高中數(shù)學(xué)專題07極值點(diǎn)偏移問題的函數(shù)選取

專題07極值點(diǎn)偏移問題的函數(shù)選取于極值點(diǎn)偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題（無論含參數(shù)或不含參數(shù)）轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù)．那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然會(huì)選取不同的函數(shù)．★已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，其極值點(diǎn)為．（1）求的取值范圍；（2）求證：；（3）求證：；（4）求證：．解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則須有．（嚴(yán)格來講，還需補(bǔ)充兩處變化趨勢(shì)的說明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，）．（2）由所證結(jié)論知這是的極值點(diǎn)偏移問題，選取函數(shù)來做，下面按對(duì)稱化構(gòu)造的三個(gè)步驟來寫．（?。┰谏希谏?，有；（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上，得，有．（ⅲ）將代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，即．（3）由所證結(jié)論可以看出，這已不再是的極值點(diǎn)偏移問題，誰的極值點(diǎn)會(huì)是1呢？回到題設(shè)條件：，記函數(shù)，則有．求導(dǎo)得，則1是的極小值點(diǎn)，我們選取函數(shù)來證（3）中結(jié)論；順帶地，也可證（4）中結(jié)論．（ⅰ）在上遞減，在上遞減，在上遞增；與x的符號(hào)相同；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由不妨設(shè)．（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，但因式的符號(hào)不容易看出，引進(jìn)輔助函數(shù)，則，得在上，當(dāng)時(shí)，，即，則，則，，得在上，有，即．（ⅲ）將代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．（4）（?。┩希唬áⅲ?gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，但因式的符號(hào)不容易看出，引進(jìn)輔助函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，得在上遞增，有，則，得在上遞增，有，即；（ⅲ）將代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上遞增，故，．點(diǎn)評(píng)：雖然做出來了，但判定因式及的正負(fù)時(shí)，均需要輔助函數(shù)的介入，費(fèi)了一番功夫，雖然的極值點(diǎn)是1，理論上可以用來做（3）、（4）兩問，但實(shí)踐發(fā)現(xiàn)略顯麻煩，我們還沒有找到理想的函數(shù)．再次回到題設(shè)條件：，記函數(shù)，則有．接下來我們選取函數(shù)再解（3）、（4）兩問．（3）（?。?，得在上遞減，在上遞增，有極小值，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由不妨設(shè)．（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，，則，得在上遞減，有，即（ⅲ）將代入（ⅱ）中不等式得，又，故，又，，在上，故，．（4）（?。┩?；（ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，得在上，有，即；（ⅲ）將代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．【點(diǎn)評(píng)】用函數(shù)來做（3）、（4）兩問，過程若行云流水般，格外順暢．這說明在極值點(diǎn)偏移問題中，若函數(shù)選取得當(dāng)，可簡(jiǎn)化過程，降低難度．注1：第（2）問也可借助第（4）問來證：將，相加得．注2：在第（ⅱ）步中，我們?yōu)槭裁纯偸墙o定的范圍？這是因?yàn)榈姆秶^的范圍小，以第（3）問為例，若給定，因?yàn)樗鶚?gòu)造的函數(shù)為，這里，且，得，則當(dāng)時(shí)，無意義，被迫分為兩類：①若，則，結(jié)論成立；②當(dāng)時(shí)，類似于原解答．而給字，則不會(huì)遇到上述問題．當(dāng)然第（4）問中給定或的范圍均可，請(qǐng)讀者自己體會(huì)其中差別．【思考】練習(xí)1：（查看熱門文章里極值點(diǎn)偏移（1））應(yīng)該用哪個(gè)函數(shù)來做呢？提示：用函數(shù)來做，用函數(shù)來做．練習(xí)2：（安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測(cè)）已知（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證．提示：將，兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)方程處理．【招式演練】1．已知函數(shù).（1）若函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得在上恒成立，即在上恒成立，再求函數(shù)的最大值即可得答案；（2）根據(jù)題意得，不妨設(shè)，令，則問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)一步令，只需求在的最小值大于零即可證畢.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，∵函?shù)在定義域上單調(diào)遞減，∴在上恒成立，∴在上恒成立，即：在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也是最大值，∴，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：（2）證明：∵函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，∴根據(jù)（1）得：，∴，∴，∵，∴不妨設(shè)，令，則，設(shè)故問題轉(zhuǎn)化為證明在上恒成立，∴只需證在上恒成立，令，，∴在上單調(diào)遞增，由于，∴，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，即在上恒成立∴成立.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題，考查分析問題與解決問題的能力，是難題.2．設(shè)函數(shù)，其中.（1）證明：恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)．令，可得時(shí)，．．．可得函數(shù)在，上存在唯一零點(diǎn)．又函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)1．即可證明結(jié)論．（2）由題意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取對(duì)數(shù)即可證明．【詳解】證明：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)樗?；令，由，可知在?nèi)單調(diào)遞減，又，且，故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，.則，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，，所以，從而，又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn)，又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)（2）由題意，，即，從而，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又，故.兩邊取對(duì)數(shù)，得于是，整理得.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、構(gòu)造法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．3．已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．①求的取值范圍；②證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）①②見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算，，得到切線方程.（2）①求導(dǎo)得到，導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，故存在使.故，解得或，計(jì)算得到答案.②構(gòu)造函數(shù)，證明函數(shù)單調(diào)遞增，，，代入數(shù)據(jù)計(jì)算到，，相減化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】（1），故，故，，故切線方程為：.（2）①，.易知在時(shí)單調(diào)遞增，且，時(shí)，，故存在使.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，只需滿足，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.綜上所述：.②構(gòu)造函數(shù)，故，函數(shù)單調(diào)遞增，，故，，，故.故，，整理得到：，同理可得：，相減得到：，故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問題，零點(diǎn)問題，計(jì)算量大，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，是難題.4．已知函數(shù)（1）若時(shí)在上的最小值是，求a；（2）若，且x1，x2是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，再由最值，解出的值；（2）由題意結(jié)合韋達(dá)定理得出，，，將化簡(jiǎn)為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最大值，進(jìn)而得出.【詳解】解：（1）定義域是，.令，對(duì)稱軸因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，即所以在上單調(diào)遞增.解得.（2）由有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在有2個(gè)不等的實(shí)根即在有2個(gè)不等的實(shí)根，則，解得.，，當(dāng)時(shí)，令，令，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.所以即所以在單調(diào)遞減所以所以原式成立.即.【點(diǎn)睛】本題主要考查了已知函數(shù)的最值求參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，將不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值的問題是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.5．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求，；（2）函數(shù)圖像與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為，且在點(diǎn)處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，證明：．【答案】（1），；（2）0；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由已知可得，，求出，可得的方程組，求解即可；（2）先求出的負(fù)根，進(jìn)而求出切線方程，求出函數(shù)，進(jìn)而求出單調(diào)區(qū)間，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）可得的圖像在的上方，同理可證出的圖像也在以的另一零點(diǎn)為切點(diǎn)的切線上方，求出與兩切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則有，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）將代入切線方程中，得，所以，又或，又，所以，若，則（舍去）；所以，則；（2）由（1）可知，，所以，令，有或，故曲線與軸負(fù)半軸的唯一交點(diǎn)為曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，因?yàn)?，所以，所以，．若，，若，，，所?若，，，，所以在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，所以最小值．（3），設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則，令，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式的證明，要注意利用數(shù)形結(jié)合找到解題的突破口，考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.6．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，，設(shè)，再分類討論得到的符號(hào)，得到的單調(diào)性；（2）由（1）得到存在兩個(gè)極值點(diǎn)，時(shí)的取值范圍，再得到應(yīng)滿足的關(guān)系式，用表示出，再由導(dǎo)數(shù)求最小值，證明不等式.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，設(shè)，則，若，即時(shí)，，∴，所以在上單調(diào)遞增.若，即時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，.，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）知時(shí)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程有兩根，，所以，，.令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值，考查了學(xué)生的分析能力，推理能力，運(yùn)算能力，分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.7．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，①證明：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，；②求證：，注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).【答案】（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為；（2）①證明見解析；②證明見解析.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）①先求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②令，轉(zhuǎn)化研究零點(diǎn)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1），，當(dāng)時(shí)，，由得或，由得，因此函數(shù)增區(qū)間為和，減區(qū)間為；（2）①由（1）可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)增區(qū)間為和，減區(qū)間為；又因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，令當(dāng)時(shí)，因此當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，；②由①得，，令，則所以因?yàn)椋援?dāng)時(shí)即在上單調(diào)遞增；令，則因?yàn)闉榘己瘮?shù)，所以即在上單調(diào)遞增，因此；因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增；所以【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力，屬難題.8．已知函數(shù)．（1）求的圖象在處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)、，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得和的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）設(shè)，令可得出，由題意得出，變形可得，令，由此將所求不等式轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明出即可.【詳解】（1），定義域?yàn)?，，?因此，函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）令，得，由題意可得，兩式相加得，兩式相減得，設(shè)，可得，，要證，即證，即，令，即證.構(gòu)造函數(shù)，其中，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，所以，.因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)圖象的切線方程，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.9．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先求導(dǎo)，再對(duì)分和兩種情況即得函數(shù)的單調(diào)性；（2）分析得到所以，，再化簡(jiǎn)得到，構(gòu)造函數(shù)，得到，不等式即得證.【詳解】（1）．因?yàn)?當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由解得或，∵是增函數(shù)，∴此時(shí)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是減函數(shù)，，∴，即．所以原不等式得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.10．己知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值:（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明:【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，注意首先明確定義域，正確求導(dǎo)：因?yàn)?，所以，由，得，?）不等式恒成立問題一般利用變量分離法：?jiǎn)栴}等價(jià)于在上恒成立．再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最大值，令根為，在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．，所以整數(shù)的最小值為2．（3）轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可：由，即從而，利用導(dǎo)數(shù)求左邊函數(shù)最小值1，所以，解得試題解析：（1）因?yàn)椋裕?分此時(shí)，2分由，得，又，所以．所以的單調(diào)減區(qū)間為．4分（2）方法一：令，所以．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕栽谏鲜沁f增函數(shù)，又因?yàn)?，所以關(guān)于的不等式不能恒成立．6分當(dāng)時(shí)，，令，得．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為．8分令，因?yàn)?，，又因?yàn)樵谑菧p函數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，．所以整數(shù)的最小值為2．10分方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，問題等價(jià)于在上恒成立．令，只要．6分因?yàn)椋?，得．設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)的根為．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．所以．8分因?yàn)?，所以，此時(shí)，即．所以，即整數(shù)的最小值為2．10分（3）當(dāng)時(shí)，由，即從而13分令，則由得，可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以，15分所以，因此成立．16分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最值11．已知函數(shù)．（1）的導(dǎo)函數(shù)記作，且在上有兩不等零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，記作，，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）先求，令，轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）由（1）知，，，是的兩個(gè)不同實(shí)根，由韋達(dá)定理可得，的關(guān)系式，把要證明的結(jié)論等價(jià)化簡(jiǎn)變形后換元轉(zhuǎn)化為證明不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可證明結(jié)論成立.【詳解】解：（1），，，令．由題意，，解得：.所以的取值范圍為．（2）由（1）知，，由，即，得，，要證明，則只需證明，令，由可得，當(dāng)時(shí)，，，所以在上是減函數(shù)，所以，適合題意.綜上，．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)分布和極值不等式證明，關(guān)鍵在于等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為常見的問題，屬于難題.12．已知函數(shù)是上的增函數(shù).（1）求的取值范圍；（2）已知：，且，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）要使在上遞增，只需在上恒成立即可，將問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的最小值；

（2）當(dāng)，且時(shí)，或，針對(duì)和兩種情況進(jìn)行分類討論，計(jì)算的最小值.【詳解】（1）由題意，對(duì)，恒成立，①時(shí)，不合題意，舍去；②時(shí)，，在上，；在上，，所以在上遞減，在上遞增，故的最小值為，綜上所述，的取值范圍為.（2）不妨設(shè)，，與1的大小關(guān)系可分為：或，若，由是增函數(shù)可知：，符合題意；若且，可得：，故，只需證：，只需，令，則，故為增函數(shù)，而，故，即得證，由前面分析過程可知，不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍、不等式的證明問題，難度較大.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題中，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的討論、導(dǎo)數(shù)與極值最值是解題的核心，合理分類，針對(duì)不同情況進(jìn)行討論即可.13．已知函數(shù)，其中.（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意求得,函數(shù)在上單調(diào)遞增，可轉(zhuǎn)化為恒成立,將參數(shù)與變量分離,構(gòu)造新函數(shù),判斷單調(diào)性求出最值,即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求出,由題意得有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)、，且、，由有一個(gè)零點(diǎn)，則，再利用分析法證明即可.【詳解】解：（1）由函數(shù)，其中，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即恒成立，即恒成立.令，則，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.（2）由，則.由題意則有三個(gè)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)、，且、，由有一個(gè)零點(diǎn)，則，令，則，∴當(dāng)時(shí)取極值，時(shí)單調(diào)遞增，∴，則時(shí)有兩零點(diǎn)，且，要證：，即證（其中），即證：，即，由，，則，即證：；等價(jià)于，等價(jià)于，由在上單調(diào)遞增，即證：，又，則證，令，，∴.∴恒成立，則為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴原結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查分析法的證明,考查學(xué)生邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.14．已知函數(shù)．（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，再將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)問題討論；（2）由（1）知，當(dāng)，有極小值點(diǎn)和極大值，且，，利用消元法將變成關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，即可證明不等式；【詳解】（1）∵，∴令則∵，∴對(duì)稱軸①當(dāng)時(shí)，，，∴，故在單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的正根，不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)）時(shí)，，這時(shí)不是單調(diào)函數(shù)．綜上，a的取值范圍是．（2）由（1）知，當(dāng)，有極小值點(diǎn)和極大值，且，，，令則當(dāng)時(shí)，∴在單調(diào)遞減，所以故．【點(diǎn)睛】本題考查利