第5章 剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題課 (2)課件

2023/1/141剛體力學(xué)基礎(chǔ)

習(xí)題課2023/1/142一、基本概念1.剛體及其平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)理想化的力學(xué)模型

特性：特殊的質(zhì)點(diǎn)系(牛頓力學(xué))剛體力學(xué)基礎(chǔ)

剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離的平方的乘積的總和。2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能(剛體中各質(zhì)元的總動(dòng)能)2023/1/1434.力矩及其功和功率（1）對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩（2）力矩的功(力矩的空間積累效應(yīng))總功：元功:（3）功率：2023/1/144(1)沖量矩力矩乘以力矩所作用的時(shí)間。力矩在t1→t2內(nèi)總沖量矩：元沖量矩：（力矩對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)）5.沖量矩和動(dòng)量矩(2)角動(dòng)量（動(dòng)量矩）

剛體對(duì)固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的角動(dòng)量,等于它對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積。2023/1/1452.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所做的功等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。1.

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸的合外力矩等于剛體對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。二、基本規(guī)律2023/1/1464.角動(dòng)量守恒定律如果剛體所受的對(duì)于某一固定軸的合外力矩為零，則它對(duì)于這一固定軸的角動(dòng)量保持不變。3.剛體的角動(dòng)量定理微分形式：5.機(jī)械能守恒對(duì)于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立。積分形式：2023/1/1471.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題解法：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述關(guān)系2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算解法：（1）定義法：三、習(xí)題基本類型

Ov定軸Pzr2023/1/148（2）平行軸定理若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對(duì)其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，則有

J＝JC＋md2。3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題解法：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律步驟：（1）審題，確定研究對(duì)象；（2）建立坐標(biāo)系；（3）對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析和受力矩分析，并按坐標(biāo)系的正方向?qū)懗鐾饬氐谋磉_(dá)式及規(guī)律方程（注：受力分析和受力矩須取隔離體），并用線角量關(guān)系將F=ma與M=J聯(lián)系起來；（4）計(jì)算對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（5）解方程，求未知，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的討論。2023/1/1494.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功能問題解法：利用動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律5.角動(dòng)量原理及角動(dòng)量守恒定律6.混合題型解法：

應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、轉(zhuǎn)動(dòng)定律和角動(dòng)量守恒定律。四、典型習(xí)題分析與講解2023/1/1410ω=60rev/min=1rev/s=2πrad/s1.

(P2417).一剛體以每分鐘60轉(zhuǎn)繞z軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)(沿Z軸正方向)。設(shè)某時(shí)刻剛體上一點(diǎn)P的位置矢量為,其單位為“10-2m”，若以“10-2m?s-1”為速度單位，則該時(shí)刻P點(diǎn)的速度為：分析：∴P點(diǎn)在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)對(duì)圓心o′的矢徑為:該時(shí)刻P點(diǎn)的速度為:∴選（B）2023/1/14112.(P2418).質(zhì)量為m的小孩站在半徑為R的水平平臺(tái)邊緣上，平臺(tái)可以繞通過其中心的豎直光滑固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。平臺(tái)和小孩開始時(shí)均靜止。當(dāng)小孩突然以相對(duì)于地面為V的速率在臺(tái)邊沿逆時(shí)針轉(zhuǎn)向走動(dòng)時(shí)，則此平臺(tái)相對(duì)地面旋轉(zhuǎn)的角速度和旋轉(zhuǎn)方向分別為[]（C），順時(shí)針；（D），逆時(shí)針。（B），逆時(shí)針；（A），順時(shí)針；∴選（A）分析：同課本p120.5-14選逆時(shí)針為正2023/1/14123.（p29.

45）

半徑為20cm

的主動(dòng)輪，通過皮帶拖動(dòng)半徑為50cm的被動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)。主動(dòng)輪從靜止開始作勻角加速轉(zhuǎn)動(dòng)，在4s內(nèi)，被動(dòng)輪的角速度達(dá)到8πrad.s-1，則主動(dòng)輪在這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過了_____圈。則兩輪邊緣上點(diǎn)的線速度大小相等：主動(dòng)輪在4s內(nèi)的角位移解：t=4s時(shí)，2023/1/14134.(P2946)一可繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的飛輪，在20N·m的總力矩作用下，在10s內(nèi)轉(zhuǎn)速由零均勻地增加到8rad/s，飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝

。

初角速度為:ω0=0末角速度為:ω=8(rad/s)角加速度為：解：利用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的轉(zhuǎn)動(dòng)定律2023/1/1414

5.

(P2947)一長(zhǎng)為l、重W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時(shí)，彈簧處于自然長(zhǎng)度，墻和地面都是光滑的。當(dāng)梯子依墻而與地面成θ角且處于平衡狀態(tài)時(shí)，(1)地面對(duì)梯子的作用力的大小為

。(2)墻對(duì)梯子的作用力的大小為

。(3)W、k、l、θ應(yīng)滿足的關(guān)系式為

。補(bǔ)充:剛體在平面力系作用下靜止平衡的條件：

作用于剛體平面力系的矢量和為0，對(duì)與力作用平面⊥的任意軸的力矩的代數(shù)和為0.BAθl2023/1/1415yxAB(O)FWNBNA原長(zhǎng)θl由剛體的平衡條件：無平動(dòng)：無轉(zhuǎn)動(dòng)：若以A為轉(zhuǎn)軸，選力矩⊙為正，則將NB的值代入2023/1/1416

5.

(P2947)一長(zhǎng)為l、重W的均勻梯子，靠墻放置，如圖，梯子下端連一倔強(qiáng)系數(shù)為k的彈簧。當(dāng)梯子靠墻豎直放置時(shí)，彈簧處于自然長(zhǎng)度，墻和地面都是光滑的。當(dāng)梯子依墻而與地面成θ角且處于平衡狀態(tài)時(shí)，(1)地面對(duì)梯子的作用力的大小為

。(2)墻對(duì)梯子的作用力的大小為

。(3)W、k、l、θ應(yīng)滿足的關(guān)系式為

。解：剛體平衡的條件：BAθlWNANBf2023/1/1417

6.(P2948)轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，在t=0時(shí)角速度為ω0。此后飛輪經(jīng)歷制動(dòng)過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數(shù)為k（k為大于0的常數(shù)）。當(dāng)ω=ω0/3時(shí)，飛輪的角加速度β=________。從開始制動(dòng)到ω=ω0/3所經(jīng)過的時(shí)間t=_________。

解：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jβ當(dāng)ω=ω0/3時(shí)，M=-kω2分離變量得再由2023/1/1418

7.(P3049).長(zhǎng)為l的桿如圖懸掛，O為水平光滑固定轉(zhuǎn)軸，平衡時(shí)桿鉛直下垂，一子彈水平地射入桿中，則在此過程中，

系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸O的

守恒。桿和子彈角動(dòng)量?mM8.

(P3050).地球的自轉(zhuǎn)角速度可以認(rèn)為是恒定的，地球?qū)τ谧赞D(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9.8×1037kg·m2。地球?qū)ψ赞D(zhuǎn)軸的角動(dòng)量L＝

。解：剛體的角動(dòng)量大?。?023/1/1419

9.(P3051)質(zhì)量分別為m和2m的兩物體（都可視為質(zhì)點(diǎn)），用一長(zhǎng)為l的輕質(zhì)剛性細(xì)桿相連，系統(tǒng)繞通過桿且與桿垂直的豎直固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，已知o軸離質(zhì)量為2m的質(zhì)點(diǎn)的距離為l/3，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的線速度為v且與桿垂直，則該系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)大小為______。m●2m●oll/3解：剛體的角速度或2023/1/142010.(P3052)動(dòng)量矩定理的內(nèi)容是

，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫成

，動(dòng)量矩守恒的條件是

。轉(zhuǎn)動(dòng)物體所受的合外力矩的沖量矩等于在合外力矩作用時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)物體動(dòng)量矩的增量物體所受合外力矩為零

11.

(P3053).如圖所示，一勻質(zhì)木球固結(jié)在一細(xì)棒下端，且可繞水平光滑固定軸o轉(zhuǎn)動(dòng)，今有一子彈沿著與水平面成一角度的方向擊中木球而嵌于其中，則在此擊中過程中，木球、子彈、細(xì)棒系統(tǒng)的

守恒，原因是

,在木球被擊中和球升高的過程中，對(duì)木球、子彈、細(xì)棒、地球系統(tǒng)的

守恒。對(duì)o軸的角動(dòng)量對(duì)該軸的合外力矩為零機(jī)械能?2023/1/142112.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P34.73）在一光滑的水平面上，有一輕彈簧，一端固定，一端連接一質(zhì)量m=1kg的滑塊，如圖所示。彈簧自然長(zhǎng)度l0=0.2m，倔強(qiáng)系數(shù)k=100N.m-1，設(shè)t=0時(shí)。彈簧長(zhǎng)度為l0，滑塊速度v0=5m.s-1，方向與彈簧垂直。在某一時(shí)刻，彈簧位于與初始位置垂直的位置，長(zhǎng)度l=0.5m。求該時(shí)刻滑塊速度的大小和方向。2023/1/1422以θ表末速度與彈簧長(zhǎng)度方向的夾角?！嘟莿?dòng)量守恒:解：對(duì)（滑塊+彈簧）系統(tǒng)，對(duì)（滑塊+彈簧+地球）系統(tǒng)，選彈簧原長(zhǎng)時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，光滑水平面為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則兩式聯(lián)立，可解出結(jié)果。(選⊙為正)2023/1/142313.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P36.81）oRω在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸線的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10。開始時(shí)盤載人對(duì)地以角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對(duì)于盤以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示。已知圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2。求：（1）圓盤對(duì)地的角速度；（2）欲使圓盤對(duì)地靜止，人應(yīng)沿著R/2圓周對(duì)圓盤的速度的大小及方向？2023/1/1424

當(dāng)人以相對(duì)于盤的速率v沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向走動(dòng)時(shí)，盤對(duì)地的角速度為ω，人對(duì)地的角速度為ω′.解：(1)選⊙為正，有∵（人＋盤）系統(tǒng)對(duì)軸的合外力矩為0，∴角動(dòng)量守恒：oRω2023/1/1425（1）（2）兩式聯(lián)立可得（2）欲使盤對(duì)地靜止，須

“－”號(hào)表示人走動(dòng)方向與上一問中人走動(dòng)方向相反，即與盤初始轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。2023/1/142614.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)P37.83）有一質(zhì)量為m1、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，靜止放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，它可繞通過端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和，如圖所示。求碰撞前后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。已知棒繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝m1l2/3。2023/1/1427

對(duì)(棒＋滑塊)系統(tǒng)，在碰撞過程中，由于碰撞時(shí)間極短，棒所受的摩擦力矩＜＜滑塊的沖力矩，故可近似認(rèn)為合外力矩為0，因而系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。（在俯視圖中，選⊙為正方向）由角動(dòng)量定理，設(shè)

Mf為摩擦力矩，則解：2023/1/1428棒上

x

處

dx

段小質(zhì)元:受摩擦力

df=μgdm

,對(duì)o軸的摩擦力矩

dMf=xdf以上三式聯(lián)立，解得15.（學(xué)習(xí)指導(dǎo)p18，例3）質(zhì)量為m的物體懸于輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上.軸水平且輪軸面，其半徑為r，整個(gè)裝置架在光滑的固定軸承之上.物體從靜止釋放，在時(shí)間t內(nèi)下降了距離s.試求整個(gè)輪軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J（用m、r、t和s表示）.mromromgTT解：方法2：2023/1/1431三、73、74、75、76、77、78、80、81、82、83五、90、92、93、94四、85、86、87學(xué)習(xí)指導(dǎo)大題重點(diǎn)題目

2023/1/14325-1.如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為mr2/2，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為2m和m的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程：聯(lián)立，解得：（選向下為正）（選向上為正）（選順時(shí)針為正）2023/1/14335-2.如圖所示，一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度ω0繞過中心O且垂直于桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：（1）設(shè)桿的線密度為：在桿上取一小質(zhì)元有微元摩擦力：微元摩擦力矩：考慮對(duì)稱性，有摩擦力矩：2023/1/1434（2）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有：或利用：考慮到有：或利用：2023/1/14355-3.如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為M，半徑為

R，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。解：受力分析如圖，可建立方程：聯(lián)立，解得：考慮到有：（選向下為正）（選逆時(shí)針為正）2023/1/14365-4.輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為M/4,均勻分布在其邊緣上，繩子A端有一質(zhì)量為M的人抓住了繩端，而在繩的另一端B系了一質(zhì)量為M/4的重物，如圖。已知滑輪對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=MR2/4

，設(shè)人從靜止開始以相對(duì)繩勻速向上爬時(shí)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，求B端重物上升的加速度？解：分別對(duì)人、滑輪與重物列出動(dòng)力學(xué)方程人:物:滑輪:（選向下為正）（選逆時(shí)針為正）（選向上為正）解得：其中:2023/1/1437解二：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè)u為人相對(duì)繩的速度，v為物上升的速度，注意到u為勻速，

系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量為：而力矩為：根據(jù)角動(dòng)量定理有：2023/1/14385-5．計(jì)算質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：球體密度考慮均質(zhì)球體內(nèi)一個(gè)微元：微元到軸的距離為有：2023/1/14395-6．一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)k=40N/m,當(dāng)θ=0°時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量m=5.0kg，求在θ=0°的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度ω，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？解：選（彈簧+細(xì)棒+地球）為系統(tǒng)。以圖示下方的三角樁為軸，從θ=0～θ=90o時(shí)，機(jī)械能守恒。θ=0時(shí)機(jī)械能為：θ

=90o時(shí)機(jī)械能為：有：根據(jù)幾何關(guān)系：得：重力勢(shì)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能2023/1/14405-8．如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l/3和2l/3。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對(duì)心完全彈性碰撞，試求小球的反彈速度和碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：碰撞瞬間,角動(dòng)量守恒，有：因?yàn)樽鲗?duì)心完全彈性碰撞，動(dòng)能不變,有:解得:2023/1/14415-8．（舊版）如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為l/3和2l/3。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對(duì)心碰撞，碰后以v0/2的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。

解：根據(jù)角動(dòng)量守恒，有：有：解得：2023/1/14425-9．一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為M

，半徑為R放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為μ）,圓盤可繞通過其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止，一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：（1）子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；（2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。(圓盤繞通過O的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為MR2/2,忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。)解：（1）利用角動(dòng)量守恒：得：2023/1/1443（2）選微分面密度由:有:知：將代入，即得：2023/1/14445-10．有一質(zhì)量為m1

、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μ的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端

A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。(已知棒繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=m1l2/3)解：由碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒，考慮到和方向相反，以逆時(shí)針為正向，有：得：2023/1/1445又∵細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩可由積分求得：利用有：得：2023/1/14465-11．如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.01kg?m2,半徑為7cm;物體的質(zhì)量為5kg,用一細(xì)繩與勁度系數(shù)k=200N/m的彈簧相連,若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng),滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置及最大速率。解：（1）設(shè)彈簧的形變量為x,下落最大距離為

xmax。由機(jī)械能守恒：有：（2）當(dāng)物體下落時(shí)，由機(jī)械能守恒：考慮到有：2023/1/1447欲求速度最大值，將上式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，且令有：將代入，有：∴當(dāng)x=0.245m時(shí)物體速度達(dá)最大值，有：代入數(shù)值可算出：2023/1/14485-1．一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為M的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量m1和m2的物體（m1<m2

）,如圖所示，繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，某時(shí)刻滑輪沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則繩的張力多大？解：思考題（1）（2）（3）（4）聯(lián)立方程可得T1,T2,2023/1/14495-2．一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸O以角速度ω按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，若如圖所示的情況那樣，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力F沿盤面方向同時(shí)作用到盤上，則盤的角速度ω怎樣變化？答：增大2023/1/14505-3．一個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)組成的系統(tǒng)：（A）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量守恒；（B）機(jī)械能守恒，角動(dòng)量不守恒；（C）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量守恒；（D）機(jī)械能不守恒，角動(dòng)量不守恒。答：（C）2023/1/1451解:（1）1.

半徑為r=1.5m的飛輪，初角速度ω0=10rad·s-1，角加速度=－5rad·s-2，則在t=_____時(shí)角位移為零，而此時(shí)邊緣上點(diǎn)的線速度v=__________。（2）補(bǔ)充題2023/1/14522.

一飛輪作勻減速運(yùn)動(dòng)，在5s內(nèi)角速度由40πrad·s-1減到10πrad·s-1，則飛輪在

5s內(nèi)總共轉(zhuǎn)過了____圈，飛輪經(jīng)____的時(shí)間才能停止轉(zhuǎn)動(dòng)。解：2023/1/14533.一飛輪以600rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2.5kg·m2，現(xiàn)加一恒定的制動(dòng)力矩使飛輪在1S內(nèi)停止運(yùn)動(dòng)，則該恒定制動(dòng)力矩的大小M＝

。解：角加速度為：初角速度為:ω0=600rev/min=20π(rad/s)末角速度為:ω=02023/1/14544.半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩，繩的下端掛一質(zhì)量為m的物體。繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)。若物體下落的加速度為a，則定滑輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝

。

解：RmT′mgTa2023/1/1455

5.

對(duì)一個(gè)繞固定水平軸o勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，沿如圖所示的同一水平直線從相反方向同時(shí)射入兩顆質(zhì)量相同、速率相等的子彈，并留在盤中，則子彈射入后轉(zhuǎn)盤的角速度是否改變？如何變？解：

（盤＋兩子彈）系統(tǒng)所受對(duì)O軸的合外力矩為0，

兩子彈射入前對(duì)O軸的角動(dòng)量等值、反向，正好抵消。當(dāng)兩子彈射入后，系統(tǒng)對(duì)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J′＞J，其角動(dòng)量守恒：故射入前的Jω只是轉(zhuǎn)盤的角動(dòng)量。故ω′＜ω，即轉(zhuǎn)盤的角速度減小。2023/1/1456

6.如圖，一靜止的均勻細(xì)棒，長(zhǎng)L，質(zhì)量M，可繞通過棒的端點(diǎn)且⊥棒長(zhǎng)的光滑固定軸O在光滑水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為(ML2/3).一質(zhì)量為m速率為v的子彈在水平面內(nèi)沿與棒⊥的方向射入棒的自由端。設(shè)擊穿棒后子彈的速率減為υ/2，則此時(shí)棒的角速度為______。(A)mV/ML(B)3mV/2ML(C)5mV/3ML(D)7mV/4ML.解：系統(tǒng)（子彈+桿），對(duì)o軸選⊙為正向，則∴選（B）2023/1/14577.一質(zhì)量為m的小蟲，在有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤邊緣上，沿逆時(shí)針方向爬行，它相對(duì)于地面的速率為υ，此時(shí)圓盤正沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，相對(duì)于地面的角速度為ω0，設(shè)圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，若小蟲停止爬行，則圓盤的角速度為————解：（蟲+盤）系統(tǒng)，對(duì)O軸選為正向○×ω0O?mRυ2023/1/14588.一力學(xué)系統(tǒng)由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，它們之間只有引力作用，若兩質(zhì)點(diǎn)所受外力的矢量和為零，則此系統(tǒng)(A)動(dòng)量、機(jī)械能以及對(duì)一軸的角動(dòng)量都守恒。(B)動(dòng)量、機(jī)械能守恒，但角動(dòng)量是否守恒不能斷定。(C)動(dòng)量守恒，但機(jī)械能和角動(dòng)量守恒與否不能斷定。(D)動(dòng)量和角動(dòng)量守恒，但機(jī)械能是否守恒不能斷定?！噙x（C）2023/1/14599.一汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速在7.0s內(nèi)由200rev/min均勻地增加到3000rev/min。（1）求這段時(shí)間內(nèi)的初角速度、末角速度及角加速度；（2）求這段時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度；（3）發(fā)動(dòng)機(jī)軸上裝有一半徑為r=0.2m的飛輪，求它邊緣上一點(diǎn)在這第7.0s末的切向加速度、法向加速度和總加速度。（1）初角速度為ω0=2π×200/60=20.9(rad/s)末角速度為：ω=2π×3000/60=314(rad/s)角加速度為：解：2023/1/1460總加速度為：總加速度與速度（切向）之間的夾角（2）轉(zhuǎn)過的角度為（3）切向加速度為法向加速度為2023/1/1461ROR/2C10.從一半徑為R的均勻薄板上挖去一個(gè)直徑為R的圓板，所形成的圓洞中心在距原薄板中心R/2處，所剩薄板的質(zhì)量為m。求此薄板對(duì)于通過原中心而與板面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。ROR/2C解：

由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，所以已挖洞的圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J加上挖去的圓板補(bǔ)回原位后對(duì)原中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1就等于整個(gè)完整圓板對(duì)中心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2即J=J2-

J1設(shè)板質(zhì)量密度為ρ厚度為a，則2023/1/1462由于則最后求得ROR/2C2023/1/146311.如圖，兩物體質(zhì)量為m1、m2，滑輪的質(zhì)量為m，半徑為r，可視作均勻圓盤。已知m2與桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為μk，求m1下落的加速度和兩段繩子中的張力各為多少。設(shè)繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。解：（繩在輪上不打滑）(向下為正)(向右為正)線角量關(guān)系：對(duì)m1、m2、滑輪分別進(jìn)行受力分析，畫出示力圖(順時(shí)針為正)aam2m1rT1m1gfT2T1T22023/1/1464方程組的解為：2023/1/146512.如圖，兩個(gè)圓輪的半徑分別為R1和R2,質(zhì)量分別為

M1、M2

，二者皆可視作均勻圓柱體且同軸固結(jié)在一起，可繞一水平固定軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。今在兩輪上繞有細(xì)繩，繩端分別掛上質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體。求在重力作用下，m2下落時(shí)輪的角加速度。解：(向上為正)(向下為正)