2023年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

第15頁〔共15頁〕2023年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷一.填空題〔本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分〕1．〔4分〕集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，那么P∩M=．2．〔4分〕計算=．3．〔4分〕方程的根是．4．〔4分〕是純虛數(shù)〔i是虛數(shù)單位〕，那么=．5．〔4分〕直線l的一個法向量是，那么l的傾斜角的大小是．6．〔4分〕從4名男同學(xué)和6名女同學(xué)中選取3人參加某社團活動，選出的3人中男女同學(xué)都有的不同選法種數(shù)是〔用數(shù)字作答〕7．〔5分〕在〔1+2x〕5的展開式中，x2項系數(shù)為〔用數(shù)字作答〕8．〔5分〕如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，那么異面直線A1B與B1C1所成角的大小是〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕9．〔5分〕數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，且，那么b1+b2+…+b1009=．10．〔5分〕如圖，向量與的夾角為120°，，，P是以O(shè)為圓心，為半徑的弧上的動點，假設(shè)，那么λμ的最大值是．11．〔5分〕F1、F2分別是雙曲線〔a＞0，b＞0〕的左右焦點，過F1且傾斜角為30°的直線交雙曲線的右支于P，假設(shè)PF2⊥F1F2，那么該雙曲線的漸近線方程是．12．〔5分〕如圖，在折線ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分別是AB、CD的中點，假設(shè)折線上滿足條件的點P至少有4個，那么實數(shù)k的取值范圍是．二.選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13．〔5分〕假設(shè)空間中三條不同的直線l1、l2、l3，滿足l1⊥l2，l2∥l3，那么以下結(jié)論一定正確的是〔〕A．l1⊥l3 B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直14．〔5分〕假設(shè)a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有〔〕A．a(chǎn)d＞bc B．a(chǎn)d＜bc C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)c＜bd15．〔5分〕無窮等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn〔n∈N*〕，那么“a1+d＞0〞是“{Sn}為遞增數(shù)列〞的〔〕條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要16．〔5分〕函數(shù)〔n＜m〕的值域是[﹣1，1]，有以下結(jié)論：①當n=0時，m∈〔0，2]；②當時，；③當時，m∈[1，2]；④當時，m∈〔n，2]；其中結(jié)論正確的所有的序號是〔〕A．①② B．③④ C．②③ D．②④三.解答題〔本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔14分〕函數(shù)〔其中ω＞0〕．〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕的最小正周期為3π，求ω的值，并求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕假設(shè)ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．18．〔14分〕如圖，AB是圓錐SO的底面直徑，O是底面圓心，，AB=4，P是母線SA的中點，C是底面圓周上一點，∠AOC=60°．〔1〕求圓錐的側(cè)面積；〔2〕求直線PC與底面所成的角的大小．19．〔14分〕某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童，此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的奉獻，公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測算，首日參與活動人數(shù)為10000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項活動的啟動資金為30萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元〔以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元〕．〔1〕求活動開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；〔2〕活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？20．〔16分〕橢圓的右焦點是拋物線Γ：y2=2px的焦點，直線l與Γ相交于不同的兩點A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕．〔1〕求Γ的方程；〔2〕假設(shè)直線l經(jīng)過點P〔2，0〕，求△OAB的面積的最小值〔O為坐標原點〕；〔3〕點C〔1，2〕，直線l經(jīng)過點Q〔5，﹣2〕，D為線段AB的中點，求證：|AB|=2|CD|．21．〔18分〕對于函數(shù)y=f〔x〕〔x∈D〕，如果存在實數(shù)a、b〔a≠0，且a=1，b=0不同時成立〕，使得f〔x〕=f〔ax+b〕對x∈D恒成立，那么稱函數(shù)f〔x〕為“〔a，b〕映像函數(shù)〞．〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕=x2﹣2是否是“〔a，b〕映像函數(shù)〞，如果是，請求出相應(yīng)的a、b的值，假設(shè)不是，請說明理由；〔2〕函數(shù)y=f〔x〕是定義在[0，+∞〕上的“〔2，1〕映像函數(shù)〞，且當x∈[0，1〕時，f〔x〕=2x，求函數(shù)y=f〔x〕〔x∈[3，7〕〕的反函數(shù)；〔3〕在〔2〕的條件下，試構(gòu)造一個數(shù)列{an}，使得當x∈[an，an+1〕〔n∈N*〕時，2x+1∈[an+1，an+2〕，并求x∈[an，an+1〕〔n∈N*〕時，函數(shù)y=f〔x〕的解析式，及y=f〔x〕〔x∈[0，+∞〕〕的值域．2023年上海市閔行區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.填空題〔本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分〕1．〔4分〕集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，那么P∩M={0，1，2}．【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，∴P∩M={0，1，2}．故答案為：{0，1，2}．2．〔4分〕計算=．【解答】解：===，故答案為：．3．〔4分〕方程的根是10．【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，∴l(xiāng)gx=1，∴x=10．故答案為：10．4．〔4分〕是純虛數(shù)〔i是虛數(shù)單位〕，那么=．【解答】解：∵是純虛數(shù)，∴，得sin且cos，∴α為第二象限角，那么cos．∴=sinαcos+cosαsin=．故答案為：﹣．5．〔4分〕直線l的一個法向量是，那么l的傾斜角的大小是．【解答】解：設(shè)直線l的傾斜角為θ，θ∈[0，π〕．設(shè)直線的方向向量為=〔x，y〕，那么=x﹣y=0，∴tanθ==，解得θ=．故答案為：．6．〔4分〕從4名男同學(xué)和6名女同學(xué)中選取3人參加某社團活動，選出的3人中男女同學(xué)都有的不同選法種數(shù)是96〔用數(shù)字作答〕【解答】解：根據(jù)題意，在4名男同學(xué)和6名女同學(xué)共10名學(xué)生中任取3人，有C103=120種，其中只有男生的選法有C43=4種，只有女生的選法有C63=20種那么選出的3人中男女同學(xué)都有的不同選法有120﹣4﹣20=96種；故答案為：96．7．〔5分〕在〔1+2x〕5的展開式中，x2項系數(shù)為40〔用數(shù)字作答〕【解答】解：設(shè)求的項為Tr+1=C5r〔2x〕r，今r=2，∴T3=22C52x2=40x2．∴x2的系數(shù)是408．〔5分〕如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，那么異面直線A1B與B1C1所成角的大小是arccos〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，BC∥B1C1，∴∠A1BC是異面直線A1B與B1C1所成角，∵A1B===5，A1C===，∴cos∠A1BC===．∴∠A1BC=arccos．∴異面直線A1B與B1C1所成角的大小是arccos．故答案為：arccos．9．〔5分〕數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，且，那么b1+b2+…+b1009=2023．【解答】解：數(shù)列{an}、{bn}滿足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差數(shù)列，∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常數(shù)t．∴=常數(shù)et=q＞0，因此數(shù)列{an}為等比數(shù)列．且，∴a1a1009=a2a1008==…．那么b1+b2+…+b1009=ln〔a1a2…a1009〕==lne2023=2023．故答案為：2023．10．〔5分〕如圖，向量與的夾角為120°，，，P是以O(shè)為圓心，為半徑的弧上的動點，假設(shè)，那么λμ的最大值是．【解答】解：如圖建立平面直角坐標系，設(shè)P〔cosθ，sinθ〕，，，．∵，∴，sinθ=．∴，∴λμ=﹣+=+，故答案為：11．〔5分〕F1、F2分別是雙曲線〔a＞0，b＞0〕的左右焦點，過F1且傾斜角為30°的直線交雙曲線的右支于P，假設(shè)PF2⊥F1F2，那么該雙曲線的漸近線方程是y=±x．【解答】解：設(shè)|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，可得m=2n，那么m﹣n=2a=n，即a=n，2c=n，即c=n，b==n，可得雙曲線的漸近線方程為y=±x，即為y=±x，故答案為：y=±x．12．〔5分〕如圖，在折線ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分別是AB、CD的中點，假設(shè)折線上滿足條件的點P至少有4個，那么實數(shù)k的取值范圍是〔﹣，﹣2〕．【解答】解：以BC的垂直平分線為y軸，以BC為x軸，建立如下圖的平面直角坐標系，∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，∴B〔﹣2.0〕，C〔2，0〕，A〔﹣4，2〕，D〔4，2〕，∵E、F分別是AB、CD的中點，∴E〔﹣3，〕，F(xiàn)〔3，〕，設(shè)P〔x，y〕，﹣4≤x≤4，0≤y≤2，∵，∴〔﹣3﹣x，﹣y〕〔3﹣x，﹣y〕=x2+〔y﹣〕+9=k，即x2+〔y﹣〕﹣9=k+9，當k+9＞0時，點P的軌跡為以〔0，〕為圓心，以為半徑的圓，當圓與直線DC相切時，此時圓的半徑r=，此時點有2個，當圓經(jīng)過點C時，此時圓的半徑為r==，此時點P有4個，∵滿足條件的點P至少有4個，結(jié)合圖象可得，∴＜k+9＜7，解得﹣＜k＜﹣2，故實數(shù)k的取值范圍為〔﹣，﹣2〕，故答案為：〔﹣，﹣2〕二.選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13．〔5分〕假設(shè)空間中三條不同的直線l1、l2、l3，滿足l1⊥l2，l2∥l3，那么以下結(jié)論一定正確的是〔〕A．l1⊥l3 B．l1∥l3C．l1、l3既不平行也不垂直 D．l1、l3相交且垂直【解答】解：∵空間中三條不同的直線l1、l2、l3，滿足l1⊥l2，l2∥l3，∴l(xiāng)1⊥l3，應(yīng)選：A．14．〔5分〕假設(shè)a＞b＞0，c＜d＜0，那么一定有〔〕A．a(chǎn)d＞bc B．a(chǎn)d＜bc C．a(chǎn)c＞bd D．a(chǎn)c＜bd【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．又a＞b＞0，那么一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．應(yīng)選：D．15．〔5分〕無窮等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn〔n∈N*〕，那么“a1+d＞0〞是“{Sn}為遞增數(shù)列〞的〔〕條件．A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【解答】解：等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn=na1+d，那么Sn+1=〔n+1〕a1+，那么Sn+1﹣Sn=〔n+1〕a1+﹣na1﹣d=a1+nd，假設(shè){Sn}為遞增數(shù)列，a1+nd＞0，∵S2﹣S1=a1+d＞0，∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0但a1+d能推出a1+nd，故a1+d＞0〞是“{Sn}為遞增數(shù)列必要非充分，應(yīng)選：B16．〔5分〕函數(shù)〔n＜m〕的值域是[﹣1，1]，有以下結(jié)論：①當n=0時，m∈〔0，2]；②當時，；③當時，m∈[1，2]；④當時，m∈〔n，2]；其中結(jié)論正確的所有的序號是〔〕A．①② B．③④ C．②③ D．②④【解答】解：當x＞1時，x﹣1＞0，f〔x〕=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，單調(diào)遞減，當﹣1＜x＜1時，f〔x〕=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，單調(diào)遞增，∴f〔x〕=22﹣|x﹣1|﹣3在〔﹣1，1〕單調(diào)遞增，在〔1，+∞〕單調(diào)遞減，∴當x=1時，取最大值為1，∴繪出f〔x〕的圖象，如圖：①當n=0時，f〔x〕=，由函數(shù)圖象可知：要使f〔x〕的值域是[﹣1，1]，那么m∈〔1，2]；故①錯誤；②當時，f〔x〕=，f〔x〕在[﹣1，]單調(diào)遞增，f〔x〕的最大值為1，最小值為﹣1，∴；故②正確；③當時，m∈[1，2]；故③正確，④錯誤，應(yīng)選C．三.解答題〔本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分〕17．〔14分〕函數(shù)〔其中ω＞0〕．〔1〕假設(shè)函數(shù)f〔x〕的最小正周期為3π，求ω的值，并求函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間；〔2〕假設(shè)ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．【解答】解：〔1〕函數(shù)=sin〔ωx〕，∵函數(shù)f〔x〕的最小正周期為3π，即T=3π=∴ω=那么：，由，k∈Z，得：∴函數(shù)f〔x〕的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z；〔2〕函數(shù)=sin〔ωx〕，∵ω=2∴f〔x〕=sin〔2x〕，，可得sin〔2α〕=∵0＜α＜π，∴≤〔2α〕≤2α=或解得：α=或α=．18．〔14分〕如圖，AB是圓錐SO的底面直徑，O是底面圓心，，AB=4，P是母線SA的中點，C是底面圓周上一點，∠AOC=60°．〔1〕求圓錐的側(cè)面積；〔2〕求直線PC與底面所成的角的大?。窘獯稹拷猓骸?〕∵AB是圓錐SO的底面直徑，O是底面圓心，，AB=4，P是母線SA的中點，C是底面圓周上一點，∠AOC=60°．∴r==2，l===4，∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=π×2×4=8π．〔2〕過點P作PE⊥圓O，交AO于E，連結(jié)CE，那么E是AO中點，∴PE=PO=，CE==，∴∠PCE是直線PC與底面所成角，∵PE=CE，PE⊥CE，∴，∴直線PC與底面所成的角為．19．〔14分〕某公司舉辦捐步公益活動，參與者通過捐贈每天的運動步數(shù)獲得公司提供的牛奶，再將牛奶捐贈給留守兒童，此活動不但為公益事業(yè)作出了較大的奉獻，公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益，據(jù)測算，首日參與活動人數(shù)為10000人，以后每天人數(shù)比前一天都增加15%，30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平，假設(shè)此項活動的啟動資金為30萬元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元〔以下人數(shù)精確到1人，收益精確到1元〕．〔1〕求活動開始后第5天的捐步人數(shù)，及前5天公司的捐步總收益；〔2〕活動開始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余？【解答】解：〔1〕設(shè)第x天的捐步人數(shù)為x，那么f〔x〕=．∴第5天的捐步人數(shù)為f〔5〕=10000?〔1+15%〕4=17490．由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列，其中首項為10000，公比為1.15，∴前5天的捐步總收益為×0.05=3371；〔2〕設(shè)活動第x天后公司捐步總收益可以回收并有盈余，①假設(shè)1≤x≤30，那么×0.05＞300000，解得x＞log1.1591≈32.3〔舍〕．②假設(shè)x＞30，那么[+10000?1.1529?〔x﹣30〕]?0.05＞300000，解得x＞32.87．∴活動開始后第33天公司的捐步總收益可以收回啟動資金并有盈余．20．〔16分〕橢圓的右焦點是拋物線Γ：y2=2px的焦點，直線l與Γ相交于不同的兩點A〔x1，y1〕、B〔x2，y2〕．〔1〕求Γ的方程；〔2〕假設(shè)直線l經(jīng)過點P〔2，0〕，求△OAB的面積的最小值〔O為坐標原點〕；〔3〕點C〔1，2〕，直線l經(jīng)過點Q〔5，﹣2〕，D為線段AB的中點，求證：|AB|=2|CD|．【解答】〔1〕解：由橢圓，得a2=10，b2=9，那么c=1．∴橢圓的右焦點，即拋物線Γ：y2=2px的焦點為〔1，0〕，那么，p=2，∴Γ的方程為y2=4x；〔2〕解：設(shè)直線l：x=my+2，聯(lián)立，得y2﹣4my﹣8=0．那么y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴==，即△OAB的面積的最小值為；〔3〕證明：當AB所在直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y+2=k〔x﹣5〕，即y=kx﹣5k﹣2．聯(lián)立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．，．=．===．∵C〔1，2〕，∴，，那么=〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕+〔y1﹣2〕〔y2﹣2〕=x1x2﹣〔x1+x2〕+1+y1y2﹣2〔y1+y2〕+4=，當AB所在直線斜率不存在時，直線方程為x=5，聯(lián)立，可得A〔5，﹣〕，B〔5，2〕，，，有，∴CA⊥CB，又D為線段AB的中點，∴|AB|=2|CD|．21．〔18分〕對于函數(shù)y=f〔x〕〔x∈D〕，如果存在實數(shù)a、b〔a≠0，且a=1，b=0不同時成立〕，使得f〔x〕=f〔ax+b〕對x∈D恒成立，那么稱函數(shù)f〔x〕為“〔a，b〕映像函數(shù)〞．〔1〕判斷函數(shù)f〔x〕=x2﹣2是否是“〔a，b〕映像函數(shù)〞，如果是，請求出相應(yīng)的a、b的值，假設(shè)不是，請說明理由；〔2〕函數(shù)y=f〔x〕是定義