《隨機(jī)信號(hào)分析》第3章 隨機(jī)過程的線性變換

?隨機(jī)信號(hào)分析?第3章隨機(jī)過程的線性變換第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的根本概念和根本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最正確線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布23.1變換的根本概念和根本定理隨機(jī)過程的變換示意圖確定性變換隨機(jī)性變換5T3.1變換的根本概念和根本定理線性變換 設(shè)有任意兩個(gè)隨機(jī)變量A1和A2及任意兩個(gè)隨機(jī)過程X1(t)和X2(t)，如果滿足那么稱L是線性變換。 對(duì)于線性變換L，Y(t)=L[X(t)]，如果其中ε為任意常數(shù)，那么稱L是線性時(shí)不變的。63.1變換的根本概念和根本定理線性變換的兩個(gè)根本定理定理1設(shè)Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，那么即隨機(jī)過程經(jīng)過線性變換后，其輸出的數(shù)學(xué)期望等于輸入的數(shù)學(xué)期望通過線性變換后的結(jié)果。73.1變換的根本概念和根本定理證明(利用大數(shù)定理)設(shè)第i次試驗(yàn)得樣本函數(shù)xi(t)，輸出端yi(t)Y(t)的樣本均值83.1變換的根本概念和根本定理證明〔續(xù)〕根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)n→∞時(shí)，有所以93.1變換的根本概念和根本定理定理2設(shè)Y(t)=L[X(t)]，其中L是線性變換，那么其中表示對(duì)t1做L變換，表示對(duì)t2做L變換。103.1變換的根本概念和根本定理證明因?yàn)榱顃=t2，可得同理可證聯(lián)合上面兩式，得113.1變換的根本概念和根本定理由兩個(gè)定理可知，對(duì)于線性變換，輸出的均值和相關(guān)函數(shù)可以分別由輸入的均值和相關(guān)函數(shù)確定。推廣，對(duì)于線性變換，輸出的k階矩可以由輸入的相應(yīng)階矩來確定，如123.1變換的根本概念和根本定理例3.1隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性。

設(shè)，，很容易證明，導(dǎo)數(shù)是一種線性變換，可看成X(t)經(jīng)過微分變換后的輸出13X(t)3.1變換的根本概念和根本定理例〔續(xù)〕均值即X(t)和的互相關(guān)函數(shù)143.1變換的根本概念和根本定理例〔續(xù)〕自相關(guān)函數(shù)如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么153.1變換的根本概念和根本定理隨機(jī)過程及其導(dǎo)數(shù)相關(guān)函數(shù)示意圖16第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的根本概念和根本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最正確線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布173.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析沖激響應(yīng)法輸出均值假設(shè)X(t)平穩(wěn)18X(t)Y(t)h(t)3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析輸入輸出的互相關(guān)函數(shù)為輸出的自相關(guān)函數(shù)為綜合二式得同理可證193.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)的關(guān)系20),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析如果X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么其中，τ=t1-t2，即213.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析同理即223.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析所以類似地233.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系243.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.3設(shè)有以下圖所示的RC電路。假定輸入為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且相關(guān)函數(shù)為RX(τ)=e-β|τ|，求穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)。25X(t)Y(t)RC3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解RC電路的沖激響應(yīng)為輸入與輸出的相關(guān)函數(shù)為263.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解〔續(xù)1〕當(dāng)τ≥0時(shí)，當(dāng)τ<0時(shí)，273.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解〔續(xù)2〕當(dāng)τ<0時(shí)，283.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析解〔續(xù)3〕由于RY(τ)是偶函數(shù)，所以293.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析頻譜法：利用系統(tǒng)的傳遞函數(shù)來分析輸出的統(tǒng)計(jì)特性

303.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.4如例所述，運(yùn)用頻譜法求輸出的功率譜和自相關(guān)函數(shù)解對(duì)例所求沖激響應(yīng)做傅里葉變換，得系統(tǒng)傳輸函數(shù)

313.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析輸入功率譜密度為可得自相關(guān)函數(shù)為323.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析例3.5如例所述，運(yùn)用頻譜法求輸出的功率譜和自相關(guān)函數(shù)解系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸入X(t)的功率譜為333.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析進(jìn)一步可得求上式的傅里葉反變換，可得343.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，即當(dāng)t<0時(shí)，h(t)=0假定輸入X(t)是平穩(wěn)的，且從-∞時(shí)參加353.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析假設(shè)X(t)是從t=0參加，那么363.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析電路H(ω)h(t)37第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的根本概念和根本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最正確線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布383.3限帶過程低通隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的功率譜GX(ω)在|ω|<ωc

內(nèi)不為零，而在其外為零低通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為它的自相關(guān)函數(shù)任意n階導(dǎo)都存在39圖3-1低通隨機(jī)過程的功率譜3.3限帶過程假設(shè)低隨機(jī)過程在頻帶內(nèi)功率譜密度為常數(shù)，即那么稱X(t)為理想低通隨機(jī)過程或理想低通白噪聲其自相關(guān)函數(shù)為總的平均功率為403.3限帶過程從圖中可以看出，當(dāng)τ=kπ/ωc(k=±1，±2，···)時(shí)，有所以理想低通白噪聲X(t)與X(t+kπ/ωc)(k=±1，±2，···)正交。假設(shè)對(duì)理想低通白噪聲以Δt=π/ωc的時(shí)間間隔對(duì)其進(jìn)行采樣，那么采樣后的離散數(shù)據(jù){X(n),n=0,=±1，±2，···}是相互正交的41圖3-2理想低通隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)3.3限帶過程帶通隨機(jī)過程：隨機(jī)過程X(t)的功率譜GX(ω)集中在ω0為中心的頻帶內(nèi)理想帶通隨機(jī)過程：在頻帶內(nèi)，功率譜密度為常數(shù)42〔b〕理想帶通隨機(jī)過程〔a〕一般帶通隨機(jī)過程3.3限帶過程理想帶通隨機(jī)過程的功率譜密度為自相關(guān)函數(shù)為總的平均功率為433.3限帶過程44圖3-3理想帶通隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)3.3限帶過程噪聲等效通能帶〔噪聲等效矩形帶寬〕：把白噪聲通過線性系統(tǒng)后的非均勻物理譜密度等效成在一定頻帶內(nèi)均勻的的物理譜密度，這個(gè)頻帶稱為等效通能帶，記為Δfe45圖3-4噪聲等效通能帶〔噪聲等效矩形帶寬〕示意圖3.3限帶過程由上圖可以看出噪聲等效矩形帶寬為對(duì)于低通網(wǎng)絡(luò)，等效矩形帶寬為對(duì)于帶通網(wǎng)絡(luò)，輸出的平均功率為463.3限帶過程例3.6設(shè)有n階巴特沃斯濾波器其中Δf是濾波器3dB帶寬，求噪聲等效矩形帶寬。解n=1時(shí)，Δfe=(π/2)Δff；n=2時(shí)，Δfe

f

；n越大，濾波器帶沿越陡峭，其噪聲等效通能帶也越趨近于它的3dB帶寬，當(dāng)n→∞時(shí)，Δfe→Δf473.3限帶過程例3.7白噪聲通過如下圖的RC電路，分析輸出的統(tǒng)計(jì)特性解RC電路為一低通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為輸出功率譜密度為

48圖3-5RC電路3.3限帶過程輸出自相關(guān)函數(shù)為相關(guān)系數(shù)為噪聲等效矩形帶寬為493.3限帶過程輸出隨機(jī)過程的相關(guān)時(shí)間為即，相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的噪聲等效矩形帶寬是成反比的。50第三章隨機(jī)過程的線性變換3.1變換的根本概念和根本定理3.2隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)分析3.3限帶過程3.5最正確線性濾波器3.6線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)過程的概率分布51

52輸出信噪比最大的最正確線性濾波器如下圖線性系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，輸入波形為53(3.5.1)X(t)Y(t)圖3.17線性系統(tǒng)示意圖其中

是確知信號(hào)，是零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程，功率譜密度為。根據(jù)線性系統(tǒng)的理論，輸出Y(t)可表示為(3.5.2)其中(3.5.3)輸出信噪比最大的最正確線性濾波器式中是輸入信號(hào)的頻譜，是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，是輸出的噪聲，它的功率譜密度為(3.5.4)輸出噪聲的平均功率為定義：在某個(gè)時(shí)刻時(shí)濾波器輸出端信號(hào)的瞬時(shí)功率與噪聲的平均功率之比〔簡稱信噪比〕為(3.5.5)(3.5.6)輸出信噪比最大的最正確線性濾波器輸出信噪比最大的最正確線性濾波器將(3.5.3)式和(3.5.5)式代入(3.5.6)式，得56(3.5.7)我們的任務(wù)是要設(shè)計(jì)一個(gè)線性系統(tǒng)，使得輸出的信噪比到達(dá)最大?？梢宰C明，當(dāng)時(shí)，輸出信噪比到達(dá)最大。(3.5.8)輸出信噪比最大的最正確線性濾波器3.5.1輸出信噪比最大的最正確線性濾波器證明：利用許瓦爾茲不等式〔Schwarzinequality〕58當(dāng)時(shí)等式成立令59當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立3.5.1輸出信噪比最大的最正確線性濾波器輸出信噪比最大的最正確線性濾波器把最大的信噪比記為。將(3.5.8)式代入(3.5.7)式可得最大的信噪比為60(3.5.9)將(3.5.8)式代入(3.5.3)式得到輸出信號(hào)為(3.5.10)由上式可以看出，當(dāng)時(shí)，輸出信號(hào)到達(dá)最大。輸出信噪比最大的最正確線性濾波器輸出信噪比最大的最正確線性濾波器物理意義濾波器的幅頻特性為62(3.5.11)

實(shí)際上是對(duì)輸入信號(hào)的頻譜進(jìn)行加權(quán)，對(duì)于某個(gè)頻率點(diǎn)，信號(hào)越強(qiáng)，該頻率點(diǎn)的加權(quán)系數(shù)越大，噪聲越強(qiáng)，加權(quán)越小。最正確線性濾波器的幅頻特性有抑制噪聲的作用。相頻特性由(3.5.8)式得(3.5.12)由(3.5.3)式得濾波器對(duì)信號(hào)的各頻率分量起到的是幅度同相相加的作用，而對(duì)噪聲的各頻率分量起到的是功率相加的作用。綜合而言，信噪比得到提高。輸出信噪比最大的最正確線性濾波器是在白噪聲環(huán)境下以輸出信噪比最大作為準(zhǔn)那么的最正確線性濾波器。匹配濾波器的沖激響應(yīng)是輸入信號(hào)的共軛鏡像。對(duì)于實(shí)信號(hào)3.5.2匹配濾波器(3.5.13)(3.5.14)(3.5.15)當(dāng)c=1時(shí)，與關(guān)于呈偶對(duì)稱關(guān)系。

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66性質(zhì)和特點(diǎn)-1:輸出的最大信噪比與輸入信號(hào)的波形無關(guān)由于白噪聲的功率譜為一個(gè)常數(shù)，由(3.5.9)式可得其中E代表信號(hào)的能量，由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只與信號(hào)的能量和噪聲的強(qiáng)度有關(guān)，與信號(hào)的波形無關(guān)。(3.5.16)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點(diǎn)-2：應(yīng)該選在信號(hào)結(jié)束之后。由(3.5.15)式可以看出，如果要求系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，那么必須選擇在信號(hào)結(jié)束之后才能滿足。對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，因?yàn)橹挥羞x在信號(hào)結(jié)束之后，才能把信號(hào)的能量全部利用上，信噪比才能到達(dá)最大。683.5.2匹配濾波器性質(zhì)和特點(diǎn)-3：匹配濾波器對(duì)信號(hào)幅度和時(shí)延具有適應(yīng)性如果發(fā)射信號(hào)為

，那么接收信號(hào)為，的頻譜為對(duì)的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為69需要注意的是，匹配濾波器對(duì)信號(hào)的頻移不具有適應(yīng)性。即，如果有個(gè)信號(hào)的頻譜為，可以看做為目標(biāo)由于運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒頻移，那么，對(duì)應(yīng)的匹配濾波器為可見與是不同的。3.5.2匹配濾波器例單個(gè)矩形脈沖的匹配濾波器設(shè)計(jì)。設(shè)脈沖信號(hào)為其中a是常數(shù)。求匹配濾波器的傳遞函數(shù)和輸出波形。(3.5.17)3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解：信號(hào)的頻譜為取匹配濾波器的時(shí)間，由(3.5.13)式矩形脈沖信號(hào)的匹配濾波器的傳遞函數(shù)為其沖激響應(yīng)為72(3.5.18)(3.5.19)(3.5.20)匹配濾波器的輸出信號(hào)為(3.5.21)3.5.2匹配濾波器s(t)0at(a)矩形脈沖信號(hào)h(t)0cat(b)匹配濾波器的沖激響應(yīng)0t(c)匹配濾波器的輸出信號(hào)圖3.18矩形脈沖的匹配濾波器積分器延遲線+-圖3.19矩形脈沖信號(hào)匹配濾波器實(shí)現(xiàn)框圖3.5.2匹配濾波器例

設(shè)計(jì)矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器解：設(shè)矩形脈沖信號(hào)為(3.5.22)其中s1(t)是如〔〕所示的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)(3.5.23)

3.5.2匹配濾波器3.5.2匹配濾波器解〔續(xù)〕取,那么可見，匹配濾波器可以表示為其中，76單個(gè)矩形脈沖信號(hào)的匹配濾波器由延遲單元的求和器構(gòu)成，通常稱為相參積累器。匹配濾波器的組成如以下圖所示(3.5.26)圖3.20矩形脈沖串信號(hào)的匹配濾波器3.5.2匹配濾波器

匹配濾波器輸出的最大信噪比(3.5.28)3.5.2匹配濾波器有理噪聲功率譜討論〔〕式其中3.5.3廣義匹配濾波器〔〕〔〕〔〕〔〕3.5.3廣義匹配濾波器平穩(wěn)噪聲n(t)通過

后為n’(t)，其功率譜密度為為白噪聲

為白化濾波器，

為白噪聲環(huán)境下的匹配濾波器，其匹配的信號(hào)為s’(t).803.5.3廣義匹配濾波器〔〕考慮物理可實(shí)現(xiàn)是物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器?？赡苁俏锢聿豢蓪?shí)現(xiàn)的。取物理可實(shí)現(xiàn)的局部濾波器的傳遞函數(shù)為其中[]+為物理可實(shí)現(xiàn)的局部利用拉普拉斯變換，有〔〕、〔〕式被稱為廣義匹配濾波器。其實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)3.5.3廣義匹配濾波器〔〕3.5.3廣義匹配濾波器例

設(shè)信號(hào)為

噪聲的功率譜為

求廣義匹配濾波器的傳遞函數(shù)。83解：首先將噪聲功率譜用拉普拉斯變換表示為：所以，信號(hào)的拉氏變換為3.5.3廣義匹配濾波器3.5.3廣義匹配濾波器解(續(xù))：求拉氏反變換得到?jīng)_激響應(yīng)為顯然，h2(t)在t<0的時(shí)候不為零，不是物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器。如果取物理可實(shí)現(xiàn)局部，那么85：那么，s(t)的廣義匹配濾波器