第三章 線性方程組迭代解法

第三章線性方程組迭代解法(4學(xué)時(shí))大連海事大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院學(xué)院李冠宇《計(jì)算方法》課程講義課件斷點(diǎn)：00內(nèi)容提要

概論

§3.1

Jacobi

迭代法

§3.2

Gauss-Seidel

迭代法

§3.3

迭代法的收斂性

§3.4

SOR法

本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)

參考書(shū)

習(xí)題三

答案與提示

Gauss列主元消去法上機(jī)提示***概論引子迭代法的基本思想迭代法的主要步驟引子直接方法求解線性方程組優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算工作量較少（可預(yù)先確定）缺點(diǎn)：計(jì)算結(jié)果精度有時(shí)無(wú)法保證原因：在消去、回代過(guò)程中運(yùn)算誤差積累與傳播無(wú)法控制

迭代法則不然只要斷定系數(shù)矩陣滿足收斂條件盡管多次迭代計(jì)算工作量大一些，卻能達(dá)到預(yù)定精度

保障措施計(jì)算機(jī)勝任程序簡(jiǎn)單、重復(fù)量大的迭代計(jì)算有許多加速收斂的辦法做保障特點(diǎn)

占用存儲(chǔ)單元少程序簡(jiǎn)單，收斂較快

能夠解決高階問(wèn)題

注意迭代法可能對(duì)某些問(wèn)題發(fā)散或收斂很慢，以致失去使用價(jià)值出現(xiàn)這種情況，可采用直接法求解返回節(jié)迭代法的基本思想

迭代法是解線性方程組的一個(gè)重要的實(shí)用方法，特別適用于求解在實(shí)際中大量出現(xiàn)的、系數(shù)矩陣為稀疏陣的大型線性方程組。

迭代法的基本思想是

去構(gòu)成一個(gè)向量序列{u(k)}，

使其收斂至某個(gè)極限向量u*

，

并且u*就是要求解的方程組

Au=b的準(zhǔn)確解。返回節(jié)解線性方程組迭代法的主要步驟是:

首先把所給的線性方程組AX=b化成如下形式的同解方程組

X=BX+f

（3-1)

然后給出初始向量

,并按迭代公式

X(k+1)=BX(k)+f

(k=0,1,2,…)

（3-2)進(jìn)行計(jì)算。如果按上述迭代公式所得到的向量序列{X(k)}

收斂于某個(gè)向量X*,則X*就是方程組AX=b的解，并稱此迭代法收斂。否則，就叫不收斂或發(fā)散。

式(3-1)、(3-2)中的矩陣B

，稱為迭代矩陣。

迭代法的主要步驟返回引用

本章重要介紹三個(gè)迭代法，即：

1）Jacobi迭代法2）Gauss-Seidel

迭代法3）超松弛迭代法（SOR法）及其收斂性。

返回章返回節(jié)§3.1Jacobi迭代法數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述Jacobi迭代法的主要步驟數(shù)學(xué)問(wèn)題的描述設(shè)有線性方程組

AX=b

即

（3-3）

其中A=(aij)nn

非奇異（A0），且aii≠0(i=1,2,…,n),由式（3-3）得

（3-4）

返回引用如記

則有

A=D-L-U成立，而式（3-4）的矩陣形式為

DX=（L+U）X+b

（3-5）

等式兩邊乘以D-1，得

X=D-1（L+U）X+D-1b

（3-6）

由此得到迭代公式

X（k+1）=D-1（L+U）X（k）+D-1b

（3-7）即 （3-8）這種迭代法，稱為Jacobi迭代法。

返回節(jié)返回引用Jacobi

迭代法的計(jì)算步驟(5步)為：

①

k=1；輸入最大迭代次數(shù)N，誤差ε以及迭代初值

X=（x1，x2，…，xn）

②

；

③

如果||Y-X||<ε，則輸出Y=（y1，y2，…，yn）,成功。

④

k=k+1，如果k>N，算法失敗。

⑤

置X=Y，即xi=yi(i=1,2,…,n)，轉(zhuǎn)②；

圖

3-1為Jacobi

迭代算法流程圖。

Jacobi迭代法的主要步驟開(kāi)始aii=0Noi=n給

X=（x1，x2，‥‥‥，xn）T

賦初值輸入

A,b輸入最大迭代次數(shù)N輸入誤差限εi=1算法失敗k=1i=nd<εk=NNoi=1yi

=xiNoi=i+1迭代失敗第k次迭代數(shù)學(xué)模型:求解線性方程組

AX=b其中A=(aij)n×n

b=(b1，b2，…，bn)T輸出Y=(y1，y2，‥‥‥，yn)T

結(jié)束i=i+1No圖3-1

Jacobi迭代算法流程圖k=k+1返回引用i=ni=1d=0di

=|yi-xi

|d=

diNodi

>di=i+1No例3.1求解Jacobi迭代公式為：解:選取X（0）=(0,0,0,0)T,迭代10次，結(jié)果見(jiàn)表3-1

返回引用kx1（k）

x2（k）

x3（k）

x4（k）

00.00000.00000.00000.0000

10.60002.2727-1.10001.8750

21.04731.7157-0.80520.8852

30.93262.0533-1.04931.1309

41.01521.9537-0.96810.9739

50.98902.0114-1.01031.0214

61.00321.9922-0.99450.9944

70.99812.0023-1.00201.0036

81.00061.9987-0.99900.9989

90.99972.0004-1.00041.0006

101.00011.9998-1.99980.9998例3.1迭代結(jié)果表3-1返回引用根據(jù)式(1-23)，在線性賦范空間中，通常規(guī)定再根據(jù)范數(shù)的性質(zhì)，可以推知滿足距離定義[定義（1-6）]

。因此，可知集合X是距離空間，記為X()。再根據(jù)定義1.11，設(shè){xn}是距離空間X()中的點(diǎn)列，xX()，如果則稱點(diǎn)列{xn}（按距離）收斂于點(diǎn)x，x叫做點(diǎn)列{xn}的極限。記為所以用

X（10）=(1.0001，1.9998，-0.9998，0.9998)T作為近似解是可以接受的。

可計(jì)算出因方程組的精確解為x=(1,2,-1,-1)T，故可計(jì)算出根據(jù)向量范數(shù)的定義[式(1-27)]和距離定義[定義(1-6)]

和返回章返回節(jié)§3.2Gauss-Seidel迭代法算法分析與描述實(shí)例求解收斂速度比較算法分析與描述(3-8)可寫(xiě)成形如

原Jacobi迭代公式(3-8)

在Jacobi

迭代中，是用X(k)的全部分量來(lái)計(jì)算X(k+1)的全部分量的。

我們應(yīng)該注意到，在計(jì)算新分量xi(k+1)時(shí)，舊分量x1(k+1),x2(k+1),…,xi-1(k+1)都已經(jīng)算出。返回引用如果

Jacobi

法收斂，則可期望X(k+1)比X(k)更好，在式(3-8)中右邊第1個(gè)求和號(hào)中，用X(k+1)的分量代替X(k)的分量，似乎更合理些。會(huì)加快收斂速度編程時(shí)不必另設(shè)一套單元來(lái)記存上一次近似解這就是逐個(gè)代換算法，又稱Gauss-Seidel迭代法。因此，我們就得到新的迭代公式：（3-9）

這就是Gauss-Seidel迭代公式，其矩陣形式為

X(k+1)=BG

X(k)+fG

（3-10）

其中

BG=(D-L)-1U，fG=(D-L)-1b，稱BG為G-S迭代矩陣。

由于Gauss-Seidel迭代法逐次用計(jì)算出來(lái)的新值代替舊值，所以在收斂的條件下，它要比Jacobi迭代法收斂速度快。返回節(jié)返回引用實(shí)例求解用Gauss-Seidel迭代法求解例3.1Gauss-Seidel迭代公式為

仍取x（0）=（0，0，0，0）T，迭代結(jié)果見(jiàn)表3．2例3.2解||x（5）-x（4）||∞=8.0×10-4||x（5）-x||∞=10-4

從例3.1和例3.2比較可見(jiàn)，Gauss-Seidel迭代5次的結(jié)果比Jacobi

迭代10次的結(jié)果還要好。

表3.2例3.2Gauss-Seidel迭代結(jié)果

k

x1（k）

x2（k）

x3（k）

x4（k）

0

0.00000.00000.00000.0000

1

0.60002.3272-0.98730.8789

2

1.03002.0370-1.01400.9844

3

1.00652.0036-1.00250.9983

4

1.00092.0003-1.00030.9999

5

1.00012.0000-1.00001.0000返回節(jié)返回引用收斂速度比較一般來(lái)說(shuō)，在兩種迭代法同時(shí)收斂的條件下，Gauss-Seidel迭代法收斂速度較快。但是，兩種迭代法收斂條件并不互相包含。例如,可以證明方程組

用Jacobi

迭代法收斂而用Gauss-Seidel迭代法發(fā)散

返回章返回節(jié)§3.3迭代法的收斂性基本數(shù)學(xué)問(wèn)題描述一、基本收斂定理定理3.2的證明實(shí)例求解二、Jacobi

迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂速度基本數(shù)學(xué)問(wèn)題描述迭代法的收斂性，是指方程組從任意初始向量X(0)出發(fā)，由迭代算法算出向量序列隨著k的增加而趨向于解向量X*。記各次誤差向量顯然，迭代法的收斂性與誤差向量序列隨著k的增加而趨向于零向量是等價(jià)的。由于精確解X*自然滿足因此有或再遞推出所以，迭代法收斂性與迭代矩陣的冪Bk，隨著k的增加而趨向于零矩陣是等價(jià)的。返回節(jié)一、基本收斂定理由X(k+1)=BX(k)+f

及X*=BX*+f可見(jiàn)X(k)

X*

B

k0

(k∞)εk+1=X(k+1)-X*可推知(B)=·············

=B（X(k)-X*）=（

BX(k)+f）–

（BX*+f）=B

k+1（X(0)-X*）=B

k+1ε0

返回引用(3-12)返回引用進(jìn)一步，我們可以推知：式（3-12）說(shuō)明：當(dāng)||B||<1，且不接近1，并且相鄰兩次迭代向量x(k+1)

與x(k)很接近時(shí)，則x(k)與精確解x*很接近。因此，在實(shí)際計(jì)算中，用||x(k+1)-x(k)||≤ε作為迭代終止條件是合理的。

反復(fù)利用

||x(k+1)-x*||=||Bx(k)-Bx*||=||B(x(k)-x*)||≤‖B‖.‖x(k)-x*‖,可以得到

||B(x(k)-x*)||≤‖B‖k·‖x(0)-x*‖，可見(jiàn)x(0)越接近x*，序列{x(k)}收斂越快，收斂速度與初值x(0)的選取有關(guān)。另一方面，由于ρ(B)≤‖B‖<1，‖B‖越小，說(shuō)明ρ(B)越小，序列{x(k)}收斂越快。

收斂速度的概念定義3.1

R(B)=-ln

(B)

稱為迭代法的漸進(jìn)收斂速度。定理3.2的證明證明:顯然根據(jù)定義(1-7)范數(shù)性質(zhì)(3)(三角不等式)成立因此根據(jù)定義(1-9)范數(shù)性質(zhì)(4)(乘積不等式)顯然也即可知成立。再將上兩式聯(lián)立，可以得出以下結(jié)果也即再將此不等式兩端同時(shí)減去可得由第2式可知證明完畢。將定理3.1和3.2用于Jacobi迭代法及Seidel迭代法，則有考察線性方程組

Jacobi

迭代法的收斂性。

例3.3解：

所以，該方程組Jacobi

迭代法收斂。

根據(jù)矩陣算子范數(shù)中的“行和范數(shù)”公式可知實(shí)例求解因?yàn)樵谝话闱闆r下，計(jì)算矩陣的范數(shù)比計(jì)算譜半徑省事，所以通常是利用定理3.2進(jìn)行判斷。

應(yīng)當(dāng)注意，定理3.2只是充分條件，所以即使判斷失效，迭代法仍可能收斂，這時(shí)就應(yīng)該使用定理3.1判斷。

設(shè)有線性方程組

X=BX+f，其中

考察迭代法

X(k+1)=BX(k)+f

的收斂性。例3.4解：

由于

均大于1，故定理3.2在此無(wú)法判斷；但因?yàn)?/p>

λ1=0.9,λ2=0.8,即ρ(B)=0.9<1,由定理3.1知本題迭代法收斂。

返回節(jié)二、Jacobi

迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂速度引子對(duì)角占優(yōu)矩陣實(shí)例可約陣相關(guān)定理定理3.3的證明返回節(jié)引子雖然利用定理3.1和定理3.2可以判定Jacobi

迭代法和G-S迭代法的收斂性但其中只有定理3.2對(duì)Jacobi

迭代法使用比較方便此外，對(duì)于大型方程組，要求出G-S迭代矩陣BG和ρ(BG)以及Jacobi

迭代矩陣BJ和ρ(BJ)都不是容易的事這里介紹一些判定收斂的充分條件它們是利用原方程組系數(shù)矩陣A和迭代矩陣B的特殊性質(zhì)建立的很實(shí)用，用起來(lái)也很方便這些判定定理也都是以定理3.1和定理3.2為基礎(chǔ)的。返回主題對(duì)角占優(yōu)矩陣如果線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A具有某種特殊性質(zhì)（如對(duì)稱正定、對(duì)角占優(yōu)等），則可從A本身直接得出某些迭代法收斂性結(jié)論。

定義3.1

如果矩陣A滿足條件則稱A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣；如果矩陣A滿足條件且其中至少有一個(gè)不等式嚴(yán)格成立，則稱A是弱對(duì)角占優(yōu)陣。返回主題返回引用實(shí)例例如其中A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣；B是弱對(duì)角占優(yōu)陣。返回主題可約陣定義3.2

設(shè)A=(aij)Rnn(或Cnn)，當(dāng)n2時(shí)，如果存在一個(gè)下標(biāo)非空子集J1,2,,n，J，使得則稱A是可約陣。例如根據(jù)定義3.2，可以驗(yàn)證，B就是可約陣，其中J=1,2。利用反證法，不難證明，嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣及不可約的對(duì)角占優(yōu)陣是非奇異矩陣（A0）（既AX=0方程組只有零解）。返回主題定理3.3

若A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣或不可約弱對(duì)角占優(yōu)陣，則

Jacobi

迭代法和G-S迭代法收斂。

定理3.4

若A為對(duì)稱正定陣，則G-S迭代法收斂。

定理3.5

設(shè)Jacobi矩陣BJ

=(bij)n為非負(fù)矩陣（即bii=0，bij≥0，

1≤i，j≤n），則下列關(guān)系有且僅有一個(gè)成立：（1）ρ(BJ)=ρ(BG)=0

（2）

0<ρ(BG)<ρ(BJ)<1

（3）ρ(BJ)=ρ(BG)=1

（4）

1<ρ(BJ)<ρ(BG)

這說(shuō)明：Jacobi矩陣BJ為非負(fù)時(shí)，Jacobi

方法和G-S方法同時(shí)收斂，或同時(shí)發(fā)散若同時(shí)收斂，則G-S方法比Jacobi方法收斂速度快

相關(guān)定理返回引用實(shí)用價(jià)值：在偏微分方程數(shù)值解中，有限差分往往導(dǎo)出對(duì)角占優(yōu)的線性代數(shù)方程組有限元法中的剛性矩陣往往是對(duì)稱正定陣，因此這兩個(gè)判斷定理是很實(shí)用的對(duì)于給定的線性方程組，借助于定理3.3和定理3.4可以直接判斷Jacobi

迭代法和G-S迭代法的收斂性應(yīng)當(dāng)注意：迭代法收斂與否，與方程組中方程排列順序有關(guān)[如]

線性方程組

無(wú)法直接判斷Jacobi

迭代法和G-S迭代法的收斂性，但如果將方程組的次序修改為

由于系數(shù)矩陣A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，因此用Jacobi

迭代法和G-S迭代法求解該方程組均收斂。

返回主題定理3.3的證明證

這里只證明A是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)情況。首先證明Jacobi

迭代的收斂性。由式（3.10）易求由嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)定義（定義3.1

），得BJ∞<1,所以,Jacobi

迭代法收斂。下面證明G-S迭代法的收斂性。對(duì)于嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣A，其對(duì)角元素aii≠0

，

i=1,2,,n（定義3.1

），故

所以矩陣（D-L）為可逆下三角矩陣，其逆也是下三角矩陣，G-S迭代法的迭代矩陣是BG=(D-L)-1U?？紤]BG的特征值λ，其特征方程為BGX=X即(I-BG)X=0

det(I-BG)=det(I-(D-L)-1U)=det(D-L)-1det((D-L)-U)=０

=>det((D-L)-U)=0

我們通過(guò)A的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)去證明det((D-L)-U)=0的根有性質(zhì)

|

|<1。用反證法：假設(shè)|

|≥1，且由于A的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)性質(zhì)，有

這說(shuō)明矩陣

是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，所以它是非奇異的（即A0），即det((D-L)-U)0與特征值滿足det((D-L)-U)=0

矛盾。故

<1即ρ(BG)<1，G-S迭代法收斂。定理得證。返回章返回節(jié)返回主題§3.4SOR法一、SOR法迭代公式例3.6

用SOR法求解線性方程組二、SOR法的收斂性SOR法收斂與收斂速度有關(guān)定理SOR法分類與現(xiàn)狀SOR（SuccessiveOver-Relaxation）法，即超松弛迭代法：是目前解大型線性方程組的一種最常用的方法；是Gauss-Seidel迭代法的一種加速方法。

一、SOR法迭代公式

設(shè)線性方程組AX=b其中A非奇異，且aii

0（i=1,2,,n）。如果已經(jīng)得到第k次迭代量x(k)

及第k+1次迭代量x(k+1)

的前i-1個(gè)分量（x1(k+1),x2(k+1),,xi-1(k+1))，在計(jì)算xi(k+1)

時(shí)，先用Gauss-Seidel迭代法得到

(3-20)

選擇參數(shù)ω，取

(3-21)返回引用把式（3-20）代入式（3-21）即得SOR法其中，參數(shù)ω叫做松弛因子；若

ω=1，它就是Gauss-Seidel迭代法。

返回引用例3.6

用SOR法求解線性方程組解

方程組的精確解為

x=(3,4,-5)

T，為了進(jìn)行比較，利用同一初值

x(0)=(1,1,1)T，分別取ω=1(即Gauss-Seidel迭代法)和

ω=1.25兩組算式同時(shí)求解方程組。

①取ω=1，即Gauss-Seidel迭代：

②取ω=1.25，即SOR迭代法：

返回引用迭代結(jié)果見(jiàn)表3.3。

表3.3Gauss-Seidel迭代法與SOR迭代法比較

Gauss-Seidel迭代法SOR迭代法(ω=1.25)kx1x2x3x1x2x301.00000001.00000001.00000001.00000001.00000001.000000015.25000003.1825000-5.04687506.31250003.9195313-6.650146523.14062503.8828125-5.02929692.62231453.9585266-4.600423833.08789063.9267587-5.01831053.13330274.0402646-5.096686343.05493163.9542236-5.01144102.95705124.0074838-4.973489753.03433233.9713898-5.00715263.00372114.0029250-5.005713563.02145773.9821186-5.00447032.99632764.0009262-4.998282273.01341103.9888241-5.00279403.00004984.0002586-5.0003486迭代法若要精確到七位小數(shù)，

Gauss-Seidel迭代法需要34次迭代；而用SOR迭代法(ω=1.25)，只需要14次迭代?？梢?jiàn)，若選好參數(shù)ω，SOR迭代法收斂速度會(huì)很快。返回節(jié)二、SOR法的收斂性

為了利用第3節(jié)的收斂定理，要先給出SOR法的矩陣表達(dá)式。由式（3-11）TX=BX+f以及Gauss-Seidel迭代法的矩陣表達(dá)形式，可以看出X(k+1)=(1-ω)X(k)+ωD-1(b+LX(k+1)+UX(k))DX(k+1)=(1-ω)DX(k)+ω(b+LX(k+1)+UX(k)）(D-ωL)X（k+1）=[(1-ω)D+ωU]X(k)+ωb解得

X(k+1)=(D-ωL)-1[(1-ω)D+ωU]X(k)+ω(D-ωL)-1b(3-22)記Bω=(D-ωL)-1[(1-ω)D+ωU]

稱為SOR法迭代矩陣。由定理3.1及定理3.2直接得知：

SOR法收斂的充要條件是ρ(Bω)<1。

SOR法收斂的充分條件是

||Bω||<1。

前面我們看到，SOR法收斂與否或收斂速度都與松弛因子ω有關(guān)，關(guān)于ω的范圍，有如下定理。

SOR法收斂與收斂速度有關(guān)定理定理3.6

設(shè)A∈Rnn，滿足aii≠0(i=1,2,,n),則有ρ(Bω)≥|1-ω|。推論

解線性方程組，SOR法收斂的必要條件是

|1-ω|<1，即0<ω<2。定理3.7

設(shè)A∈Rnn對(duì)稱正定，且

0<ω<2，則SOR法對(duì)任意的初始向量都收斂。

由于定理3.4只是定理3.7的特殊情況，故定理3.4可以看作定理3.7的推論。

定理3.8

設(shè)A是對(duì)稱正定的三對(duì)角矩陣，則ρ(BG)=[ρ(BJ)]2<1，且SOR法松弛因子ω的最優(yōu)選擇為

（3-24）

這時(shí)，有ρ(Bopt)=ωopt-1。

返回引用SOR法分類與現(xiàn)狀通常，當(dāng)ω>1

時(shí)，稱為超松弛算法；當(dāng)ω<1

時(shí)，稱為亞松弛算法。目前，還沒(méi)有自動(dòng)選擇松弛因子ω的一般方法。實(shí)際計(jì)算中通常?。?,2）區(qū)間內(nèi)幾個(gè)不同的ω值進(jìn)行試算通過(guò)比較后，確定比較理想的松弛因子ω

例3.7

討論例3.6用SOR法的ω取值。解

系數(shù)矩陣

由式（3-24）得

根據(jù)定理3.8，有ρ(BG)=[ρ(BJ)]2=0.625，

ρ(Bopt)=ωopt

–1=0.24,

可見(jiàn)采用SOR

方法比Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法快得多。返回章返回節(jié)1．

Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR法

（1）計(jì)算分量形式、矩陣形式以及它們的迭代矩陣表示；

(2)線性方程組的系數(shù)矩陣為對(duì)稱正定三角矩陣時(shí)，Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR法的重要結(jié)論。

2．

迭代法收斂性的判定定理和收斂速度

(1)迭代法收斂的充要條件；

(2)從迭代矩陣的范數(shù)判別迭代法的收斂性及其證明；

(3)線性方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，則Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法對(duì)任意初始向量均收斂。該定理的證明；

本章學(xué)習(xí)要點(diǎn)返回章[1]李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析.第三版.武漢:華中理工大學(xué)出版社,1986[2]施吉林,劉淑珍,陳桂芝:計(jì)算機(jī)數(shù)值方法.第一版.高等教育出版社,1999[3]林國(guó)順主編.計(jì)算機(jī)應(yīng)用算法.第一版.大連海事大學(xué)出版社,1995[4]關(guān)

治，陳景良.數(shù)值計(jì)算方法.第一版.清華大學(xué)出版社,1990參考書(shū)返回章1．試用①Jacobi迭代法，②Gauss-Seidel迭代法分別求解下面方程組，使結(jié)果具有兩位有效數(shù)字。

2．設(shè)A是n階方陣，試證：對(duì)任意范數(shù)

ρ(A)≤||A||3．對(duì)系數(shù)矩陣

判斷Jacobi迭代法和Gauss-Seidel的收斂性。

習(xí)題三4．用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組，取x（0）=（0，0，0，0）T，迭代5次。

5．用SOR法解上題，取ω=1.2并考察其收斂性。

6．方程組Ax=b中，A具有什么性質(zhì)時(shí)，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法對(duì)任意初始向量均收斂？證明你的結(jié)論。

7.用迭代公式x（k+1）

=x（k）+a（Ax（k）-b） k=1，2，．．．求解Ax=b，問(wèn)實(shí)數(shù)a在什么范圍內(nèi)取值可使迭代法收斂？a取何值可使迭代法收斂最快？8．方程組Ax=b

，其中，x，b∈R3（1）試?yán)玫諗康某湟獥l件求出使迭代法收斂的a的取值范圍，a取何值時(shí)迭代法收斂最快？（2）選擇一種便于計(jì)算的迭代收斂的充分條件，求出使Gauss-Seidel迭代法的a的取值范圍，

返回章1．方程組精確解x=（1，1，1，1）T①Jacobi

迭代Kx(1)x(2)x(3)x(4)1000021.8 1.81.51.530.540.480.660.6641.3081.321.2181.21850.80520.78960.86160.861661.125121.133281.089241.0892470.91980.914256 0.9429840.94298481.05135841.05488641.0365721.03657290.967079520.964827840.976572480.97657248101.0210909441.02253921.0150119841.015011984習(xí)題三答案與提示②Gauss-Seidel迭代

Kx(1)x(2)x(3)x(4)1000021.81.081.104.88323.965761.0162561.0235328.995466244.9882424321.00090321921.001901864961.0006147399685.9989356621824.99992241414144.9999990029598721.00012215036156.999991485915464.999979174969541.9999805863422461.000008899146171.00001015063997.999998042646342.999997596577515.99999985709123181.00000138142148.999999956697659.999999899100074.99999989069830591.000000070880781.000000013688011.00000001203466.99999998776738810.9999999948950561.000000002081571.0000000025407.999999999586042．參見(jiàn)第二章

式（2．36）

4．

（1）

Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代Kx(1)x(2)x(3)x(1)x(2)x(3)100000020.90.70.60.90.790.75830.970.910.740.979 0.94950.789940.9910.9450.7820.994950.9574750.79149550.99450.95550.7890.99574750.957873750.79157475①Jacobi迭代

Kx(1)x(2)x(3)x(4)100002.62.27272727272727-1.1.62531.274545454545452.05681818181818-.930227272727273-.36477272727272741.197409090909092.40351239669421-1.18570454545455-.26258522727272751.317843388429752.34540547520661-1.12538910123967-.424530216942149②Gauss-Seidel迭代

Kx(1)x(2)x(3)x(4)100002.62.32727272727273-.987272727272727-.37113636363636431.262909090909092.3990041322314-1.14979504132231-.41835092975206641.309759834710742.40136523478587-1.16365053643877-.42096828009954951.313003154244932.40111431437316-1.16458602742162-.42099112131764（2）6．

參見(jiàn)定理3．3。

7．

提示：設(shè)

B=Aa+I，當(dāng)-0.5<a<0時(shí)，ρ(B)=max{|1+4a|，|1+a|}<1。當(dāng)a=-0.4時(shí),ρ(B)=0.6達(dá)到最小，可使迭代法收斂最快。

8．提示：（1）

當(dāng)

a=4時(shí),ρ(BJ)=0達(dá)到最小，可使迭代法收斂最快。

（2）A的第二行滿足2>|-0.5|+|-0.5|,因此只要1>|-0.5|+|a|,即–0.5<a<0.5,則A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣根據(jù)定理3.3Gauss-Seidel迭代法收斂。

返回章矩陣A的特征值的求解方法方法1：方法2：通過(guò)成對(duì)的行列初等變換返回引用GAUSS列主元消去法

（矩陣按行存放）求解線性方程組一、功能本程序采用GAUSS列主元消去法求解線性方程組AX=b其中A為NN矩陣，X和b均為N維列向量。二、使用說(shuō)明