同角三角函數(shù)基本關系式、誘導公式

積微精課2017積微精課2017高一寒假課積微精積微精課2017高一課積微教育201716同角三角函數(shù)的基本關平方關系 (2)商數(shù)關系：sinα＝tancos下列各角的終邊與角α角圖相關于原點對角22圖關于直y＝x對組—二三四五六角正sin－sinsin－sincoscos余coscos－cos－cossin－sin正tan－tan－tantan口函數(shù)名不變符函數(shù)名改變符號象【典型例題例 1＋sin例 、已 ＝－， 的值cos sin解析：由同角三角函數(shù)關系式1－sin2α＝cos2α及題意可得且 1＋sin

cosαcos 1－sincos cos ＝－， ＝1－sin sin 例2、設θ為第一象限角且tanθ＝1，則sinθ＋cos 3解析：法一：∵tanθ＝1，∴sinθ＝1cosθ＝3sincos ∵sin2θ＋cos2θ＝1.∴sin2θ＝1，∵θ為第一象限角∴sinθ＝10，∴sin

4sincos

10＝2 5法二：(sinθ＋cos

sinθ＋cosθ＋2sinθcos tanθ＋1＋2tan ＝

＝. ∵θ為第一象限角，∴sinθ＋cosθ>0，∴sinθ＋cosθ＝25例3、sin(29) －cos(22)

sin 解析：原式＝－sin(29 6 3 ＝－sin(4+ )＋cosπ·tan4π－cos(6+ )＋sin(6+ 6

＝－sin()＋0－cos() s＝－sinπ＋cos例4

π π 已知sinx6 ，求sin6x+cos26-x的xπ 5π-x πx解：因為

+

+x=π+ 2 6 2 π π

1 所以原式=sinπ

x+cos2π-x

6=-sin

x+-cosx + 6

9 9 sin[k＋1π＋θ]·cos[(其中

解k為偶數(shù)時，不k＝2n，n∈Z，原式

sin[2n＋1π＋θ]·cos[

k為奇數(shù)時，設k＝2n＋1，n∈Z，

原式＝sin[2n＋2π＋θ]·cos2n＋2π－θ]∴原式的

＝sin[2n＋1π＋θ]·cos[2n＋1π－θ]＝sinθ·cosθ＝－1.sinπ－θ·cosπ＋θ sinθ·－cosθ6、已sinθ，cosθ是關于x的方x2－ax＋a＝0(a∈R)的兩個根．則解由已知原方程判別式Δ≥0，即∴a≥4sinθ＋cos

1= tanθ∵sinθcossinθ＋cosθ2＝1＋2sinθcos∴a＝1－2a＝1＋2(舍去∴sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－

tan(π－θ)－1＝－tanθ－

＝－(sin

)

＝－ ＝1－tan tan sinθcos1－ 例7、是否存在角α，β，α∈ ,)，β∈(0，π)，使等 2 同時成立．若存在2求出α，β的值；若不存在，說明理由sinα＝2sin 解：由條件3cosα＝2cos 又因為sin2α＋cos2α＝1，④±

2cos( 2因為α∈ ,)所以α＝α＝－.2 4當α＝πcosβ＝3，又4所以 6當α＝π時，代入cosβ＝3，又 所以β＝π，代入①可知不符6綜上所述，存在α＝π，β＝π限時訓練（7281、已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均為非零實數(shù)，若f(2016)＝－1，則f(2等2、若cosα＋2sinα＝－5，則 πsin(3、已知tanθ＝2，則 π

4、已知函數(shù)f(cosx)=cos5x，則fcosπ ；f1 ；f(sin 6 2 5、已知sin cos x∈(3π，2π)，則tan ， 6、已知sinxsiny1，求sinycos2x37f(xf(sinx3f(sinx4sinxcosx(|x|2f(xf(x答1、解析：由誘導公式知f(2∴f(22oα＋42α4nαcoα5coαnα，n－4nαo＋4co2＝0n2coα＝， 3、解析

2

3＋3＝1. θπ3π θ π2 2

，得

=cos

π 6 6 6 1 π

π 因為 ，所以在原函數(shù)式中，令 ，得f=f =cos

=cos

3 因為sin

-x，所

-x代原函數(shù)式中的得f(sin

2π

=cos

5π-5x

π5x

=sin )5、解析：由sin2x＋cos2x＝1，即(m－3)2＋(4－2m2＝1，得m＝0或)x∈(3π，2π)，∴sinx<0，cos2∴m＝0時，sinx＝3，cosx＝4，此

tan m＝8時，sinx＝，cosx＝－12(舍去 .綜上知：tan. 6、解：由已知得：siny sinx，siny[1,1]，則sinx

sinycos2x(sinx1)211 當sinx1sinycos2x有最小值11；當sinx2sinycos2x4 7、解： 由已知等式f(sinx)3f(sinx)4sinxcos 得f(sinx)3f(sinx)4sinxcos 3①－②8f(sinx)16sinx