高數(shù)-11期中答案數(shù)學與統(tǒng)計學院

大學數(shù)學大學數(shù)學與統(tǒng)計學院《高（2011－2012第一學期）期中試題1、x

xln(11x2 cos2、求函數(shù)f(x)(x2)sinx的間斷點， 類型x(x23、設(shè)函數(shù)yy(x由方程xy2lnxy4確定，求函數(shù)yy(x在x1,y14f(xf'(x0xg(y與yf(x)f'(xf''(x)來表示g''(y) 5、求對數(shù)螺e（由極坐標方程給出）在，e2，處的切線的直角坐 26、一飛機在離地面2km的高度，以200kmh的速度飛行到某目標上空，以便進行航空攝影，試求飛機飛e1cosxesin3xln(1tanx

1x 1sincos8、求極限

cos

n （8分）設(shè)limfxA，極限limgx不存在，試問極限limfxgxx x x （已知ln1.50.41 3x xx（8分）當,取何值時，函數(shù)f(x)sinx x 在x0處連續(xù)；何時在x0處可導（8分）f(x是周期為2012的連續(xù)函數(shù)，證明：存在0,2011]f()f(（10）f(x在[0,1]f(x)af(x)b，其中a,b負常數(shù)，c是(0,1f(c)2a2xt33t（10分）設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程 確定，判斷函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點yt3t曲線yy(x《高（2011－2012第一學期）期中試題解答xln(11、x 1x2 cos解x

xln(1cos1x21xlimxx(1x2 cosx)cos1x21xx 1x2cos x x01x2cos2 x

2

2 x01x2cos(x2)sin

x02xsin

x02cos )

x(x2

f(x的間斷點為x0x2x(x2)sin sin 因為f(00)lim lim x0x(x2 x0x(x f(00)lim(x2)sinx sin 1x x(x2 x0x(x x0因為x

(x2)sinx(x24)(x2)sin

x

sin x(x2)sinx

sin，所以 8因為x x(x

x x(x

，所以x23、設(shè)函數(shù)yy(x由方程xy2lnxy4確定，求函數(shù)yy(x在x1,y12解：兩邊對x求導：yxyx

4y3y，將x1,y1代入得y2兩邊再對x求導：yyxy 12y2y24y3yx將x1,y1y1代入得yx1y4f(xf'(x0xg(y與yf(x)f'(xf''(x)來表示gg'(y)

f故g''(y)d(g'(y))d 1)d )dx f f dyf f'(x) [f f [ 5、求對數(shù)螺e（由極坐標方程給出）在e2處的切線的直角 2x 解 其轉(zhuǎn)換為參數(shù)方

y

y

這時 看作參變量，利用參變量方程的求導方法，我們dydecossincos

ecossin cos

cossincoscossincosdx

1，x 2

e

0，y 2

e2 因此，所求切線方程為ye21x0，即xye6、一飛機在離地面2km的高度，以200kmh cot

，arc

dt1x21dx2(2 d 把x0dt200km/h代入上式，得:1cosxesin3xln(1tanx

12(200)100(rad/h)36(radx 1x 1sine1cosxesin3xln(1tan

esin3xe1cosxsin3x1x11 1sinx

x 1x 1sin x xsin2limx(1cosxsin3x) xx x

xsin2 1cosxsin3x2

lim

1cosx2 01cos

x0 cos

x 28、求極限

n

cos

cos(2n1)nn

[2sincos2sincos3 2

cos(2n1)nn2

1[sin20sin4sin2 sinsin(2n2)nn2

1 2 lim nn2

nsin （8分）設(shè)limfxA，極限limgx不存在，試問極限limfxgx是否存在？并證x x x解：limfxgxlimfxgx存在，由極限limfxAx x x limfxgxfxlimfxgxlimfx存在，即極限limgxx x x x在，這與題設(shè)中l(wèi)imgx不存 ，因此極限limfxgx不存在 x x （已知ln1.50.412x3

2x 3解：設(shè)fxx2

1x，則fxx 2x

3 在0， 內(nèi)的唯一駐點為：x

34.9，當1x

2fx0

x ln2

ln2

ln2fx

2所以x 是函數(shù)fxx2 在區(qū)間1x上的極大值點，也是最大值點 ln22

3

2 2由于4x 4.95，且f442 16 ln2

3 3n 502

2 2f52

f4，所以數(shù)列nf5 3 3 xx

3x

x 在x0處連續(xù)；何時在x0處可導解：函數(shù)在x0處連續(xù)，則函數(shù)lim(xcos1x )當0lim(x)

cos

0，而當0lim(x

不存在x x 函數(shù)在x0處連續(xù)，則函數(shù)在x0處左連續(xù)，lim(sinx2)xxcos f(0)=0，欲

xxlim

1

存在，則1，此f'(0)0f'(x

x 所以10時，函數(shù)在x0（8）f(x是周期為2012的連續(xù)函數(shù)，證明：存在0,2011]f(f(1)F(xf(xf(x1)，則F(x在[0,2011]f(x是周期為2012的周期函數(shù)，所以f(0)f(2012)，從而F(0)F(1)F(2011)[f(0)f(1)][f(1)f(2)][f(2011)ff(0)f(2012)0，即F(0)F(1)F(2011)f(x在[0,2011]上連續(xù)，所以F(x在[02011]上連續(xù)，故存在mminF(i),MmaxF(i)，且 1nm F(i)M，則在區(qū)間[0,2011]上介值定理知存在0,ni1 使得F() F(i) [f(2012)f(0)]0，也就是存在[0,2011]，使得f()f( i（10）f(x在[0,1]f(x)af(x)b，其中a,bc是(0,1)

f

2a2證明：f(x在[0,1]上具有二階導數(shù)，故存在1(0,cf(0)f(c)f(c)(0c)1f()(0 同理存在(c,1)使 f(1)f(c)f(c)(1c)1f()(1 將上面的兩個等式兩邊分別作差，得f(1f(0f(c1f()(1c)21f( f(c)f(1)f(0)f()(1c)21f( 1212因 f(c)f(1)f(0) f()(1c)2 f()c22ab(1c)2b1212而(1c)2

2c22c12c(c1)11fxt33t

2a2（10分）設(shè)函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程 確定，判斷函數(shù)y(x)的單調(diào)區(qū)間、極值點曲線yy(xxt33t t2

3t

，令y0t1（x35yt3