《數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用(1)》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

第一章數(shù)列1.4.1數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.了解數(shù)列在“零存整取”“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存”“分期付款”等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的應(yīng)用；能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)并建立等差數(shù)列或等比數(shù)列這兩種數(shù)學(xué)模型，解決一些實(shí)際問題．2.在分析和解決具體問題的過程中，感受等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型的重要性，提升用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：厘清三種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的數(shù)學(xué)內(nèi)涵．難點(diǎn)：建立分期付款的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入情境：隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們的消費(fèi)觀念正在發(fā)生變化，花明天的錢，圓今天的夢(mèng)，貸款購(gòu)物，分期付款對(duì)我們來說已經(jīng)不再陌生，面對(duì)商家和銀行提供的各種分期付款服務(wù)，你知道選擇怎樣的方式更好嗎？二、新知探究問題1：銀行存款計(jì)算利率的方式分為單利和復(fù)利，你了解這兩種計(jì)算利率的方式嗎？答案：?jiǎn)卫簡(jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原有本金上計(jì)算利息，對(duì)本金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息=本金×利率×存期．以符號(hào)P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金與利息和（以下簡(jiǎn)稱本利和），則有S＝復(fù)利：復(fù)利是指一筆資金除本金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法，復(fù)利的計(jì)算公式是S＝單利和復(fù)利分別以等差數(shù)列和等比數(shù)列為數(shù)學(xué)模型．我們今天要學(xué)習(xí)的零存整取、活期儲(chǔ)蓄、定期儲(chǔ)蓄（即整存整取）等都是計(jì)單利的儲(chǔ)蓄模型．而定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存是計(jì)復(fù)利的儲(chǔ)蓄類型．復(fù)利計(jì)算是把上期末的本利和作為下一期的本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的．三、應(yīng)用舉例例1零存整取模型銀行有一種叫作零存整取的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，即每月定時(shí)存入一筆相同數(shù)目的現(xiàn)金，這是零存；到約定日期，可以取出全部本利和，這是整?。ìF(xiàn)在有一年、三年、五年3種，年利率分別為1.35%，1.55%，1.55%），規(guī)定每次存入的錢不計(jì)復(fù)利．（1）若每月存入金額為x元，月利率r保持不變，存期為n個(gè)月，試推導(dǎo)出到期整取時(shí)本利和的公式；（2）若每月初存入500元，到第3年整取時(shí)的本利和是多少？（精確到0.01元）（3）若每月初存入一定金額，希望到1年后整取時(shí)取得本利和2000元，則每月初應(yīng)存入的金額是多少？（精確到0.01元）解：(1)根據(jù)題意，第1個(gè)月存入的金額為x元，到期利息為xrn元；第2個(gè)月存人的額為x元，到期利息為xr(n-1)元……第n個(gè)月存入的金額為x元，到期利息為xr元．不難看出，這是一個(gè)等差數(shù)列求和的問題．各月利息之和為xr1+2+?+n而本金為nx元，這樣就得到本利和公式y(tǒng)=即y（2）根據(jù)題意知，x=500，r=1.55%12，n=36，代入①y=500×（3）根據(jù)題意知，y=2000，r=1.55%12，n=12，代入①式，x=y所以每月初應(yīng)存入165.46元．例2定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型銀行有另一種儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)為定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存，例如，儲(chǔ)戶某日存入一筆1年期定期存款，1年后，如果儲(chǔ)戶不取出本利和，則銀行按存款到期時(shí)的1年期定期存款利率自動(dòng)辦理轉(zhuǎn)存業(yè)務(wù)，第2年的本金就是第1年的本利和，按照定期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)存的儲(chǔ)蓄業(yè)務(wù)，假定無利率變化調(diào)整因素，我們來討論以下問題：（1）如果儲(chǔ)戶存入定期為1年的P元存款，定期年利率為r，連存n年后，再取出本利和，試求出儲(chǔ)戶n年后所得本利和的公式；（2）如果存入1萬(wàn)元定期存款，存期1年，年利率為1.75%，那么5年后共得本利和多少元？（精確到0.01元）解（1）記n年后得到的本利和為a．根據(jù)題意知：第1年存入的本金P元，1年后到期利息為Pr元，1年后本利和為a1=P+Pr=P1+r(元2年后到期利息為P1+rr元，2年后本利和為a2=P1+r+=P1+r2(元)不難看出，各年的本利和是一個(gè)首項(xiàng)a1=P1+r、公比q=1+r的等比數(shù)列an，故n年后到期的本利和為（2）由（1）可知，５年后本利和為：a5=10000×1+0.01755因此，5年后得本利和約為10906.17元．總結(jié)：“零存整取模型”，存期n，每一次存款到期后的利息構(gòu)成等差數(shù)列，到期后每一次存款的本利和也構(gòu)成等差數(shù)列．“定期自動(dòng)轉(zhuǎn)存模型”，到期后每一次存款的本利和構(gòu)成等比數(shù)列．四、課堂練習(xí)1．復(fù)利是指一筆資金產(chǎn)生利息外，在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)，以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息也計(jì)算利息的計(jì)息方法，單利是指一筆資金只有本金計(jì)取利息，而以前各計(jì)息周期內(nèi)產(chǎn)生的利息在下一個(gè)計(jì)息周期內(nèi)不計(jì)算利息的計(jì)息方法.小闖同學(xué)一月初在某網(wǎng)貸平臺(tái)貸款10000元，約定月利率為1.5%，按復(fù)利計(jì)算，從一月開始每月月底等額本息還款，共還款12次，直到十二月月底還清貸款，把還款總額記為x元.如果前十一個(gè)月因故不還貸款，到十二月月底一次還清，則每月按照貸款金額的1.525%，并且按照單利計(jì)算利息，這樣的還款總額記為y元.則y-x的值為()(參考數(shù)據(jù)：1.01512≈1.2)A．0 B．1200 C．1030 D．9002．某家庭打算10年以后新買一套住房，決定以一年定期的方式存款，計(jì)劃從2014年起每年年初到銀行新存入a元，年利率p保持不變，并按復(fù)利計(jì)算，到2022年初將所有存款和利息全部取出，則這個(gè)家庭共取回多少元？參考答案：1．解析：設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還款元，則可依次求每次還款元后，還欠本金及利息，由題意可得，求出，從而可求出的值，再利用單利求出，進(jìn)而可求出的值【詳解】解：由題意知，按復(fù)利計(jì)算，設(shè)小闖同學(xué)每個(gè)月還a元，則小闖同學(xué)第一次還款a元后，還欠本金及利息為10000(1+1.5%)-a元，第二次還款a元后，還欠本金及利息為10000(1+1.5%)第三次還款a元后，還欠本金及利息為：10000(1+1.5%)依次類推，直到第十二次還款后，全部還清，即10000(1+1.5%)即10000(1+1.5%)12=a?1-故x=12×900=10800元，按照單利算利息，12月后，所結(jié)利息共10000×0.01525×12=1830元，故y=10000+1830=11830元，所以y-x=11830-10800=1030，故選：C2.解析：設(shè)從2014年年初到2022年年初的本利和組成數(shù)列an，到2022年為止，把2014年末存款的本利和看作a1，則2021年末存款的本利和為an，則an所以這個(gè)家庭應(yīng)取出的錢數(shù)為S==五、課堂小結(jié)單利：?jiǎn)卫挠?jì)算是僅在原有木金上計(jì)算利息，對(duì)木金所產(chǎn)生的利息不再計(jì)算利息，其公式為利息