環(huán)形路上的行程問題

環(huán)形路上的行程問題壇大腦體操）圖形推理站作業(yè)完成情況）jfe教學目標）.理解路程、速度、時間之間的關系；.能夠熟練地解決環(huán)形路上的行程問題。

備翕知識梳理）在環(huán)形道路上的行程問題本質上就是追及問題或相遇問題。當兩人（或物）同向運動時就是追及問題，追及距離是兩人初始距離及環(huán)形道路之長的倍數(shù)之和；當兩人（或物）反向運動時就是相遇問題，相遇問題是兩人從出發(fā)到相遇所行路程和^■很特也講解）【例1】如下圖，兩名運動員在沿湖的環(huán)形跑道上練習長跑 .甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米.兩人同時同地同向出發(fā)， 45分鐘后甲追上了乙.如果兩人同時同地反向跑，經過多少分鐘后兩人相遇？分析與解根據圖①用追及問題公式求出環(huán)形跑道的長，因從同一點出發(fā),距離差=跑道長.距離差=跑道長.(250-200)452250(米).=跑道長.=跑道長.（圖②）2250（250200）5（分鐘）.即經過5分鐘兩人相遇【例2】如圖，是個圓形中央花園,【例2】如圖，是個圓形中央花園,A、B是直徑的兩個端點.小軍在A點，小勇在B點，同時出發(fā)相向而行.他倆第一次在C點相遇，發(fā)相向而行.他倆第一次在C點相遇，C點離A點有50米；第2次在D點相遇,D點離B點有30米.問這個花園一周長多少米?分析與解 第1次相遇，兩人合起來走了半周長，從分析與解 第1次相遇，兩人合起來走了半周長，從C點開始第2次在D點相遇兩人走了一周長,兩次共走了一周長半.小軍從A-C-D走了50米的3倍，即走了503150（米）.去掉BD之間30米的距離，就是半個圓周的長，所以一周的長度為(150-30)米的距離，就是半個圓周的長，所以一周的長度為(150-30)2240米.【例3】如圖，一個邊長為100米的正方形跑道.甲從A點出發(fā)，乙從C點出發(fā)都逆時針同時起跑,甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米他們拐彎處都要停留5秒，當甲第一次追上乙時，乙跑了多少米？甲甲分析與解如圖，由題意知甲（在后）、乙（在前）相距200米（即追及距離200米）且甲第一次追及乙要多拐兩個彎，即要多休息5210秒.設甲純跑步時間為y秒，則乙純跑步時間為y10秒.則有7y5（y10）200,解得 y125（秒）.甲應跑路程為1257875米.當甲跑了800米又到達A點時，用時為800757149.28秒，他將在A點逗留5秒，到149.285154.28秒又離開A點.而乙跑完600（=800-200）米到達A點時，用時600555145秒.而在第1455150秒時離開A點.因此，從起跑到149.28秒至150秒的間隔內甲、乙都在A點，即甲第1次追上乙，此時乙跑了 600米.【例4】如圖所示是一個玩具火車軌道， A點有個變軌開關，可以連結B或者C。小圈軌道的周長是1.5米，大圈軌道的周長是3米.開始時，A連結C,火車從A點出發(fā)，按照順時針方向在軌道上移動，同時變軌開關每隔 1分鐘變換一次軌道連結.若火車的速度是每分鐘 10米，則火車第10次回到A到A點時用了分鐘.分析與解玩具火車沿大圈移動一周需 6010318秒，沿小圈移動一周需60101.59秒.10圈，共行了第1分鐘后，火車跑了3圈余6秒，1分12秒后火車進入小圈至2分鐘火車又行了（60-12）9510圈，共行了余3秒，再行9-36秒火車又回到A點.此時火車共行了3151

6026126秒2.1分鐘.【例5】甲、乙兩人在一跑道上同時同向出發(fā)，繞圓形跑道跑步 .已知兩人在跑步過程中速度均保持不變，且甲跑得比乙快.當甲第一次追上乙時，乙離開出發(fā)點 250米；當甲第二次追上乙時，乙離開出發(fā)點50出發(fā)點50米.求跑道長分析與解這是個環(huán)形跑道上的追及問題，注意到甲、乙兩人的速度均保持不變，故兩人跑動的距離也是同比例增加.另外，在環(huán)形跑道上，“乙離開出發(fā)點”可以是“乙超過出發(fā)點”，也可以是“乙不到出發(fā)點”，注意分別討論.因為兩人始終保持勻速，所以從出發(fā)開始，甲第二次追上乙所用的總時間是第一次追上乙所用時間的2倍，兩人各自所走的路程也是第一次的 2倍.因此，甲第二次追上乙時，可以認為乙離開出發(fā)點2502500米.接下來要分類討論：如果這500米是不到一圈，那么跑道長50050550米；如果500米是超過一圈，那么跑道長500-50450米；如果這500米是超過兩圈，那么跑道長（500-50）2225（米）.因為甲第一次追上乙時， 乙離開出發(fā)點250米＞225米，所以舍去.所以，品道長45米或550米.【例6】已知等邊三角形ABC的周長為360米，甲從A點出發(fā)，按逆時針方向前進，每分鐘周 55米.乙從BC邊上D點（距C點30米）出發(fā)，按順時針方向前進，每分鐘走50米.兩人同時出發(fā)，幾分鐘相遇？當乙到達A點時，甲在哪條邊上，離C點多遠？分析與解如圖要求甲、乙兩人幾分鐘相遇，就要用 A、D之間的距離除以它們的速度和 .要求乙到達A點時甲在哪條邊上，距C點多遠，就要先求出乙到達A點用的時間，再求出甲走的路程甲乙兩人相遇的時間（36032-30）（5055）2（分鐘）.乙從D到A用的時間 （36032-30）504.2（分鐘）乙到A點時甲走的路程：554.2231（米）.這時甲在BC邊上，離C點距離：36032-2319（米）.斯當堂練習）.甲乙兩運動員在周長為400米的環(huán)形跑道上同向競走， 已知乙的平均速度是每分鐘 80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米處.問幾分鐘后，甲第1次追上乙？.如圖，A、B是圓直徑的兩個端點，亮亮在A點，明明在B點，相向而行.他們在C點第一次相遇，C點離A點有100米；在D點第2次相遇，D點離B點有80米.求圓的周長..如圖，有一條長方形跑道，甲從A點出發(fā)，乙從C點出發(fā)，同時按逆時針方向奔跑.甲速每秒6.25米，乙速每秒5米.跑道長100米，寬為60米.當甲、乙每次跑到拐點A、B、C、D時都要停留5秒.問當甲第1次追上乙時，甲、乙各跑了多少米？

.如圖，三個環(huán)形跑道相切排列，每個環(huán)形跑道周長均為210厘米.甲、乙兩只爬蟲分貝從A、B兩地按箭頭所示方向出發(fā)，甲爬蟲繞1、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運動，乙爬蟲繞3、2號環(huán)形跑道作“8”字形循環(huán)運動，已知甲、乙兩只爬蟲的速度分別是每分鐘 20、15厘米.問甲、乙兩爬蟲第二次相遇時，甲爬蟲爬了多少厘米？.兩人第一次和第二次相遇間隔 40.兩人第一次和第二次相遇間隔 40秒,15秒與甲相遇一次.問乙跑完一圈用多少.甲、乙兩人在400米環(huán)形跑道上跑步，兩人朝相反的方向跑已知甲每秒跑6米，乙每秒跑多少米?.甲用40秒可繞一環(huán)形跑道跑一圈，乙同時反向跑，每隔秒？如眇當堂檢測）.甲、乙從360米的環(huán)形跑道上的同一地點同向跑步 .甲每分鐘跑350米，乙每分鐘跑275米.兩人起跑后，第一次相遇在離起點多少米處？.有一條長500米的環(huán)形跑道.甲、乙兩人同時從跑道上某一點出發(fā)，反向跑， 1分鐘后相遇；如果兩人同向而跑，則10分鐘后相遇.已知甲跑得比乙快.問甲、乙兩人每分鐘各跑多少米？.甲、乙兩人同時從A點反向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米,這兩人至少用多少分鐘再在A點相遇？.小明在360的環(huán)形跑道上跑了一圈.已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？4千米4千米/時的速.繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)，反向而行，小王以度每走小時后休息5分鐘；小張以6千米/時的速度每走50分鐘后休息10分鐘.問兩人出發(fā)多少時間后第一次相遇？山當堂總結）jfe家庭作業(yè)）1.如圖在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點相距100米.甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，按逆時針方向跑步.甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人跑100米，都要停10秒鐘.那么，甲追上乙需要多長時間?2.如圖，在一圓形跑道上.小明從A點，小強從B點同時出發(fā)，相向行走.62.如圖，在一圓形跑道上.問小明環(huán)行一周要多少分鐘?遇，再過4分鐘，小明到達B點，又再過8分鐘，小明與小強再次相遇

.問小明環(huán)行一周要多少分鐘?3.在周長為200米的圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以 6米/秒，5米/秒的速度同時同向出發(fā)，沿跑道行駛.問：16分鐘內，甲追上乙多少次?.如圖，某單位圍墻外面的小路是邊長 300米的正方形.甲、乙兩人分別從兩個對角處沿逆時針方向同時出發(fā).已知甲每分鐘走90米，乙每分鐘走70米，至少經過多長時間