《正弦定理》設計曾宇燕

《正弦定理》教學設計福州金山中學曾宇燕教材分析正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章的內容,是使學生在已有知識的基礎上，通過對三角形邊角關系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊與角之間的數(shù)量關系。通過創(chuàng)設問題情景，從而引導學生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學生學習的興趣，并指出解決問題的關鍵在于研究三角形中的邊、角關系。在教學過程中，要引導學生自主探究三角形的邊角關系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結論，再對一般三角形進行推導證明,并引導學生分析正弦定理可以解決兩類關于解三角形的問題：（1）已知兩角和一邊，解三角形；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形。???二、學情分析????本節(jié)授課對象是高二學生，是在學生學習了必修④基本初等函數(shù)Ⅱ和三角恒等變換的基礎上，由實際問題出發(fā)探索研究三角形邊角關系，得出正弦定理。高二學生對生產(chǎn)生活問題比較感興趣，由實際問題出發(fā)可以激起學生的學習興趣，使學生產(chǎn)生探索研究的愿望。根據(jù)上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點。三、教學目標：1.知識與技能：通過創(chuàng)設問題情境，引導學生發(fā)現(xiàn)正弦定理，并推證正弦定理。會初步運用正弦定理與三角形的內角和定理解斜三角形的兩類問題。2.過程與方法：引導學生從已有的知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角正弦的比值之間的關系，培養(yǎng)學生通過觀察，猜想，由特殊到一般歸納得出結論的能力和化未知為已知的解決問題的能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，調動學生的主動性和積極性，給學生成功的體驗，激發(fā)學生學習的興趣。四、教學重點與難點：重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。難點：①正弦定理的證明；②了解已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，解的情況不唯一。五、教學過程圖11．問題引入圖1某林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情，在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別觀測到C處出現(xiàn)火情.在AC處觀測到火情發(fā)生在北偏西40o方向，而在B處觀測到火情在北偏西60o方向（如圖1），已知B在A的正東方向10千米處.現(xiàn)在請你確定火場C距A、B多遠.要解決問題，首先應將此問題轉化為數(shù)學問題“在△ABC中，已知∠CAB=130o，∠CBA=30o，AB=10千米，求AC與BC的長.”師：這里△ABC是斜三角形，問題是求△ABC的邊長AC與BC.一般應如何處理這類問題？生：通常把它轉化為直角三角形的問題來解決.學生思考后，叫兩個學生表述解題思路：學生1.過A作BC的垂線,垂足為D，則∠C=180o-130o-30o=20o，學生2.2．深入探究引導學生將上述問題一般化，即“在△ABC中，已知兩角(∠A，∠B)和一邊(c)，求其他兩邊(a,b)”的問題.師：根據(jù)上述問題的解答思路，你能否導出一個a、b的計算公式？一個學生給出對于BC，另一個學生給出的思路是如圖2，過B作CA的垂線交CA的延長線于E，則這種思路雖然簡單，但不是從學生的頭腦中產(chǎn)生的，而是教師強加給學生的，只注意教學的結果而沒有注意學生思維過程的發(fā)展，思路再好對學生的也沒有指導意義.違背了以學生發(fā)展為本的原則.事實上按照學生的思路并不麻煩，可推導如下.3．歸納、概括結論師：由上面兩個式子你能得到什么關系？生：在△ABC中，圖3師：剛才討論的△ABC是鈍角三角形，對于直角三角形和銳角三角形是否也有這樣的關系呢？圖3生1：在直角三角形ABC中，設∠C=90o，則sinC=1，對于銳角三角形，學生A的思路是在ABC中，過A作BC邊的高AD=h，則。生2：在銳角三角形中，直接有，，可得.推導方法是：.這樣對于鈍角三角形、直角三角形和銳角三角形上述關系都成立，一般地我們得到結論：在任意△ABC中，有我讓學生用語言敘述這一關系.本來我按課本上設計的表述是：在三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等.而被提問的學生的表述為：在三角形中，各邊與它所對角的正弦成正比.我順勢按照學生的表述，概括出正弦定理，并進一步追問：既然各邊與它所對角的正弦成正比，那么這個比值是多少呢？圖44．探究比值圖4師：設a是常數(shù)，我們讓點A運動，保持∠A不變，那么點A的運動軌跡如何呢？生：在圓弧上（如圖4用《幾何畫板》演示）.師：在運動過程中能否找到一個直角三角形，使得∠A是直角三角形的一個銳角？生：當BA過圓心O時，角C為直角（如圖4），比值等于△ABC外接圓的直徑，即.以下過程略；5.練習：（1）下列哪些三角形的x可以用正弦定理來求解?如果可以，應該如何求？（不必求出x的值）學生完成練習后，教師利用希沃平臺，講典型的幾種答案拍照上傳，在平臺上同時對比分析學生的不同解法，并利用白板功能實時進行批注講評。六、教學反思1．本節(jié)課雖然在教師的引導下，完成了教學任務，但是一味地為了完成任務而忽略了對學生正確思維的展開和引導.上好一堂課不僅有好的教學設計，還應有靈活應變的能力，只有從思想上真正轉變?yōu)橐詫W生的發(fā)展為根本，才不會為了進度而將學生強拉進自己事先設計好的軌道.正是教學有法，又無定法.2．問題是思維的起點，是學生主動探索的動力.本節(jié)課通過對課本引例的解決、展開，引導學生在問題解決中發(fā)現(xiàn)結論.符合認識問題的思維規(guī)律，對激發(fā)學生探究問題興趣是非常有益的.3．正弦定理的證明方法很多，如利用三角形的面積公式、利用三角形的外接圓、利用向量證明等，本節(jié)課將斜三角形的邊角關系轉化為直角三角形的邊角關系導出正弦定理，從學生的“最近發(fā)展區(qū)”入手去設計問題，思路自然，是學生們易于接受的一種證明方法.但在具體的推導時，要注意尊重學生思維的發(fā)展的過程，這是一種理念，也是一種能力.4.在教學中恰當?shù)乩枚嗝襟w技術，是突破教學難點的一個重要手段.本節(jié)課利用《幾何畫板》探究比值的值，由動到靜，取得了很好的效果.而課下學生問，∠A是鈍角的情形怎么證明呢？于是我將這一問題給學生留作思考題，即“你能否將∠A是鈍角的情形轉化為銳角的情形呢？”在教學設計和課堂教學中應充分了解學生、研究學生，備