8平面與平面垂直的性質(zhì)【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（Word含解析）

平面與平面垂直的性質(zhì)-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊同步練習(xí)（含解析）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________學(xué)號：___________一．選擇題如圖所示，已知平面CBD⊥平面ABD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀為(????)A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不能確定給出下列四種說法：①如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中正確說法的序號是

(

)A.①② B.②③ C.③④ D.②④如圖，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC，過C1作CA.直線AC上B.直線AB上

C.直線BC上D.△ABC的內(nèi)部如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥BD，沿BD將△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，連接AC，則在四面體ABCD的四個面中，互相垂直的平面的對數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，a?α，b?β，則“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的(????)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件如圖所示，在長方體ABCD???A1B1C1D1中，AA.BD1//B1CB.A1D1//如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與兩平面α、β所成的角分別為π4和π6.過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A'、B'，則AB：A'B'=(????)A.2：1B.3：1

C.3：2D.4：3在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCDA.平行 B.共面 C.垂直 D.不垂直已知平面α⊥平面β，則下列命題中真命題的個數(shù)是(

)①α內(nèi)的任意直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線；②在β內(nèi)垂直于α與β的交線的直線必垂直于α內(nèi)的任意一條直線；③α內(nèi)的任意一條直線必垂直于β；④過β內(nèi)的任意一點作α與β交線的垂線，則這條直線必垂直于α．A.4 B.3 C.2 D.1已知三棱錐A?BCD中，AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，且三棱錐A?BCD的外接球的表面積為32π，則當平面ABC⊥平面BCD時，三棱錐A?BCD的表面積等于(????)A.16+83 B.32+163 C.8+83(多選題)如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分別是BF，CE上的點，AD?//BC，且AB=DE=2BC=2AF(如圖①).將四邊形ADEF沿AD折起，連接BE，BF，CE(如圖②).在折起的過程中，下列說法中正確的是(????)AC//平面BEF

B.B，C，E，F(xiàn)四點不可能共面

C.若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD

D.平面BCE與平面BEF可能垂直二.填空題直線a和b在正方體ABCD?A1B1C1D1的兩個不同平面內(nèi)，使?①a和b垂直于正方體的一個面;?②a和b在正方體兩個相對的面內(nèi)，且共面;?③a和b平行于同一條棱;?④a和b在正方體的兩個面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直．如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF=DE，AD=6，則EF=________．

已知三棱錐P?ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=PA=3，AC=1，則三棱錐P?ABC的側(cè)面積______．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=33，BC=3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到C'的位置，且點C'在平面ABD上的射影O恰在AB上．若EF⊥平面AC'D，且DC'=2DE，BF=λFD，則λ的值為________．二.解答題如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面為菱形，對角線AC與BD相交于點E，平面PAC垂直于底面ABCD，線段PD的中點為F．

(1)求證：EF//平面PBC；(2)求證：BD⊥PC．

如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1?ABC中，AB=AC，D是BC的中點，側(cè)面B(1)求證：AD⊥CC(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱AA1于點(3)若平面MBC1⊥平面BB1C1C，則AM=MA如圖，四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=BC=1，AC=2．

(1)證明BC⊥平面PAB；

(2)在線段PC上是否存在點D，使得AC⊥BD，若存在，求PD的值，若不存在，請說明理由．

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】

本題主要考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力．

作AE⊥BD，交BD于E，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知AE⊥面BCD，再根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，從而得到△ABC為直角三角形．

【解答】

解：過A作AE⊥DB于E，則AE⊥平面DBC，

∴AE⊥BC，又DA⊥平面ABC，

∴DA⊥BC，又DA∩AE=A，

∴BC⊥平面DAB，

∴BC⊥AB，

∴△ABC為直角三角形．

故選B．

2.【答案】D【解析】【分析】

從直線與平面平行與垂直，平面與平面平行與垂直的判定與性質(zhì)，考慮選項中的情況，找出其它可能情形加以判斷，推出正確結(jié)果．

【解答】

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；如果這兩條直線平行，可能得到兩個平面相交，所以不正確。

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；這是判定定理，正確。

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；可能是異面直線。不正確。

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直。正確。

故選D．

3.【答案】B【解析】解：∵在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，

∴AB⊥AC

又∵BC1⊥AC，BC1∩AB=B

∴AC⊥平面ABC1，

則C1作C1H⊥底面ABC，

故C?1H?平面ABC1，

故點H一定在直線AB上

故選B

由已知中斜三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BAC=90°，又BC1⊥AC【解析】【分析】本題考查面面垂直的判定，屬于一般題．【解答】解：由題意直線AB⊥平面BCD，直線CD⊥平面ABD，

所以面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD，

共有3對．

故選C．

5.【答案】C【解析】解：由α⊥βα∩β=la?αb?βa⊥b?a⊥l或b⊥l，

由α⊥βα∩β=la?αb?βa⊥l或b⊥l?a⊥b，

故“a⊥b”是“a⊥l或b⊥l”的充要條件，【解析】【分析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．

連接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可證AC⊥平面BDD1，利用線面垂直的性質(zhì)即可證明AC⊥BD1．

【解答】解：連接BD.在長方體ABCD???A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD．

又AC⊥DD1，BD∩DD1=D，【解析】解：連接AB'和A'B，設(shè)AB=a，可得AB與平面α所成的角為∠BAB'=π4，

在Rt△BAB'中有AB'=22a，同理可得AB與平面β所成的角為∠ABA'=π6，

所以A'A=12a，因此在Rt△AA'B'中A'B'=(22a)2?(12a)2=12a，【解析】【分析】本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，首先根據(jù)已知條件畫出圖形，在四邊形ABCD中，根據(jù)AB=BC，AD=CD即可得到BD⊥AC，進而得到BD⊥平面AA1C1C【解答】解：如圖，在四邊形ABCD中，∵AB=BC，AD=CD，∴BD⊥AC，

∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面AA1C1C

9.【答案】C【解析】【分析】本題考查空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，著重考查線面垂直、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查推理能力，屬于中檔題．

利用線面垂直面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理逐一判斷選項，即可得到答案．【解答】解：①設(shè)α∩β=l，a?α，b?β，b⊥l，則a⊥b，

故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線，為真命題；

②β內(nèi)垂直于α與β交線的直線垂直于平面α，

則它垂直于α內(nèi)的任意直線，為真命題；

③α內(nèi)不與交線垂直的直線不垂直于β，為假命題；

④垂直于交線的直線必須在平面β內(nèi)才與平面α垂直，否則不垂直，為假命題．答案C．

10.【答案】A【解析】解：如圖，

取BC中點O，連接OA，OD，

由AB=AC=BD=CD，AB⊥AC，BD⊥CD，

可得OA=OB=OC=OD，即O為三棱錐A?BCD的外接球的球心，

半徑為OA．

由三棱錐A?BCD的外接球的表面積為4π?OA2=32π，得OA=22．

則當平面ABC⊥平面BCD時，S△ABC=S△BCD=12×4×4=8；

S△ABD=S△ACD=12×4×23=43【解析】【分析】

本題考查線面平行、面面垂直的判定定理，屬于中檔題．

由線面平行、面面垂直的判定定理，進行判斷即可．

【解答】

解：取AC的中點為O，取BE的中點為M，連結(jié)MO，

則MO//DE,MO=12DE，則MO//AF，MO=AF，得四邊形AOMF為平行四邊形，

即AC//FM，F(xiàn)M?平面BEF，AC不在面BEF內(nèi)，

∴AC//平面BEF，故A正確；

∵直線BF與CE為異面直線，

∴B、C、E、F四點不可能共面，故B正確；

在梯形ADEF中，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，F(xiàn)D、CF?平面CDF且交于點F，

∴EF⊥平面CDF，又∵CD?平面CDF，

∴CD⊥EF，又因為AD//BC，∠BCE=90°，

∴CD⊥AD，

∵EF和AD必交于一點且在平面ADEF內(nèi)，

∴CD⊥平面ADEF，∵CD?平面ABCD，

∴平面ADEF⊥平面ABCD，故C正確；

延長AF至G使得AF=FG，連結(jié)BG、EG，

易得平面BCE⊥平面ABF，過F作FN⊥BG于N，則FN⊥平面BCE，

若平面BCE⊥平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故D錯誤．

故選ABＣ.

12.【答案】【解析】【分析】

本題考查線面垂直的性質(zhì)定理、面面平行的性質(zhì)定理、平行公理以及空間兩條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

對于?①，利用線面垂直的性質(zhì)即可判斷為正確；

對于?②，利用面面平行的性質(zhì)即可判斷為正確；

對于?③，應(yīng)用平行公理即可判斷為正確；

對于?④，a，b可能平行、異面和垂直三種情況，?④錯誤．

【解答】

解：對于?①，利用線面垂直的性質(zhì)可知?①正確；對于?②，由于a，b共面，利用面面平行的性質(zhì)即可判斷a//b，故?②正確；對于?③，應(yīng)用平行公理可知?③正確；對于?④，當a和b在正方體的兩個平行面內(nèi)，且與正方體的同一條棱垂直時，a，b可能平行、異面和垂直三種情況，故?④錯誤．故答案為：?①?②?③

13.【答案】6【解析】【分析】

本題考查的是直線與平面垂直關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線與平面垂直的性質(zhì);經(jīng)審題，根據(jù)直線和平面垂直的性質(zhì)定理知AF//DE，結(jié)合已知條件可判斷出四邊形AFED的形狀;四邊形AFED為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到本題答案．

【解答】

解：∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF//DE，又∵AF=DE，∴四邊形AFED是平行四邊形，

∴EF=AD=6，

故答案為6．

14.【答案】5【解析】解：如圖所示，

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC；

又AC⊥BC，PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC；

∴三棱錐P?ABC的各個面都是直角三角形；

又BC=PA=3，AC=1，

∴三棱錐P?ABC的側(cè)面積為

S側(cè)面積=S△PAB+S△PAC+S△PBC

=12×3×【解析】【分析】

本題主要考查了線面垂直的判定，注意空間思維能力的培養(yǎng)．

證明BC'⊥平面AC'D，結(jié)合EF⊥平面AC'D，由線面垂直的性質(zhì)得到EF

//

BC'，即可求得λ的值．

【解答】

解：∵點C'在平面ABD上的射影O在AB上，∴C'O⊥平面ABD．

∵DA?平面ABD，∴C'O⊥DA.又∵AD⊥AB，AB∩C'O=O，

∴DA⊥平面ABC'.

又BC'?平面ABC'，∴DA⊥BC'.

又∵BC'⊥C'D，DA∩C'D=D，∴BC'⊥平面AC'D．

又∵EF⊥平面AC'D，∴EF

//

BC'.∵DC'=2DE，即E為C'D的中點，∴F為BD的中點，

∴BF=FD，即λ=1．

16.【答案】證明：(1)∵菱形對角線AC與BD相交于點E，

∴AC與BD互相平分，即AE=CE，BE=DE

又∵線段PD的中點為F，

∴EF為△PBD的中位線，

∴EF//PB

又EF?平面PBC，PB?平面PBC，

∴EF//平面PBC

(2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD=AC，

菱形ABCD中，AC⊥BD，BD?平面ABCD，

∴BD⊥平面PAC，且PC?平面PAC，

∴BD⊥PC．【解析】本題考查線面平行的判定及線面垂直的判定與性質(zhì)．(1)根據(jù)E，F(xiàn)為PD，DB的中點判斷出EF為△PBD的中位線可知EF//PB，進而根據(jù)EF?平面PBC，推斷出EF平行于PB所在的平面PBC;

(2)先判斷出BD⊥平面PAC，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷出BD⊥PC．

17.【答案】證明(1)證明：∵AB=AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1C1C=BC，AD?底面ABC，∴AD⊥(2)證明：如圖，延長B1A1，與BM的延長線交于點N，連接C1N，則C1N?平面MBC1,∵AM=MA1，∴NA1=A1B1,∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1，∴C1N⊥B1C1,∵側(cè)面