測量誤差分析與處理

會計學(xué)1測量誤差分析與處理8.1誤差的基本概念測量誤差與精度真值（truevalue）基本誤差源（sourcesofelementalerror）基本誤差分類：標(biāo)定誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)處理誤差。按性質(zhì)及產(chǎn)生原因，誤差可分為：

系統(tǒng)誤差：重復(fù)性測量條件下，對同一被測量進(jìn)行多次測量結(jié)果的平均值與被測量真值之差。

隨機(jī)誤差：單次測試結(jié)果與在重復(fù)性條件下對同一被測量進(jìn)行多次測量結(jié)果的平均值之差。

粗大誤差：一種明顯超出統(tǒng)計規(guī)律預(yù)期范圍的誤差。第1頁/共54頁測量誤差與精度準(zhǔn)確度(justness):也稱正確度(correctness),測量數(shù)據(jù)的平均值偏離真實值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。精密度(precision):在進(jìn)行某一量的測量時，各次測量的數(shù)據(jù)彼此接近的程度，是隨機(jī)誤差的反映。精確度(accuracy):簡稱為精度，指測量數(shù)據(jù)集中于真實值附近的程度。a)高準(zhǔn)確度，低精密度情形b)低準(zhǔn)確度，高精密度情形c)高準(zhǔn)確度、高精密度情形8.1誤差的基本概念第2頁/共54頁8.1誤差的基本概念誤差的表示方法誤差(error):也稱絕對誤差(absoluteerror)，是測量值與其真值之差。相對誤差(relativeerror)

:測量誤差與真值之比。引用誤差(quotederror):絕對誤差與儀表的滿量程值A(chǔ)之比。第3頁/共54頁8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差分布規(guī)律正態(tài)分布式中，測量值（隨機(jī)變量）；

被測量的平均值，表征測量值平均水平或集中趨勢的參數(shù)；被測量的標(biāo)準(zhǔn)差，表征測量值相對于其中心位置的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令第4頁/共54頁隨機(jī)誤差分布規(guī)律則

的概率密度函數(shù)為：誤差落在區(qū)間的概率為：其中，

稱為置信系數(shù)，

稱為置信限，

稱為置信區(qū)間，概率P稱為置信水平。表8-1列出了典型置信區(qū)間與相應(yīng)置信水平之間的關(guān)系。8.2隨機(jī)誤差第5頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析中心趨勢的度量平均值：中位數(shù)：位于序列中間數(shù)據(jù)的值，或位于中間的兩個數(shù)據(jù)的平

均值（若序列中元素的數(shù)量為偶數(shù)）。眾數(shù)：出現(xiàn)概率最大的隨機(jī)變量的值。8.2隨機(jī)誤差第6頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析分散性的度量每次測量的偏差：平均偏差：總體的標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：8.2隨機(jī)誤差第7頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析總體均值的區(qū)間估計在估計總體平均值時，將其表示為或(8-17)

其中，δ是誤差，

是樣本平均值。區(qū)間（

，

）為關(guān)于均值的置信區(qū)間。分別稱

、

為關(guān)于均值的置信下限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通過顯著性水平（levelofsignificance）表示：(8-18)8.2隨機(jī)誤差第8頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析(1)大樣本（n＞30）事件總體均值的區(qū)間估計直接應(yīng)用中心極限定理估計置信區(qū)間。因為是正態(tài)分布的，所以可以使用統(tǒng)計量:（8-20）其中，當(dāng)足夠大時，根據(jù)中心極限定理，的標(biāo)準(zhǔn)差：由（8-18），有（8-21）也可以寫成：

（當(dāng)置信水平為）8.2隨機(jī)誤差第9頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析 (2)小樣本(

)事件總體均值的區(qū)間估計由于標(biāo)準(zhǔn)差的誤差，小樣本情況下，可以使用分布統(tǒng)計量:（8-23）與正態(tài)分布不同，分布取決于樣本量。由（8-18），有（8-26）也可以寫成：

（當(dāng)置信水平為）

8.2隨機(jī)誤差第10頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析總體方差的區(qū)間估計總體方差的最佳估計是樣本方差，對于正態(tài)分布的總體，可以應(yīng)用統(tǒng)計量估計置信區(qū)間。設(shè)隨機(jī)變量的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則有：（8-28）變量被定義為：（8-29）聯(lián)立式(8-28)和(8-29)，有（8-30）8.2隨機(jī)誤差第11頁/共54頁隨機(jī)誤差統(tǒng)計分析

是隨機(jī)變量，在正態(tài)分布總體的情況下不同自由度的概率密度函數(shù)曲線如右圖所示。變量在任意兩個值之間的取值概率等于曲線下這兩值之間的面積：（8-32）為顯著性水平，按式（8-29）得：（8-33）則總體方差的置信區(qū)間為：（8-34）8.2隨機(jī)誤差第12頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍萊茵達(dá)準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）若測量值只含有隨機(jī)誤差，且按正態(tài)分布，則測量數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間以外的概率只有0.27%。萊茵達(dá)準(zhǔn)則規(guī)定，如果實測數(shù)據(jù)的誤差滿足以下條件

則將作為異常數(shù)據(jù)處理。注：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)原理，萊因達(dá)準(zhǔn)則不適用于測量次數(shù)的場合。8.2隨機(jī)誤差第13頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍肖維納準(zhǔn)則肖維納準(zhǔn)則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在n次測量中，某一誤差可能出現(xiàn)的次數(shù)小于半次就被認(rèn)為是過失誤差。設(shè)任一次測量值的誤差落在區(qū)間

的概率為α，則誤差落在置信區(qū)間

之外的概率為對于n次測量，令隨機(jī)誤差落在置信區(qū)間

之外的次數(shù)等于1/2，則有于是8.2隨機(jī)誤差第14頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍則由式（8-10）得：若已知測量次數(shù)

，則可求出滿足肖維納準(zhǔn)則的

，再由積分表查得置信系數(shù)

。根據(jù)肖維納準(zhǔn)則，若某次測量所得誤差絕對值大于相應(yīng)的置信限

，應(yīng)予舍棄。8.2隨機(jī)誤差第15頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯法假定測量結(jié)果服從正態(tài)分布，根據(jù)順序統(tǒng)計量來確定可疑數(shù)據(jù)的取舍。進(jìn)行n次重復(fù)試驗，試驗結(jié)果為

，且

服從正態(tài)分布。為了檢驗

中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據(jù)順序統(tǒng)計原則，給出標(biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計量g：當(dāng)最小值

可疑時，則：當(dāng)最大值

可疑時，則：8.2隨機(jī)誤差第16頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍根據(jù)格拉布斯統(tǒng)計量的分布，在給定的顯著性水平α（一般α=0.05）下，查得判別可疑值的臨界值

，見表8-4。該檢驗的拒絕域為：即標(biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計量大于其臨界值，即可認(rèn)為其相應(yīng)數(shù)據(jù)為粗大誤差影響的可疑數(shù)據(jù)。利用格拉布斯準(zhǔn)則每次只能舍棄一個可疑值，若有兩個以上的可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)該一個一個數(shù)據(jù)地判斷。即舍棄第一個數(shù)據(jù)后，試驗次數(shù)由n變?yōu)閚-1，以此為基礎(chǔ)再判別第二個可疑數(shù)據(jù)。8.2隨機(jī)誤差第17頁/共54頁可疑數(shù)據(jù)的取舍t(yī)檢驗準(zhǔn)則檢驗準(zhǔn)則是將測量列的個測得值中可疑的測得值先剔除，然后按余下的個數(shù)據(jù)計算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差值，再判斷數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差。（不含）（不含）根據(jù)測量次數(shù)和所選取的顯著度α，從表8-5中查得k值。若所懷疑的數(shù)據(jù)

滿足下式：則可認(rèn)為為可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。8.2隨機(jī)誤差第18頁/共54頁8.3系統(tǒng)誤差任何測量過程首先要注意發(fā)現(xiàn)與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的范圍內(nèi)。對于在實驗中無法補償?shù)南到y(tǒng)誤差，應(yīng)對測量結(jié)果進(jìn)行修正。系統(tǒng)誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在整個測量過程中的大小和符號都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測量過程中大小和符號都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：1)線性變化－測量過程中誤差值隨某些因素作線性變化。2)周期性變化－系統(tǒng)誤差的數(shù)值或符號隨某些因素按周期規(guī)律變化。例如，軋輥有偏心，軋制時的精度誤差。3)復(fù)雜規(guī)律變化－按復(fù)雜規(guī)律，例如按指數(shù)規(guī)律變化。

第19頁/共54頁系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響恒值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響如果在多次重復(fù)測量時存在恒值誤差，則一組測量值

中的每一個都含有恒值系統(tǒng)誤差

。于是，不含系統(tǒng)誤差的測量值應(yīng)為其算術(shù)平均值為由偏差的定義，有恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復(fù)測得值的算術(shù)平均值

，對測得值的偏差

沒有影響，即不影響隨機(jī)誤差的分散性及精度參數(shù)。8.3系統(tǒng)誤差第20頁/共54頁系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對每個測量值有不同的影響，但有規(guī)律，不是隨機(jī)性的。設(shè)有一系列測得值

，并含有變值系統(tǒng)誤差

，則不含系統(tǒng)誤差的測量值為其平均值為如果測量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術(shù)平均值的形式影響測量結(jié)果，應(yīng)在消除或校正后，以

作為測量結(jié)果。在偏差

的計算中有偏差

受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測量結(jié)果的精確度。8.3系統(tǒng)誤差第21頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正恒值系統(tǒng)誤差判別方法（1）對比檢定法在確認(rèn)沒有明顯變值系統(tǒng)誤差的前提下，可以改用更理想的測量條件，進(jìn)行檢定性測量。以此兩種不同的測量條件對同一量值進(jìn)行次數(shù)相同的重復(fù)測量，求出兩者算術(shù)平均值之差，則該差值即為被判斷的測量條件下的定值系統(tǒng)誤差。（2）均值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法對同一量值在測量條件不同，測量次數(shù)也不同的情況下進(jìn)行兩組（或多組）測量。由于

和

是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其差值

也服從正態(tài)分布（其分布的平均值為零，方差為

）。因此，可用區(qū)間的概率估計原理來判斷是否有恒值系統(tǒng)誤差，即8.3系統(tǒng)誤差第22頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正在給定置信概率

時，若無定值系統(tǒng)誤差，則

應(yīng)不超過

；如果超出，則可認(rèn)為

與

的差異不只是受隨機(jī)誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)誤差存在。這樣判斷的置信概率為

。8.3系統(tǒng)誤差第23頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正變值系統(tǒng)誤差判別方法（1）偏差觀察法偏差觀察法是將一系列等精度測量值，按測量的先后順序把測得值及其偏差值列表，觀察其偏差數(shù)值及其符號的變化規(guī)律。若偏差數(shù)值有規(guī)律的遞增或遞減，并且在測量開始和結(jié)束時偏差符號相反，則可判定該測量列含有線性系統(tǒng)誤差。若在某一測量條件時，偏差基本上保持相同符號，當(dāng)變?yōu)榱硪粶y試條件時偏差均變號，則表明測量中含有隨測量條件而變的恒值系統(tǒng)誤差。若偏差的符號有規(guī)律地由正變負(fù)，再由負(fù)變正，或循環(huán)交替變化多次，則可判定該測量序列含有周期性誤差。8.3系統(tǒng)誤差第24頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）偏差核算法將測得值按測量先后順序排列，并將其分為前半組k個和后半組k個，兩組分別求和后相減，有當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時，，所以上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后兩組的符號相反，則值將隨n的增大而增大。因此，若值顯著不為零，則說明測量列中含有線性系統(tǒng)誤差。

8.3系統(tǒng)誤差第25頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）阿貝赫梅特判據(jù)阿貝赫梅特判據(jù)為：只要測量列滿足下式，就認(rèn)為該測量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。

8.3系統(tǒng)誤差第26頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差的修正（1）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法代替法；相消法；對換法。

8.3系統(tǒng)誤差第27頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（2）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法例如測量電阻，

為被測電阻，

為已知電阻。設(shè)回路電流

隨時間線性降低，可用對稱測量法修正該線性誤差，方法如下：第一次測

兩端電壓為：第二次測

兩端電壓為：第三次測

兩端電壓為：

8.3系統(tǒng)誤差第28頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正因電流下降是線性變化的，所以從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。

8.3系統(tǒng)誤差第29頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正（3）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正只要讀取相隔半周期的兩次測量值，然后取平均值為測量結(jié)果，即可修正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因為根據(jù)周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，有：變化半周期即

時，有取

和

的算術(shù)平均值，有

8.3系統(tǒng)誤差第30頁/共54頁系統(tǒng)誤差的識別與修正系統(tǒng)誤差修正準(zhǔn)則如果系統(tǒng)誤差或偏差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果總誤差絕對值最后一位有效數(shù)字的一半，就認(rèn)為系統(tǒng)誤差已被修正。測量結(jié)果的總誤差，一般只用一位或兩位有效數(shù)字表示，可用公式來表達(dá)上述準(zhǔn)則。設(shè)測量結(jié)果的總誤差絕對值為

，殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和為

。當(dāng)

用兩位有效數(shù)字表示時當(dāng)

用一位有效數(shù)字表示時只要滿足上述條件，就可認(rèn)為已修正系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響。

8.3系統(tǒng)誤差第31頁/共54頁消除系統(tǒng)誤差的措施從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測量人員對測量過程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在測量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。用修正方法消除系統(tǒng)誤差預(yù)先將測量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來或計算出來，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、符號相反的值作為修正值。

8.3系統(tǒng)誤差第32頁/共54頁8.4間接測量中的誤差計算間接測試參量的估計值間接測量量

一般可以表示為相互獨立的直接測量量

的函數(shù)：由于各直接測得的參量

都是隨機(jī)變量，間接測量量

是隨機(jī)變量的函數(shù)，其分布參數(shù)（均值和標(biāo)準(zhǔn)差等）通常需要根據(jù)其自變量的分布參數(shù)計算。計算隨機(jī)變量函數(shù)分布參數(shù)的常用方法是矩法。在各隨機(jī)變量

的均值處做泰勒級數(shù)展開，有：上式即為間接測量量均值的近似估計。

第33頁/共54頁間接測量誤差計算間接測量參數(shù)為

與各直接測量參數(shù)為

，二者之間的函數(shù)關(guān)系為

，進(jìn)行微分運算有令

，并用增量代替微分，有：的可能最大誤差為：的最佳估計為：的相對誤差為：

8.4間接測量中的誤差計算第34頁/共54頁8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析隨機(jī)誤差一般通過重復(fù)測量某一變量來測定，可用測得的數(shù)據(jù)計算測量樣本標(biāo)準(zhǔn)差。在誤差分析中，隨機(jī)誤差反映為精密度指數(shù)

。可以利用

統(tǒng)計量估計單個測量

的精密度極限:式中，

為置信水平（例如95%）和自由度（

）的函數(shù)。變量

的隨機(jī)誤差區(qū)間（置信區(qū)間）是

。因為用于估計

的樣本容量一般較?。?/p>

），所以經(jīng)常采用

分布而不是正態(tài)分布。當(dāng)樣本容量大于30，正態(tài)分布與

分布基本上是相同的。平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

與測量值的標(biāo)準(zhǔn)差

之間的關(guān)系為：

第35頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析平均值的誤差為:平均值的隨機(jī)誤差帶（置信區(qū)間）表示為

。如果測量條件不變，則系統(tǒng)誤差不變。因此，需要用置信區(qū)間而不是置信水平來定義準(zhǔn)確度誤差極限的可信度。通常要求系統(tǒng)誤差的置信區(qū)間與隨機(jī)誤差的置信水平相對應(yīng)，例如95%的置信水平用于隨機(jī)誤差，同時95%的置信區(qū)間用于系統(tǒng)誤差。

a)單次測量測量值誤差圖b)多次測量均值誤差圖

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第36頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析在圖a中，如果進(jìn)行了大量的測量，可以預(yù)測出正態(tài)的頻率分布。曲線的頂點在總體均值處，由于系統(tǒng)誤差B，該均值不同于x的真值。一個測量讀數(shù)

偏離總體均值并且存在關(guān)于讀數(shù)的隨機(jī)誤差帶。圖b顯示多次測量的情形。樣本均值不同于總體均值，存在隨機(jī)誤差帶

。多次測量均值的隨機(jī)誤差帶

比單次測量測量值的隨機(jī)誤差帶

窄。為了合成隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，要使用均方根公式:誤差的置信水平與的置信水平相同。系統(tǒng)誤差帶不必是對稱的。在不對稱情況下，上式必須應(yīng)用2次，一次獲得正方向的綜合誤差，另一次獲得負(fù)方向的綜合誤差。

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第37頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析為了獲得測量的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，必須合成基本系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，這個過程如圖：各項誤差用均方根合成：，

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第38頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析例8.4在估計一個氣田的天然氣燃燒值過程中，取了10個樣本并且用熱量計測量每個樣本的燃燒值，以kJ/kg為單位測得的值為48530，50210，49860，48560，49540，49270，48850，49320，48680，48980。假設(shè)熱量計在測量中沒有產(chǎn)生任何的系統(tǒng)誤差，試用95%的置信水平計算每次測量的隨機(jī)誤差和測量均值的隨機(jī)誤差。

解：若

表示燃燒值，則平均值為

樣品的標(biāo)準(zhǔn)差（精密度指數(shù)）為

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第39頁/共54頁系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析使用置信水平95%的

分布（表8-2）和10-1=9的自由度，可以查得值為：

于是，每個樣本的隨機(jī)誤差為：

kJ/kg

由于

，均值的隨機(jī)誤差為：

kJ/kg

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第40頁/共54頁有效數(shù)字及其運算規(guī)則有效數(shù)字含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對誤差的絕對值不超過近似數(shù)的半個單位，那么這個近似數(shù)左方起的第一個非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字（包括零）都叫有效數(shù)字。例如取n=3.14159，第一位有效數(shù)字為3，共有六位有效位數(shù)；又如0.00270，第一位有效數(shù)字為2，共有三位有效位數(shù)。若近似數(shù)的右邊帶有若干個零，通常把這個近似數(shù)寫成a10n形式（1<a<10）。如2.400103，表示四位有效位數(shù)。最末一位有效數(shù)字取到哪，是由測量精度來決定的－最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測量精度同量級。測量結(jié)果應(yīng)保留的位數(shù)原則是，其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應(yīng)是可靠的。測量誤差一般取1-2位有效數(shù)字。

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第41頁/共54頁有效數(shù)字及其運算規(guī)則數(shù)字舍入規(guī)則對于位數(shù)很多的近似數(shù)，當(dāng)有效位數(shù)確定后，其后面多余的數(shù)字應(yīng)予舍去，而保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行湊整：:1)若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個單位，則末位加1,2)若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個單位，則末位不變。3)若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個單位，則末位湊成偶數(shù)－當(dāng)末位為偶數(shù)時末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時則末加１。

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第42頁/共54頁有效數(shù)字及其運算規(guī)則數(shù)據(jù)運算規(guī)則1)在近似數(shù)加減運算時，各運算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。2)在近似數(shù)乘除運算時，各運算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字，而最后結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。3)在近似數(shù)平方或開方運算時，平方相當(dāng)于乘法運算，開方是平方的逆運算，故可按乘除運算處理。4)在對數(shù)運算時，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應(yīng)該用n位對數(shù)表，或用（n+1）位對數(shù)表，以免損失精度。5)三角函數(shù)運算中，所取函數(shù)值的位數(shù)應(yīng)隨角度誤差的減小而增多，其對應(yīng)關(guān)系如表8-8所示。

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第43頁/共54頁測量最終結(jié)果的誤差單樣本測量最終結(jié)果的誤差結(jié)果

是由n個測量變量所組成的函數(shù)，即,那么結(jié)果的系統(tǒng)誤差

和精密度指數(shù)

可以由下式計算：偏導(dǎo)數(shù)

被稱為靈敏度系數(shù)，式中，

為

分布值。

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第44頁/共54頁測量最終結(jié)果的誤差多樣本測量最終結(jié)果的誤差在一些試驗中可能進(jìn)行多樣本試驗來確定

。在這些情況下，每次試驗可獲得結(jié)果的值

。然后可以得到

的平均值，并且可以通過測量結(jié)果的分散性估計精密度指數(shù)和隨機(jī)誤差。結(jié)果均值為：式中有

的M組測量值。精密度指數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）可由下式獲得：

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第45頁/共54頁測量最終結(jié)果的誤差于是結(jié)果的隨機(jī)誤差為：系統(tǒng)誤差的確定方法與單樣本測量相同。最終誤差的估計由下式得出：

8.5誤差分析與測試數(shù)據(jù)處理第46頁/共54頁誤差分析的步驟確定測量過程。這一步包括審查試驗任務(wù)，識別所有獨立參數(shù)和它們的正常值，確定獨立參數(shù)和試驗結(jié)果之間的函數(shù)關(guān)系。將所有基本誤差源列表。這一步包括對每個被測量參數(shù)制做一個全面和詳細(xì)的全部可能誤差源的列表。估算基本誤差。這一步必須估計系統(tǒng)誤差和精密度指數(shù)。計算每個被測