D線面積分的計算習題課

會計學1D線面積分的計算習題課解答提示:

計算其中L為圓周提示:

利用極坐標,原式=說明:若用參數(shù)方程計算,則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束P1843(1)第1頁/共29頁P184

3(3).計算其中L為擺線上對應(yīng)t從0到2的一段弧.提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第2頁/共29頁P1843(6).計算其中由平面y=z

截球面提示:

因在上有故原式=從z軸正向看沿逆時針方向.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第3頁/共29頁(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第4頁/共29頁例1.計算其中為曲線解:

利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第5頁/共29頁例2.

計算其中L

是沿逆時針方向以原點為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a

為半徑的上半圓周.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第6頁/共29頁解法2

它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第7頁/共29頁思考題解答:(1)(2)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第8頁/共29頁計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.練習題:P184題3(5);P185題6;103(5).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第9頁/共29頁P185

6

.設(shè)在右半平面x>0內(nèi),力構(gòu)成力場,其中k為常數(shù),證明在此力場中場力所作的功與所取的路徑無關(guān).提示:令易證F

沿右半平面內(nèi)任意有向路徑L

所作的功為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第10頁/共29頁P185

10.求力沿有向閉曲線

所作的功,其中為平面x+y+z=1

被三個坐標面所截成三提示:方法1從

z

軸正向看去沿順時針方向.利用對稱性角形的整個邊界,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第11頁/共29頁設(shè)三角形區(qū)域為,方向向上,則方法2利用斯托克斯公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第12頁/共29頁二、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第13頁/共29頁思考題1)二重積分是哪一類積分?答:

第一類曲面積分的特例.2)設(shè)曲面問下列等式是否成立?

不對!

對坐標的積分與的側(cè)有關(guān)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第14頁/共29頁2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第15頁/共29頁練習:P185題4(3)

其中為半球面的上側(cè).且取下側(cè),提示:以半球底面原式=P185題4(2),P185題9

同樣可利用高斯公式計算.記半球域為,高斯公式有計算為輔助面,利用機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第16頁/共29頁例3.證明:設(shè)(常向量)則單位外法向向量,試證設(shè)為簡單閉曲面,a

為任意固定向量,n

為的機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第17頁/共29頁例4.計算曲面積分其中,解:思考:

本題改為橢球面時,應(yīng)如何計算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第18頁/共29頁例5.設(shè)是曲面解:

取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy

平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第19頁/共29頁第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第20頁/共29頁例6.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第21頁/共29頁例7.設(shè)L是平面與柱面的交線從z

軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:

記為平面上

L

所圍部分的上側(cè),D為在xoy

面上的投影.由斯托克斯公式公式目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁/共29頁D

的形心機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第23頁/共29頁作業(yè)P1843(2),(4);3(2)5;8機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁/共29頁(1)在任一固定時刻,此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是備用題

地球的一個偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像,若地球半徑為R,衛(wèi)星距地球表面高度為H=0.25R,衛(wèi)星繞地球一周的時間為T,試求(2)在解:

如圖建立坐標系.的時間內(nèi),衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少?多少?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第25頁/共29頁(1)利用球坐標,任一固定時刻監(jiān)視的地球表面積為(2)在時間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為點擊圖片任意處播放開始或暫停注意盲區(qū)與重復(fù)部分其中S0為盲