AG的位置關(guān)系如何．18．如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D是線段CA延長線上一點(diǎn)，且AD＝AB，點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE，連接EA，EA滿足條件EA⊥AB．（1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，BC＝2，求AB的長度；（2）求證：AE＝AF+BC；（3）如圖2，點(diǎn)F是線段BA延長線上一點(diǎn)，探究AE、AF、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．19．（1）已知，如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D、E，求證：DE＝BD+CE．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BD