2020中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題16-存在性問(wèn)題之45°角或等角

2020中考專(zhuān)題16——存在性問(wèn)題之45。角或等角毒毀姓名 .［方法解讀］這里所說(shuō)的用的存在性問(wèn)題主要涉及4V相（坡135,由卜兩角相等的存在性問(wèn)題.監(jiān)"角是-一個(gè)非常特殊曲題.它個(gè)儀是比用的半.也是等腰自用一曲舫的底角，解袂此類(lèi)問(wèn)題的一般策略是構(gòu)造等唯直角三用形（見(jiàn)I圄）；角的相等問(wèn)題常借助相似C全等）或琴嗖三用形求解,【例題分析】例L如圖r己抑反比例函數(shù)丫=工3>舊的圖袈經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（3,4J,在該圖象上而找一點(diǎn)F,便x￡宜州=45■則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.2 1例工如圖.在平面直用坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)』=一［%>0）的圖象與正比例函教y-kx.jp-^kM）x k的圉象分別文丁點(diǎn)兒R,檸上M中好1則△M泌的面枳是.例3.如圖，IM物線(xiàn)f=c*+bx+已經(jīng)過(guò)白（-L0；，tf（1：0>rCM）,冷二二點(diǎn)，口內(nèi)直線(xiàn)吃上方鼬物線(xiàn)上一地點(diǎn).DE1呢于E（1.'求拋物或的函數(shù)發(fā)達(dá)式；（2）如圖1,求線(xiàn)較DE長(zhǎng)度的最大值；（3）如圖2，設(shè)再日的中點(diǎn)為E連接m,CF,是否存在點(diǎn)D,使得△■CDE中行一個(gè)用丐/訐口相等？苦存在，求點(diǎn)。的橫坐標(biāo)；若不存在，諳說(shuō)明理山.摞!摞!再2【鞏固訓(xùn)練】L如圖，在、1面直向坐標(biāo)系中.OA=AB, ,反比例函數(shù)產(chǎn)=工仆>0）的圖象經(jīng)過(guò)力,XB網(wǎng)點(diǎn).花點(diǎn)力的坐標(biāo)為（小1）,則”的俏為.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系,中，直線(xiàn)y=-/機(jī)分別交x軸,丁地于兒8兩點(diǎn)，一知點(diǎn)C（2,0）.<1）當(dāng)直線(xiàn)川5經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)。到直線(xiàn)的距離是一：（2）i殳點(diǎn)尸為愛(ài)段。8的中點(diǎn)，連結(jié)a1,PC,若N5乙480.則加的值是.3.如圖.拋物線(xiàn)y=--舐+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),14經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0.2）./）（3.1）.點(diǎn)產(chǎn)是y軸右側(cè)的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)/也=45°時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).4如圖,直線(xiàn)尸3x和雙曲線(xiàn)產(chǎn)色（Q0）交于點(diǎn)4點(diǎn)尸為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),且/尸04x=/1+/2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).5,.如圖,二次^數(shù)尸〃*+(加-加)x-2m+1的圖象與x軸交于點(diǎn)4、8,與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為1.(I)求二次函數(shù)的表達(dá)式及小8的出櫬:(2)若P(n.t)(/<-I)是y軸上一點(diǎn).0(-5.0).將點(diǎn)0繞著點(diǎn)尸順時(shí)針?lè)较蛐忭?xiàng))'得到點(diǎn)￡當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時(shí)，求［的值，(3)在(2)的條件下，連接4D-4E.若“是該二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，W^DAEtMCB，求點(diǎn)6.如圖，拋物線(xiàn)yaF+m-3a經(jīng)過(guò)4(7,0)、C(0,3)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)8.(I)求此拋物線(xiàn)的解析式；(2)己知點(diǎn)。3〃，"什1)在第一象限的拋物線(xiàn)上,求點(diǎn)。關(guān)尸直線(xiàn)8c對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)第'的坐標(biāo):(3)在(2)的條件下,連接BD,問(wèn)在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使NDBP450?若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.7.如圖，己知拋物線(xiàn)尸?被+叱。經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(0,3),7(3,0)：過(guò)4作力勿x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)8,連接AC.BC,點(diǎn)戶(hù)為拋物線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)解析式：(2)當(dāng)/為慶=/夕￡4時(shí).求點(diǎn)〃的坐標(biāo)：<3>當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線(xiàn)上陽(yáng)兩點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)〃為內(nèi)軸上-動(dòng)點(diǎn)，連接/以力。使用lunN力n—2,旦,"，交『點(diǎn)名過(guò)Gf、G〃LW交僅F點(diǎn)"設(shè)點(diǎn)〃的坐標(biāo)為《〃/，〃》,求〃美于〃，的函數(shù)關(guān)系式.8.如圖，任平山"［用坐標(biāo)系戈小中，頂點(diǎn)為例的拋物線(xiàn)是由拋物線(xiàn)y=F-3向右平移一個(gè)單位后得到的，它與p軸負(fù)半軸交于點(diǎn)力，點(diǎn)8在該掘物淺上，旦橫坐標(biāo)為3.(1)求點(diǎn)M、A.8坐標(biāo)：(2)連接，8,AM.B以求N45M的正切值：(3)點(diǎn)尸是頂點(diǎn)為M的拋物線(xiàn)上一點(diǎn),且位于對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè),設(shè)一。與X正半軸的夾角為a,當(dāng)a=N48M時(shí),求戶(hù)點(diǎn)坐標(biāo).M2020中考專(zhuān)題16—存在性問(wèn)題之45°角或等角參考答案例1.解：方法-、過(guò)點(diǎn)F作月4Ix軸于點(diǎn)4過(guò)點(diǎn)尸作PBIx和十點(diǎn)如圖所示.;點(diǎn)E（3,4）在函數(shù)y=上的圖象上，???"=3X4=12,x???設(shè)點(diǎn)戶(hù)的坐標(biāo)為（〃，絲），則點(diǎn)力（3,0）,點(diǎn)8",0）,nSi=3…巧叫■(PB+EA).m6+小*4….3)=2”*6.SOEP=SWH彤OBPE-S^ORP=2n由兩點(diǎn)間的距離公式可知：6)￡=Vs2+46)￡=Vs2+42=5*OP=S、qe?=±OE?OP?sm/E。P=即7/?-576>r-1008=0.解得：〃=84或〃2=-84（舍去）， n|…》0??￥??????修=2,/21,小=?2?/21（舍去）? /???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2收，名答）； 0\方法二、如圖，過(guò)小e作LrrOE交OP『點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)E作EN±y細(xì)，垂足為N,過(guò)點(diǎn)/,,作卜加kNE于點(diǎn)、M，:?NONE=NEMF=9aQ,工NNOE+/（）EN=9C,VZO￡F=90q,:?NOEN4/FEM=90。,:?NNOE=，MEF,若/POE=45°,則。E=EE在△ONE和AMEF中，None=/emf=90°ZNOE=ZIEF,：.2ONEWAME1；(AAS),OE=EF:?EM=ON=4、MF=NE=3,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（7,I）,???代線(xiàn)。尸的解析式為y-"x,1尸產(chǎn)巾，解得x=2421或x=-2421（舍），_XOy=x當(dāng)x=2折時(shí).7=—即點(diǎn)0（2V21.2察）.X2V21 21 7 7故答案為：（2。21,第L）.例2.【答案】2【解析】過(guò)點(diǎn)。作OC，48.垂足為C過(guò)點(diǎn)A；乍4MLy軸，垂足為，兒過(guò)點(diǎn)8作BNJ_x軸，延足TOC\o"1-5"\h\z2 2為N.設(shè)點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為。，則點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為一.；點(diǎn)A&,次函數(shù)數(shù)y=/（x上，六一=ko.ka a2 a2 a2 2 2—.JOB所在豈線(xiàn)的解析式為y—x.令一x—.得x-.ya..\0A08,^OAMa’ 2 2 x a織△OBM???N40B=45',：.^AOC=ZAOM.J△OAlVf經(jīng)△OAC?：.Soa3=2Soam=2.故填2?:?赳DE\38ROC,A-=-:?赳DE\38ROC,A-=-DMBCTOC\o"1-5"\h\z3a——a-/)+c=0 4例3.解：(1)由題意號(hào)，＜16a-4〃+c：0,環(huán)得，=g9，尸——父+一工+3,4（2）設(shè)直線(xiàn)仇、的解析式為.產(chǎn)就出.?”「…，解浦尸33.g|小49設(shè)〃（a,一2/+-〃+3）（0<a<4）.4過(guò)點(diǎn)〃作〃Mix軸交8「廣況???〃（&,--^3）.4?:乙DZE乙0C氏NDEVZCOB.4???如I,妗3,???戈工5,，除一兇.5一之?-2）;丑?ha2時(shí)，比'取最大值，最大值是5' ' 5 5（3）間設(shè)存在這樣的點(diǎn)。.使用△（加中有,個(gè)角與/仆'〃相等.

i nrOF??才是,仍的中點(diǎn)，：.0『二,lanZr/71%--2OF過(guò)點(diǎn)/ME月GL比交加的延長(zhǎng)線(xiàn)于6,過(guò)點(diǎn)G作Mix軸，垂足為〃-DELBC.故/加90。,則只存在另外兩個(gè)角與上8。相等.()c①若//比冷/。陽(yáng)，；?urn/比9一—2,???/吩10?OFBOOCBCJG28,ZtfZ=6.：.（；<10,?）.設(shè)宜線(xiàn)”的解析式為廣5從群得卜=3，.??產(chǎn)g戶(hù)3.TOC\o"1-5"\h\z[一_ \b=31,『"3 7依題意得， - ，解得產(chǎn),，或產(chǎn)0(舍).I 329, 3,y=——x十一刀十3ir 44②七NXDa4CFO,同理可得，〃&工，G42,/屏W,.-.6^(-?2).2 2 2同理可得，宜線(xiàn)團(tuán)的解析式為廣一輸戶(hù)3.——X4-3依題意得.11 .解得外坐，或尸0（舍）,依題意得.--r2+?x+34 4綜上所述,存在〃使得△口吠中有?個(gè)角i」N<7M相等，其橫坐標(biāo)為g或號(hào).綜上所述,【鞏固訓(xùn)練】答案1峪作/￡l.x軸于￡,幻」*軸于匕過(guò)△點(diǎn)作8rLy軸于G交/出于G,如因所示：則/GLBC.90。，—OAE+NBAG90°,???乙。/gNAOE=90°,:?乙AOE=2GAB,rZA0E=ZGAB在△/1九和A6/1G中.?NAE0=NAGB=900?￡0二ABA^AOE^ABAGO,?*?OEAG9AEBGt1點(diǎn)4?,1）,：.AG=0E=n,BG=AE=\,：.B（n+b1?/i).：.knX\(/t+1)(1?〃),整理得：/+“.]o,解除片邛L(負(fù)值舍去)一?”警..》=緡L：故答案為：42 2 2 2

(1)當(dāng)直.線(xiàn),歷經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)/與點(diǎn)C重合，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+，〃=0,即加=2.所U直線(xiàn)AB的解析式為y=r+2,則B(0.2)JO2=Q4=2,,必=26.設(shè)點(diǎn)。到總線(xiàn),5的距離為a由= 得一2 24=2。2乩則"=滅.故答案是：<2.<2）作。。=0C=2,連接CDWJZPDC=45°，如圖,由y=?x+〃j可得］（，”?0）,B（0.M,所以。力=08.則/。8/=/。,48=450.當(dāng)mVO時(shí),44PON。的=45°,所以，此時(shí)NCB4>45°.故不舍盛意.所以機(jī)>0.因?yàn)?所以，PD=CD

而一而解存m=\2.故答案是:12.所以N8/M+NO尸CZBAP-ZBPA1350-IIPZOPC所以，PD=CD

而一而解存m=\2.故答案是:12.3.解：???點(diǎn)C(0,2)、D(3,1)在拋物線(xiàn)-di岳*+c匕c二27,解得方=《，c=2,，拋物線(xiàn)的解析式為：尸-u4x+2.-9+3b+c=y 2 2乙(3)存在.理由：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，〃，則尸(”，一后?2)，F(xiàn)(///,1,a/i2>.如答圖2所示，過(guò)點(diǎn)。作C”《LP石于點(diǎn)“，則CW=〃z,EM=1,-EM—Ln,JtanNC尸M—2.? 2在Rt^CFM中，由勾股定理得：cr=苧〃.過(guò)點(diǎn)P作PN1CD『點(diǎn)AA則PN=FN，tan/PFN=Wtan乙CFM=2FN.二NPCF=45",:?PN=CW而PN=2FN,：.FN=CF=,PV=2F/V=V&;t.在RtAWW中,由勾股定理得:^=7fN2+PN2=1,?/-4\9PF=yp）v=（"J十工〃j+2）-（—///+2）=-〃/+3/〃，nvyni, 2 2

整理得：〃P-L"-o,解得〃i—o（舍去）或X）；TOC\o"1-5"\h\z2 2 22同理求得,另一點(diǎn)為尸（孕，絲）.6 18,符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)為足，《）或（學(xué)，圣）.22 5 184,解；過(guò)*4作k4,解；過(guò)*4作k平行線(xiàn)交y軸卜點(diǎn)后過(guò)點(diǎn)，作,軸的平行線(xiàn)交x軸「點(diǎn)八交以于點(diǎn)3,連接HP,如圖所示.將?次函數(shù)解析式產(chǎn)=3x代入到反比例函數(shù)解析式<x>0）中,3x=—>即3/=3,解得:1=1,或無(wú)=-1（舍去）x當(dāng)X=1時(shí)，產(chǎn)第=3,，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（L3）.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃，3）（〃>0），n貝|JO〃="，OE=3,BP=3?之,力6二印-1,noj=V12+32=^of=\ln2+（-）2-VZPa4=ZHZ2,IlZPOJiZHZ2=90°.：.^POA=45^.SpOA—S^OFBE-S^OAE-S/QPF'Sb6SpOA—S^OFBE-S^OAE-S/QPF'Sb6〃一3”|.1.103-2)(,.n4(H±)(h-1)=—(n--).2n?/-OA?OP-sinZPOA=^^n2+(-)2==4(〃-5)，即4〃4-I8M-36=o,解得；〃』6,或/=-與(舍去).2。6，?,?點(diǎn)尸的坐標(biāo)為川6,爭(zhēng).25..降(1；?.拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為I,J多工二1，2m解得，吶7,加盧0(舍去)，二次函數(shù)的發(fā)達(dá)式為j?凸2什3.當(dāng)3，=0時(shí).-/+2》+3=。?解得,h=-I..n=3,：.A(7.0),A(3,0)?(2)如圖1.過(guò)點(diǎn)￡作￡〃力,軸F點(diǎn)〃，??ZP06KN。20=90°,/OP①NHPE=91.:?乙HPE=^PQO,山旄轉(zhuǎn)知，PQPE,rZPHE-ZQ9P-90°在△加〃和△P。。中，JZHP￡=ZFQO，：.4EPH^4FQO,PQ=PE：.EH=OP=-f,HP=0O=5：.E( 5+/>當(dāng)點(diǎn)￡恰好隹該二次函數(shù)前圖象上時(shí)，有5r=-1-2什3解得心-2,7(由于，〈-1所以舍去)，(3)設(shè)點(diǎn)MQ,-/+加+3)①普點(diǎn)M在x釉上方，如圖2,過(guò).點(diǎn)M作MNIy軸卜后N,過(guò)點(diǎn)Z)件DF±x軸于點(diǎn)F.??/￡JA=NOCS=45°,ZDAE=/MCB:?NMCN=NDAF2NMCNs2daf,：.蛔4,HP-DFFA4 2，a［嘮，g=0(舍去)?'?11(y,1)'②若點(diǎn)M在x軸卜方，如圖3,過(guò)點(diǎn)必作MV。軸干點(diǎn)M過(guò)點(diǎn)。作DHL軸于點(diǎn)F.；/EAB=NOCB=4"ZDAE=，MCB:.NMCN=/ADF2??dMCNs&4DF?,網(wǎng)4,R哼二0-22AFDF2 4"=4,s=0(舍去)(4,-5)綜上所述，n(y,、■)或,W(4,-5).圖1圖圖1圖2圖36解:（1）???拋物線(xiàn)聲加-3。經(jīng)過(guò)/（-1,0）、C（0,3）兩點(diǎn),???代入4C點(diǎn)坐標(biāo)得:ab3a0解得：° 1.〃2,■.v???代入4C點(diǎn)坐標(biāo)得:-3a=3（2）將。點(diǎn)代入拋物線(xiàn)解析式得，/1=?十42m+3.解得，叨=2,〃〃=-1（不符合題意.金去）???D點(diǎn)中標(biāo)（2,3>；:?AB"DC,乙力CB=48c=45°=SCO,???點(diǎn)。美「8C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。,落花。r」，???8=C￡T=2，???。坐標(biāo)（0?1）:（3）假設(shè)存在點(diǎn)r使得二。3尸=45°交y軸于點(diǎn)八作。關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。',連接DD發(fā)8c于點(diǎn)￡,連接BD,AC,BF,??-/+2什3=01寸,x-l成3,二點(diǎn)8電標(biāo)(3.0),:???-/+2什3=01寸,x-l成3,二點(diǎn)8電標(biāo)(3.0),:?BC-3?.VC/->-2.8—2,少一2、'2?CE7M，RE-RC-ClNB，:乙CB。NDBF450,:?NDBE乙ABF,?；"BP=(ABC=45°,NDBE= NDEB=乙卜OB=90,:.\FOBs區(qū)DEB、.?.型=些，即卓DEBEV22V2，F(xiàn)C=三,：.F(0.三),9：R(k0),設(shè)直線(xiàn)8廣解析式為ph/4代入&/點(diǎn)坐標(biāo)得:直段BF轉(zhuǎn)析式為尸-N冬，22設(shè)直線(xiàn)8廣ij拋物線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)為（a,.y）.o

y=r+2x+3.解得:y=17_Tx9=3（不符合題意.舍去），y2=0工存在尸點(diǎn)坐標(biāo)為（二,工）247.(1)J(0,3),C(3,0)代入得:c=3-9+3b+c=0解解/12,c3.???拋物線(xiàn)的解析式為I?f+2x+3；（2）如圖1中,當(dāng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上BC兩點(diǎn)之間時(shí),連接乃I交BC于E,作BKLOC于M,EMLBM于M?：/PAB=/ACB?ZABE=/AHC.11:?8ABEs^CBA,=—> = —?SC=4.CBAB;BC=V10. 10,?—喘?！鲎T2r—BNJ^IO—EN

可一而~EN=2,??.￡(絲.5 5 5—).V/l(0.3),5在線(xiàn)AE的解析式為y=-114-3.tir1

y=-^x+32鋅得y==-J+2x+3,5

x.271R7VJ（U,3）,:?P（2,-）,

24根據(jù)對(duì)稱(chēng)性宜城4尸關(guān)于直賽43的對(duì)稱(chēng)的直埃,4P的解析式為>="什3,綜上所述,滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸坐標(biāo)為尸（?.-）成（4-學(xué)）：24 24(3)如圖