談如何激發(fā)思考與創(chuàng)造

談如何激發(fā)思考與創(chuàng)造左太政/高雄師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)系多元智力心理學(xué)家H.Gardner認(rèn)為人的智力是多元的，它應(yīng)包含七個(gè)領(lǐng)域的能力：語言智慧邏輯－數(shù)學(xué)智慧空間智慧肢體－動(dòng)覺智慧、音樂智慧人際智慧內(nèi)省智慧數(shù)學(xué)中的問題解決問題,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)如何解決問題,包括那些可以轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)題的各類問題(即外在連結(jié))。由於解題的態(tài)度和學(xué)習(xí)方法的不同,將影響其學(xué)習(xí)成效。數(shù)學(xué)的核心解題的歷程(Polya)讀題(Reading)

R1：注意到問題所有條件嗎？R2：正確瞭解目標(biāo)狀態(tài)嗎？R3：是否評估解題者現(xiàn)有知識與問題的關(guān)係？分析問題及產(chǎn)生聯(lián)想,尋求解題途徑

(1)儘可能畫出圖形或表格

(2)檢查特例如令問題中整數(shù)取1,2,3,4,5等代入,看看是否可歸納出規(guī)律來。

(3)嘗試簡化問題如利用對稱性、採用『不妨假設(shè)』而不失問題的一般討論方式。

(4)保留任何解題的紀(jì)錄,以便先做別題後再回頭解本題時(shí)參考使用。

(5)將一個(gè)問題分成一系列子問題擬定計(jì)畫3R解題策略(倒推法)解題活動(dòng)先從題目待答或待證明的地方著手(Request),適時(shí)引進(jìn)題目的已知條件及潛在的性質(zhì)(Response),最後導(dǎo)出結(jié)果(Result).這是所謂的「3R」策略。計(jì)劃－執(zhí)行(Planning－Implementation)PI1：是否有計(jì)劃行為？PI2：計(jì)劃與解題間有關(guān)係嗎？是否有良好的架構(gòu)？PI3：受試者是否評估計(jì)劃的相關(guān)性、適當(dāng)性及結(jié)構(gòu)性？PI4：執(zhí)行是否依計(jì)劃有系統(tǒng)的進(jìn)行？PI5：是否在局部或整體層次評估執(zhí)行？PI6：答案的評估之有無對結(jié)果的影響如何？

回顧解答-

驗(yàn)證答案是否合理及思考結(jié)果或方法能否用於解其他問題,

自己修改原問題或推廣其結(jié)論,形成另一個(gè)問題,亦可考慮作為專題研究之題目。解題的各種方法

歸納演繹推理類比轉(zhuǎn)化一般化、特殊化模型化。解題後的反思一題多解引申與題組(改變條件)縱向及橫向的推廣創(chuàng)意單元：綁鞋帶方式教學(xué)單元：平方根教學(xué)目標(biāo)：理解勾股定理的應(yīng)用及鏡射概念類題:據(jù)媒體報(bào)導(dǎo)有關(guān)數(shù)學(xué)難題:

已知正方形邊長為1，試求圖形EFMN的面積。參考解法媒體報(bào)導(dǎo)某校國小六年級段考題已知ABCD是一個(gè)長4公尺，寬2公尺的長方形，以B為圓心，為半徑畫一扇形ABE，以D為圓心，為半徑畫一扇形ADF，試求塗色部分面積。國小六年級段考題在圓中畫一最大正方形（如圖示），正方形的面積是50平方公分，求圓面積。單元:一題多解有利於加強(qiáng)同學(xué)的思維訓(xùn)練有利於培養(yǎng)同學(xué)的數(shù)學(xué)思想例如:(1)數(shù)與形的結(jié)合

(2)轉(zhuǎn)化解題方法的培養(yǎng)

(3)歸納能力

從一道數(shù)學(xué)題目談起

如圖，試求的度數(shù)。參考解答一(利用三角函數(shù))參考解答二:圖解法(ProofWithoutWords)範(fàn)例:設(shè)為正整數(shù)，且，若

試求與的值。參考解法解法一:代數(shù)方法

利用因式分解法，化簡得

參考解法解法二:利用埃及分?jǐn)?shù)的概念

利用單位分?jǐn)?shù)的分解，化簡得

一題多解範(fàn)例設(shè)都是小於1的正實(shí)數(shù)，試證:參考解答(一)利用不等式參考解答二:轉(zhuǎn)化成幾何題作一正三角形其邊長為1；分別在三邊、及上各取一點(diǎn)使得因此的面積必大於三個(gè)面積之和，即類題:已知正數(shù)與滿足條件:試證:參考解答(一):代數(shù)法參考解答(二):圖解法如圖，另解:作一個(gè)邊長為的正方形，如圖所示一題多解範(fàn)例已知為正實(shí)數(shù)且滿足條件：

試求：與的值?！緟⒖冀夥ㄒ弧恐苯忧蠼庖?yàn)椤驹]】此解法可適用於為三個(gè)實(shí)數(shù)?！緟⒖冀夥ǘ繑?shù)與形的連結(jié)---ProofWithoutWords(圖解法)如圖，由餘弦定理知，

因此點(diǎn)為費(fèi)瑪點(diǎn)，且由面積公式知，

類題:若三正數(shù)滿足下列條件:

試求的值。分析：轉(zhuǎn)化為幾何題從第一個(gè)方程式：由餘弦定理知，其二邊和的夾角為同理可由另二方程式知其角角分別為和參考解法:如圖轉(zhuǎn)化範(fàn)例（另一例）若三正數(shù)滿足下列條件:

試求的值。範(fàn)例已知正數(shù)滿足,試求

的最小值。參考解答：利用幾何圖解法如圖，

轉(zhuǎn)化-數(shù)學(xué)解題常用策略常數(shù)與變數(shù)的轉(zhuǎn)化例:已知為相異實(shí)數(shù)，試解方程組轉(zhuǎn)化範(fàn)例將視為一元三次方程式的三個(gè)解:由根與係數(shù)知，類題已知實(shí)數(shù)滿足聯(lián)立方程組試求的值。參考解法原方程組將視為常數(shù)，則可得到

為下列的方程式的四個(gè)根將上式經(jīng)化簡後可得故由根與係數(shù)關(guān)係知上題中如果二次方改成任意次方，其方法亦同。費(fèi)伯納希數(shù)列從一則題目談數(shù)列一個(gè)2×1的長方形骨牌是將兩個(gè)正方形以邊對邊的方式相連接。我們打算用八片骨牌舖滿2×8的棋盤，每片骨牌可以水平或垂直的方式放置，如圖:試問共有多少種不同的舖蓋方式？

費(fèi)伯納希數(shù)列費(fèi)伯納希（Fibonacci,1170-1250,Italy）於1202年提出此數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,費(fèi)伯納希長方形與螺線費(fèi)伯納希數(shù)列問題:

設(shè)有十級階梯(自樓板面算起),今要求上樓時(shí)每一步走一階或二階,試問共有少種不同的上樓方式?如何推廣其結(jié)果?費(fèi)伯納希數(shù)列設(shè)有大小形狀都相同的一堆硬幣,今打算將這些硬幣依下列規(guī)則來排列成若干橫排:(1)每一橫排中的所有硬幣必須彼此相切(即外切);(2)除最底部的一列外,每一橫排中的任何一個(gè)硬幣必須與下一排的兩個(gè)硬幣相切(即上一排中硬幣的個(gè)數(shù)少於下一排硬幣的個(gè)數(shù))。設(shè)表示個(gè)硬幣所有可能排法的個(gè)數(shù),試求.並問如何推廣上述結(jié)果?費(fèi)伯納希數(shù)列同上題,設(shè)表示將若干個(gè)硬幣依上題規(guī)則排列之所有可能排法的個(gè)數(shù),但最底部的一列必須是個(gè)硬幣,試求;並觀察與的關(guān)係。如何推廣上述結(jié)果?推廣試找出所有可能實(shí)數(shù)數(shù)列使其滿足遞迴關(guān)係式：其中…這是一個(gè)極複雜的問題。費(fèi)伯納希數(shù)列的一般項(xiàng)Fibonacci數(shù)列的第項(xiàng)為:….(本公式最早由Euler在1765年發(fā)表，其後在1843年由Binet再重整理發(fā)表。)試證:為正整數(shù),….同時(shí),試證：….Lucas數(shù)列Lucas(法國人，1842-1891)2,1,3,5,8,13,21,34,…Lucas數(shù)列Lucas數(shù)列的第項(xiàng)為:….試證:為正整數(shù),….Perrin數(shù)列:3,0,2,3,2,5,5,7,…

其遞迴關(guān)係式為範(fàn)例、分組問題從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念問題：

已知鐘面上有12個(gè)數(shù)分別為1,2,3,…,12.今將這些數(shù)中間用加號或減號連起來，使結(jié)果為零，試問應(yīng)如何填法？共有幾種不同填法？思考:可先考慮正負(fù)號個(gè)數(shù)相同。提問:是否一定要正負(fù)號個(gè)數(shù)一樣?實(shí)作範(fàn)例

試將下列表格分割成相同的四個(gè)部分，且使各部分空格內(nèi)的整數(shù)之和都是34。19167125411815102136314從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念問題：

試求所有可能正整數(shù)n使得1,…,n能被分成三組且每組之?dāng)?shù)的和相同?思考:可先考慮三組個(gè)數(shù)相同。問題之延伸如何推廣上述問題?從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念

將1,2,3,…,2005這些數(shù)中間用加號或減號連起來，試問其結(jié)果為最小的非負(fù)正整數(shù)為多少？Ans:1，即1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(2002-2003-2004+2005)=1從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念

將這些數(shù)中間用加號或減號連起來，試問其結(jié)果為最小的非負(fù)正整數(shù)為多少？Ans:1,利用平方差公式分析如若將連續(xù)兩數(shù)之平方相減，則可得到差為兩數(shù)之和，其與下一組的差為4，如此一來，共可得到4,4,4,4,4,4,……,4,1，共501個(gè)4，和1個(gè)1，使其兩兩為一組，其差為0，而最後相減之後可得到一數(shù)為3，但此並非最小，故需將最後10組中的4提出來，使之變成

類題

將這些數(shù)中間用加號或減號連起來，試問其結(jié)果為最小的非負(fù)整數(shù)為多少？是否可以推廣試求所有可能正整數(shù)使得這些數(shù)中間用加號或減號連起來，試問其結(jié)果為最小的非負(fù)正整數(shù)為0?

從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念已知有128個(gè)數(shù)分別為今將這些數(shù)分為四組,使每組皆有32個(gè)數(shù)且每組的數(shù)之和都相等,試問應(yīng)如何分法?參考解法(分組方式)ABCD____________________________________設(shè)四個(gè)常數(shù)項(xiàng)分別為a,b,c,dA組

B組C組D組::::abcddabccdabbcda至少需64個(gè)數(shù)即可完成要求從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念類題:已知有81個(gè)數(shù)分別為今將這些數(shù)分為三組,使每組皆有27個(gè)數(shù)且每組的數(shù)之和都相等,試問應(yīng)如何分法?參考解法(分組方式)ABC____________________________________設(shè)三個(gè)常數(shù)項(xiàng)分別為a,b,c

A組

B組C組

:::abccabbca至少需27個(gè)數(shù)即可完成要求從鐘面數(shù)談起-將整數(shù)分組的概念推廣已知有m個(gè)數(shù)分別為今將這m些數(shù)分為n組,其中n為m之因數(shù),使每組皆有個(gè)數(shù)且每組的數(shù)之和都相等,試問應(yīng)如何分法？分組類題設(shè)Ａ、Ｂ為互斥的二集合，使得{1,2,3…,10}且Ｂ中所有數(shù)之乘積，正好等於Ａ中所有數(shù)之和，試求Ａ、Ｂ。參考解答

A,B共有三種情形:A={1,2,3,4,5,7,8,9,10}，B={6,7}A={1,2,3,5,6,7,8,9}、B={1,4,10}A={4,5,6,8,9,10}，B={1,2,3,7}由上述的問題，如何延伸及推廣成科展題材?臺南市市長盃第三階段試題類題在正方形中，為內(nèi)部一點(diǎn)，使得

試求、及正方形的邊長。在正方形中，為內(nèi)部一點(diǎn)，使得

可先求。

是否會求?參考解法轉(zhuǎn)化範(fàn)例設(shè)都是正數(shù)，試證：必存在以三數(shù)

,,為三角形的三邊長，並求此三角形的面積。思考策略轉(zhuǎn)化成幾何問題構(gòu)造以a+b

及c+d

為邊長的長方形觀察此三數(shù)所代表的長度如圖，三角形的三邊長為範(fàn)例:數(shù)學(xué)歸納法之應(yīng)用

試証：任意個(gè)正方形，經(jīng)過適當(dāng)?shù)那懈睿ㄖ荒苡脠A規(guī)、直尺和剪刀）後，必可重拼成一個(gè)大正方形。（參考解答）利用數(shù)學(xué)歸納法，

(1)若二個(gè)正方形大小相同：(2)若二個(gè)正方形大小不同：Ⅰ.

（逆命題）一個(gè)大正方形是否可切成個(gè)小正方形？（不能拼）

才可以←Prove!

多3個(gè)

解：回目錄

反證法:(證明的利器)Euclid利用反證法證明質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)範(fàn)例三、利用反證法及阿基米德性質(zhì)設(shè)結(jié)論不對，不妨設(shè)

正整數(shù)，使得因此與條件不合。

不等式設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件:試證:反證法假設(shè)因?yàn)榕c假條件矛盾特殊與一般的轉(zhuǎn)化:數(shù)學(xué)新知TheLargestKnownPrimesNewsnote:GIPMSthe44thknownMersenne!

為9,808,358位數(shù)，the44thknownMersenne!AnnouncedSeptember4,2006.

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參考網(wǎng)址http:///largest.html特殊與一般的轉(zhuǎn)化:數(shù)學(xué)新知試問:

的個(gè)位數(shù)字及末二位數(shù)為何？

問題試問232582657是否為質(zhì)數(shù)?特殊與一般的轉(zhuǎn)化若為質(zhì)數(shù)，則必為質(zhì)數(shù)。(利用反證法)參考解法假設(shè)為合數(shù)，令為合數(shù)，與題意不合。設(shè),

試證:（1）

(2)(3)如何推廣上述問題?參考解答操作題已知三個(gè)數(shù),進(jìn)行下面一次的操作:首先任取其中的二個(gè)數(shù)求其和，再除以；另外，求這二數(shù)的差再除以，而得到新的二個(gè)數(shù)。試問：能否經(jīng)過若干次上述的操作，最後得到？試說明理由。參考解答設(shè)三數(shù)分別為,經(jīng)過一次操作後得到新的三數(shù):因?yàn)?/p>

即每操作一次，仍保持此三數(shù)的平方和不變。但，故不可能辦到。代數(shù)題已知有五個(gè)正整數(shù),如果將這五個(gè)數(shù)中任意相異的二數(shù)相加,所得到的結(jié)果正好是637,669,794,915,919,951,1040,1072,1197,試求原來的五個(gè)數(shù)。代數(shù)題已知有五個(gè)正整數(shù),如果將這五個(gè)數(shù)中任意相異的二