實對稱矩陣的對角化

1§4.3

實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質二、求正交矩陣的方法三.小結與思考題2實對稱矩陣是一類特殊的矩陣,它們一定可以對角化.即存在可逆矩陣P,使得T

，使得定理4.6

實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).注：①任意實n階矩陣的特征值不一定是實數(shù)．一.實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質②由于實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù),故方程組設為實系數(shù)方程組，所以它必有實特征向量．,更可找到正交矩陣3定理4.6的意義表明：實對稱矩陣A的特征值為實數(shù),所以齊次線性方程又因為組是實系數(shù)方程組.有實的基礎解系,從而對應的特征向量可以取實向量.,可知該齊次線性方程組一定定理4.7

實對稱矩陣A的對應于不同特征值的特征向量正交.證

設1,

2是實對稱矩陣A的兩個特征值,且分別是A對應于1,2的特征向量．即4則即因為A為實對稱矩陣，用X2

右乘上式兩端,得

由于1不等于2，所以故X1

與X2

正交．5定理4.8設

A實對稱矩陣，0為A的k重特征值，則推論任意實對稱陣必與對角陣相似．定理4.8另一種表述為：實對稱矩陣A的屬于k重特征值0的線性無關的特征向量恰有k

個.定理4.9

對于任意一個n階實對稱陣A，都存在一個n階正交矩陣Q，使對角陣

定義4.4

設A、B是兩個n階矩陣，若存在正交矩陣Q，使得則稱矩陣A與B正交相似．6二、求正交矩陣的方法將n階實對稱矩陣A的每個k重特征值對應的k個線性無關的特征向量用施密特方法正交化后,它們仍是A的屬于特征值的特征向量.可見,

n階實對稱矩陣A一定有n個正交的特征向量,再將這n個正交向量單位化,得到一組標準正交基,用其構成正交矩陣Q,有其中為A的n個特征值.于是得出7求正交矩陣Q,把實對稱矩陣A

化為對角陣的方法：1.解特征方程求出對稱陣A的全部不同的特征值(根).即求齊次線性方程組的基礎解系.3.將屬于每個i的特征向量先正交化，再單位化.2.對每個特征值i,求出對應的線性無關特征向量,這樣共可得到n個兩兩正交的單位特征向量為列向量構成正交矩陣8即必須注意:對角陣中有的順序要與特征向量的排列順序一致.9例1設矩陣求正交變換矩陣Q使A相似于對角陣．解將矩陣A的特征值i分別代入齊次線性方程組為10求解可得相應的線性無關且正交的特征向量為將它們單位化，得由于這是三個不同的特征值,對應的齊次線性方程組分別為：11因此正交變換陣Q為12則13例2設矩陣求正交變換矩陣Q使A正交相似于對角陣．解由解得矩陣A的全部特征值為14得A的屬于特征值8的線性無關特征向量為將X1

單位化得15解齊次線性方程組

得A的屬于特征值2的線性無關特征向量得用施密特方法正交化并單位化得兩個長度為1且相互正交的向量為16于是得正交變換矩陣17則例3

設矩陣求正交矩陣Q,使得Q-1AQ為對角陣.18解由19解得基礎解系只需把X1

單位化，得20解得基礎解系只需把

X2

單位化,得21解得基礎解系只需把X3單位化，得得正交矩陣Q有22

設3階實對稱方陣A的特征值為1,2,3,A的屬于特征值1,2的特征向量分別是

X1=(-1,-1,1)T

,X2=(1,-2,-1)T,求方陣A和A的屬于特征值3的特征向量.三.小結與思考題思考題11.了解實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質.2.掌握求正交矩陣Q

把n階實對稱矩陣對角化的方法.23設A的特征值3所對應的特征向量為因實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交,于是思考題1解答24即解得基礎解系則A的屬于特征值3的全部特征向量為25由26判斷n階矩陣A、B是否相似,其中思考題227由即因為A是實對稱矩陣,故存在可逆矩陣P1，使得思考題2解答28又可見,B與A有相同的特征值.對于B的n-1重特征根因為R