第03講(席)概率論數(shù)理統(tǒng)計

B1B2B3B4B5B6B7B8A一、全概率公式在概率論中常常會遇到一些較復(fù)雜的事件。這就提出如下問題：復(fù)雜事件A的概率如何求？§1.6全概率公式與Bayes公式定義

設(shè)為試驗S的樣本空間，B1,…Bn為S的一組事件。若（1）B1,…Bn互不相容，i=1,…,n

（2）則稱B1,…Bn為完備事件組。定理6.1上式稱為全概率公式

.設(shè)

為試驗S的樣本空間，A

為S的事件，B1,…Bn為完備事件組，且P(Bi)>0,i=1,…,n,則注:

由全概率公式也可以證明抽簽問題,

見書p21例6.1.

例6

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球的概率.解：記

A

={取得紅球}

且

AB1、AB2、AB3兩兩互斥P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)運(yùn)用加法公式得123Bi={球取自i號箱},

i=1,2,3;對求和中的每一項運(yùn)用乘法公式得代入數(shù)據(jù)計算得：P(A)=8/15P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)

分析某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因（或途徑，或前提條件），i=1,2,…,n。如果A是由原因Bi

所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(BiA)=P(Bi)P(A|Bi)由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系.B1B2B3B4B5B6B7B8A諸Bi是原因A是結(jié)果全概率公式的應(yīng)用我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率返回主目錄把看作該過程的若干個原因,例7

發(fā)報機(jī)發(fā)出“.”的概率為0.6，發(fā)出“—”的概率為0.40；收報機(jī)將“.”收為“.”的概率為0.99，將“—”收為“.”的概率為0.02。求收報機(jī)將任一信號收為“.”的概率

.解:

設(shè)

A={收報機(jī)將任一信號收為“.”},實(shí)際中還有下面一類問題，“已知結(jié)果求原因”

這一類問題在實(shí)際中更為常見，它所求的是條件概率，即已知結(jié)果發(fā)生的條件下，求某原因發(fā)生可能性的大小.例8

某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號箱的概率.1231紅4白二.貝葉斯公式記Bi={球取自i號箱},i=1,2,3;

A={取得紅球}求P(B1|A)運(yùn)用全概率公式計算P(A)將這里得到的公式一般化，就得到1231紅4白?定理6.2設(shè)為試驗S的樣本空間，A為S的事件，B1,…Bn為完備事件組，且P(Bi)>0,i=1,…,n,

P(A)>0，則有上式稱為貝葉斯公式

.Bayes公式的應(yīng)用我們把事件A看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，

如果已知事件A已經(jīng)發(fā)生，要求此時是由第i

個原因引起的概率，則用Bayes公式返回主目錄把看作該過程的若干個原因,貝葉斯公式在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件A）發(fā)生的最可能原因.

一個應(yīng)用是疾病普查問題見書p25例6.4.例9

某廠產(chǎn)品96%是（真）合格品。有一驗收方法，把（真）合格品判為“合格品”的概率為0.98，把非合格品判為“合格品”的概率為0.05。求此驗收方法判為“合格品”的一產(chǎn)品為（真）合格品的概率解:設(shè)A={一產(chǎn)品經(jīng)驗收判為`合格品’}

1.事件的頻率（frequency）

設(shè)A為試驗S的事件，在相同的條件下把試驗S獨(dú)立的重復(fù)進(jìn)行N次，我們稱

fN

(A)=N次試驗中A發(fā)生的次數(shù)N是N次獨(dú)立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率§1.7概率與頻率直觀想法是用頻率來近似事件A

在一次試驗中發(fā)生的可能性的大小，但是這種近似是否可行呢？擲一枚均勻硬幣，記錄前400次擲硬幣試驗中頻率P*的波動情況。（橫軸為對數(shù)尺度）

2.頻率的穩(wěn)定性

長期實(shí)踐表明，在重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的頻率fn(A)總在一個常數(shù)值附近擺動，而且，隨著重復(fù)試驗次數(shù)n

的增加，頻率的擺動幅度越來越小.觀測到的大偏差越來越稀少，呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性.3．概率的頻率定義

在一組不變的條件下，重復(fù)作n次試驗，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率fn(A)

穩(wěn)定地在某數(shù)值p附近擺動。稱數(shù)值p為事件A在這一組不變的條件下發(fā)生的概率，記作

fn

(A)=p4．頻率定義概率的意義（1）它提供了一種可廣泛應(yīng)用的，近似計算事件概率的方法。（2）它提供了一種檢驗理論正確與否的準(zhǔn)則。Yes.Itisconsiderablyimportant!相當(dāng)重要!IsChapteroneimportant?第一章很重要嗎?（第一章到此結(jié)束）希望同學(xué)們認(rèn)真總結(jié)復(fù)習(xí)第一章的內(nèi)容.1、袋中有4個紅球和一個白球。每次隨機(jī)地任取一球不放回，共取5次。求下列事件的概率：A：前三次取到白球B：第三次取到白球。解：習(xí)題一2、將10個球隨機(jī)地放入12個盒中，每個盒容納球的個數(shù)不限，求下列事件的概率：（1）“沒有球的盒的數(shù)目恰好是2”=A；（2）“沒有球的盒的數(shù)目恰好是10”=B。

解：3、袋中有2n-1個白球，2n個黑球。今隨機(jī)地不放回地從袋中任取n個球，求下列事件的概率：1）n個球中恰有一個球與其n-1個球顏色不同=A；2）

n個球中至少有一個黑球=B；3）

n個球中至少有2個黑球=C。解：4、設(shè)事件A,B滿足

求P(B)。

，且知

解：5、設(shè)隨機(jī)事件A,B及其和事件AB的概率分別為0.4,0.3和0.6，求解：7、在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率是0.2，若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行回?fù)簦瑩袈浼讬C(jī)的概率是0.3。若甲機(jī)未被擊落，則再次進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率是0.4。求這幾個回合中，甲機(jī)被擊落的概率及乙機(jī)被擊落的概率解：設(shè)A表示甲機(jī)第一次擊落乙機(jī)，B表示乙機(jī)擊落甲機(jī)，C表示甲機(jī)第二次擊落乙機(jī)，D表示甲機(jī)被擊落，E表示乙機(jī)被擊落。8．一批產(chǎn)品有10個，其中4個是次品，今隨機(jī)地不放回地抽取2次，每次任取2個產(chǎn)品，求第二次任取的二個產(chǎn)品都是次品的概率。解：設(shè)A表示第二次任取的二個產(chǎn)品都是次品Ai表示第一次任取的二個產(chǎn)品中次品的個數(shù)為i件i=0，1，2由全概率公式得9．袋中有2個白球和8個黑球。今有甲、乙、丙三人按此順序和下述規(guī)則每人從袋中隨機(jī)地取出一個球。規(guī)則如下：每人取出球后不放回，再放入一個與所取的球的顏色相反的球（即取出白球放入黑球；取出黑球放入白球）。求丙取到白球的概率。

解：設(shè)A表示丙取到白球

B表示乙取到白球

C表示甲取到白球

由全概率公式得10、設(shè)一大炮對某目標(biāo)進(jìn)行n次獨(dú)立轟擊的命中率都為p，若目標(biāo)被擊中k次，則目標(biāo)被摧毀的概率為

求轟擊n次后目標(biāo)被摧毀的概率

解：設(shè)A表示轟擊n次后目標(biāo)被摧毀

Bk

表示轟擊n次后目標(biāo)被命中了k次,k=0,1,…n由全概率公式得

11、設(shè)有一批產(chǎn)