《總體集中趨勢的估計》設計

《總體集中趨勢的估計》教學設計【教學目標】1.結合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)．(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．2.理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義．【教學重點】利用頻率分布直方圖來估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)【教學難點】理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義【課時安排】1課時【教學過程】認知初探1．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的定義(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．(2)中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處于中間位置的數(shù)．如果個數(shù)是偶數(shù)，則取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(3)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)的和除以數(shù)據(jù)個數(shù)所得到的數(shù)．2．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的比較名稱優(yōu)點缺點平均數(shù)與中位數(shù)相比，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)中更多的信息，對樣本中的極端值更加敏感任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變．數(shù)據(jù)越“離群”，對平均數(shù)的影響越大中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端數(shù)據(jù)(即排序靠前或靠后的數(shù)據(jù))的影響對極端值不敏感眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點眾數(shù)只能傳遞數(shù)據(jù)中的信息的很少一部分，對極端值不敏感3.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關系(1)平均數(shù)：在頻率分布直方圖中，樣本平均數(shù)可以用每個小矩形底邊中點的橫坐標與小矩形的面積的乘積之和近似代替．(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等．(3)眾數(shù)：眾數(shù)是最高小矩形底邊的中點所對應的數(shù)據(jù)．思考1哪些量能刻畫總體取值的特征？提示:平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等,都是刻畫“中心位置”的量,它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.思考2：在頻率分布直方圖中得到的特征量平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的特征量嗎？提示:在頻率分布直方圖中得到的特征量是樣本數(shù)據(jù)特征量的估計值,近似值,不是精確值.在頻率分布直方圖中估計樣本的特征量,進而用樣本估計總體,估計總體的特征量.1．一組樣本數(shù)據(jù)為：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為()A．14,14B．12,14C．14,D．12,A[把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，則可知其眾數(shù)為14，中位數(shù)為14.]2．某校從高一年級參加期末考試的學生中抽出60名，其成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示，由此估計此次考試成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是(),75B．,80C70,70D．70，75A[由題圖可知小于70分的有24人，大于80分的有18人，則在[70,80)之間的有18人，所以中位數(shù)落在[70,80)這組內(nèi)，且為70＋eq\f(10,3)≈；眾數(shù)就是頻率分布直方圖中最高的矩形底邊中點的橫坐標，即eq\f(70＋80,2)＝75.]3．如果5個數(shù)x1，x2，x3，x4，x5的平均數(shù)為7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1這5個數(shù)的平均數(shù)是________．8解析：∵eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝7，∴eq\f(x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＋x4＋1＋x5＋1,5)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＋1＝7＋1＝8.即x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1這5個數(shù)的平均數(shù)為8.4．對于數(shù)據(jù)3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列結論：①這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3；②這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)的數(shù)值不相等；③這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)的數(shù)值相等；④這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的數(shù)值相等．其中正確的結論是①解析：選A.在這11個數(shù)中，數(shù)3出現(xiàn)了6次，頻率最高，故眾數(shù)是3；將這11個數(shù)按從小到大順序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中間數(shù)據(jù)是3，故中位數(shù)是3；而平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故只有①正確．例題講解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算【例1】已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由題意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝，中位數(shù)為16，眾數(shù)為18，則b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.]方法總結(1)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)時，把數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，按照其求法進行．(2)求樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的難點在于計算的準確性．當堂練習1已知一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為-8,-1,4,x,10,13且這組數(shù)的中位數(shù)是7,那么這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是 () D.【解析】選D.因為共有六個數(shù),因此,當按從小到大的順序排列后,中位數(shù)等于最中間兩數(shù)的平均數(shù),因此,x=10.所以眾數(shù)為10.平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的實際應用[例2]某公司銷售部有銷售人員15人，為了制定某種商品的月銷售定額，統(tǒng)計了這15人某月的銷售量如下：每人銷售件數(shù)1800510250210150120人數(shù)113532(1)求這15位銷售人員該月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)及眾數(shù)；(2)假設銷售部負責人把每位銷售人員的月銷售定額定為320件，你認為是否合理，為什么？如不合理，請你制定一個較合理的銷售定額．[解析](1)平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位數(shù)為210件，眾數(shù)為210件．(2)不合理，因為15人中有13人的銷售額達不到320件，也就是說320雖是這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，但它卻不能反映銷售人員的一般水平．銷售額定為210件要合理些．由于210既是中位數(shù)，又是眾數(shù)，是絕大部分人都能達到的銷售額．方法總結利用樣本數(shù)字特征進行決策時的兩個關注點(1)平均數(shù)與每一個數(shù)據(jù)都有關，可以反映更多的總體信息，但受極端值的影響大；中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受幾個極端值的影響；眾數(shù)只能體現(xiàn)數(shù)據(jù)的最大集中點，無法客觀反映總體特征．(2)當平均數(shù)大于中位數(shù)時，說明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值．當堂練習2高一(2)班有男同學27名，女同學21名，在一次語文測驗中，男同學的平均分是82分，中位數(shù)是75分，女同學的平均分是80分，中位數(shù)是80分．(1)求這次測驗全班的平均分(精確到分)；(2)估計全班成績在80分以下(含80分)的同學至少有多少人；(3)分析男同學的平均分與中位數(shù)相差較大的主要原因．[解析](1)利用平均數(shù)計算公式得eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈(分)．(2)∵男同學成績的中位數(shù)是75分，∴至少有14人得分不超過75分．又∵女同學成績的中位數(shù)是80分，∴至少有11人得分不超過80分．∴估計全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同學的平均分與中位數(shù)的差別較大，說明男同學的成績中兩極分化現(xiàn)象嚴重，分數(shù)高的和低的相差較大．根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)例3從高三抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失，試利用頻率分布直方圖求：(1)這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)；(2)這50名學生的平均成績．【解】(1)由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形的底邊中點的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應為75.由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將所有小矩形的面積一分為二的垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標所對應的成績即為所求．因為×10＋×10＋×10＝＋＋＝，所以前三個小矩形面積的和為.而第四個小矩形面積為×10＝，＋＞，所以中位數(shù)應位于第四個小矩形內(nèi)．設其底邊為x，高為，所以令＝，得x≈，故中位數(shù)應約為70＋＝.(2)樣本平均值應是頻率分布直方圖的“重心”，即所有數(shù)據(jù)的平均值，即每個小矩形底邊的中點的橫坐標乘以每個小矩形的面積求和即可．所以平均成績?yōu)?5××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)＝.方法總結頻率分布直方圖的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來顯示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高矩形的底邊中點的橫坐標；(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等；(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應頻率之積的和．當堂練習3為了調(diào)查某廠工人生產(chǎn)某種產(chǎn)品的能力，隨機抽查了20位工人某天生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量得到頻率分布直方圖如圖，則：(1)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量在[55，75)的人數(shù)是______；(2)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的中位數(shù)為______；(3)這20名工人中一天生產(chǎn)該產(chǎn)品數(shù)量的平均數(shù)為______；(1)13(2)(3)64解析：(1)