固體物理(黃昆) 總結(jié)

第三章晶格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)一維單原子鏈的振動(dòng)一維雙原子鏈(復(fù)式格子)的振動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容:晶格振動(dòng)：晶體中的格點(diǎn)表示原子的平衡位置，晶格振動(dòng)是指原子在格點(diǎn)附近的振動(dòng)。熱運(yùn)動(dòng)在宏觀性質(zhì)上的最直接的表示是熱容量：3－2一維單原子鏈1.一維單原子鏈的振動(dòng)

(1)模型：一維無限長的單原子鏈，原子間距(晶格常量)為a，原子質(zhì)量為m。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2

用xn和xk分別表示序號為n和k的原子在t時(shí)刻偏離平衡位置的位移，用xnk=xn-xk表示在t時(shí)刻第n個(gè)和第k個(gè)原子的相對位移。第n個(gè)原子第n-2個(gè)原子第n-1個(gè)原子第n+1個(gè)原子第n+2個(gè)原子a

Xn-2Xn-1

XnXn+1

Xn+2(2)振動(dòng)方程和解平衡時(shí)，第k個(gè)原子與第n個(gè)原子相距

為兩個(gè)原子間的互作用勢能，平衡時(shí)為，t時(shí)刻為nkx第n個(gè)與第k個(gè)原子間的相互作用力:

振動(dòng)很微弱時(shí)，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)---簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似---簡諧近似。)得:彈性恢復(fù)力系數(shù)原子的振動(dòng)方程:只考慮最近鄰原子間的相互作用，且恢復(fù)力系數(shù)相等：給出試探解：

原子都以同一頻率，同一振幅A振動(dòng),相鄰原子間的位相差為aq。晶格中各個(gè)原子間的振動(dòng)相互間都存在著固定的位相關(guān)系,即原子的振動(dòng)形成了波，這種波稱為格波。

將試探解代入振動(dòng)方程得振動(dòng)頻率:給出試探解:色散關(guān)系由色散關(guān)系式可畫圖如下:2.色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且(-q)=(q)。0m且故取簡約布里淵區(qū)且q的物理意義：（介質(zhì)波）q是波矢3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件

晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù)）后，其振動(dòng)情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值(共N個(gè)值)波矢也只能取N個(gè)不同的值。晶格振動(dòng)波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目4.長波極限:由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。模型運(yùn)動(dòng)方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無限長原子鏈，m，a，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B--K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm§3－3一維雙原子鏈(復(fù)式格)的振動(dòng)1.運(yùn)動(dòng)方程和解

(1)模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號為2n-1、2n+1、2n+3、···x2nx2n-1x2n+1x2n+2x2n-2若只考慮最近鄰原子的相互作用，則有：(2)方程和解2.色散關(guān)系上式看成是以A、B為未知數(shù)的線性齊次方程；若A，B不全為零，必須其系數(shù)行列式為零，即:0(+)-----光學(xué)支格波，A(-)-----聲學(xué)支格波

(1)色散曲線折合質(zhì)量由玻恩----卡門邊界條件，設(shè)晶體有N個(gè)原胞，則：(2)波矢q的取值(共有N個(gè)值)一維雙原子鏈，每個(gè)原胞有兩個(gè)原子，晶體的自由度數(shù)是2N。

由N個(gè)原胞組成的一維雙原子鏈，波矢的數(shù)目為N，頻率的數(shù)目為2N，格波(振動(dòng)模式)數(shù)目為2N。晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞個(gè)數(shù)晶格振動(dòng)頻率(振動(dòng)模式)的數(shù)目=晶體中原子的自由度數(shù)3.聲學(xué)波和光學(xué)波在長波近似的情況下，聲學(xué)支格波與彈性波的情況類似。(1)當(dāng)波矢q0時(shí),（僅取決于媒質(zhì)）(2)相鄰原子的振幅之比對于聲學(xué)支格波:

聲學(xué)支格波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的。長聲學(xué)波，相鄰原子的位移相同，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動(dòng)。因此，可以說，長聲學(xué)波代表了原胞質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。對于光學(xué)波:

光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的。

長光學(xué)波，原胞的質(zhì)心保持不動(dòng)。所以定性地說，長光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對振動(dòng)。光學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相反的。

聲學(xué)支格波，相鄰原子振動(dòng)方向是相同的。晶格振動(dòng)格波簡諧近似獨(dú)立的振動(dòng)模式由B--K邊界條件q分立值聲子晶格振動(dòng)能量量子化§3－1

簡諧近似簡正坐標(biāo)1.簡正坐標(biāo)一維單原子鏈的情況由玻恩-卡門周期性邊界條件：q可以取N個(gè)值。根據(jù)經(jīng)典力學(xué)，系統(tǒng)的總能量為勢能U和動(dòng)能T之和。則：令拉格朗日函數(shù)：廣義動(dòng)量：哈密頓函數(shù)：又：諧振子的振動(dòng)方程qx諧振子能量量子化ψn

En系統(tǒng)的本征態(tài)：據(jù)量子力學(xué)，頻率為i的諧振子的振動(dòng)能：

由N個(gè)原子組成的一維單原子鏈的振動(dòng)等價(jià)于N個(gè)諧振子的振動(dòng)，諧振子的振動(dòng)頻率就是晶格振動(dòng)頻率。晶格振動(dòng)能量：三維晶格振動(dòng)的總能量為：其中N為晶體中的原胞個(gè)數(shù),n為每個(gè)原胞中的原子個(gè)數(shù)。格波(晶格振動(dòng))的能量量子------聲子。晶格振動(dòng)的能量是量子化的，能量單位為。2.聲子聲子不是真實(shí)的粒子，稱為“準(zhǔn)粒子”，它反映的是晶格原子集體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的激發(fā)單元。聲子只存在于晶體中，脫離晶體后就沒有意義了。1.聲子是晶格振動(dòng)的能量量子，其能量為，“準(zhǔn)動(dòng)量”為。

2.一個(gè)格波(一種振動(dòng)模式)，稱為一種聲子(一個(gè)，q就是一種聲子)，當(dāng)這種振動(dòng)模式處于本征態(tài)時(shí)，稱為有ni個(gè)聲子，ni為這種聲子的聲子數(shù)。

3.由于晶體中可以激發(fā)任意個(gè)相同的聲子，所以聲子是玻色型的準(zhǔn)粒子，遵循玻色統(tǒng)計(jì)。

4.當(dāng)電子(或光子)與晶格振動(dòng)相互作用時(shí)，交換能量以為單位，若電子從晶格獲得能量，稱為吸收一個(gè)聲子，若電子給晶格能量，稱為發(fā)射一個(gè)聲子。

在簡諧近似下，聲子是理想的玻色氣體，聲子間無相互作用。而非簡諧作用可以引入聲子間的相互碰撞，正是這種非簡諧作用保證了聲子氣體能夠達(dá)到熱平衡狀態(tài)。模型運(yùn)動(dòng)方程

試探解色散關(guān)系波矢q范圍B--K條件波矢q取值一維問題的處理步驟:2n-22n-12n2n+12n+2Mma晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動(dòng)頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)，格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)。一維單原子鏈，設(shè)晶體有N個(gè)原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=11支格波晶體的自由度數(shù)=N頻率數(shù)為N一維雙原子鏈，設(shè)晶體有N個(gè)原胞。原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)=22支格波晶體的自由度數(shù)=2N頻率數(shù)為2N一、色散關(guān)系(1)模型

設(shè)三維無限大的晶體,每個(gè)原胞中有n個(gè)原子，各原子的質(zhì)量分別為原胞中這n個(gè)原子平衡時(shí)的相對位矢分別為。

表示平衡時(shí)頂點(diǎn)位矢為的原胞內(nèi)第s個(gè)原子的位矢；3.4三維晶格的振動(dòng)

表示頂點(diǎn)位矢為的原胞內(nèi)第s個(gè)原子離開平衡位置在方向的位移。在簡諧近似下，上式的右端是位移的線性代數(shù)式。[(=3,s=n)共有3n個(gè)方程](=1,2,3；s=1,2,3,···,n)可得到3n個(gè)線性齊次方程。(2)運(yùn)動(dòng)方程和解試探解：這3支格波稱為聲學(xué)支格波。

其余的(3n-3)支格波的頻率比聲學(xué)波的最高頻率還要高稱之為光學(xué)支格波。2、波矢q的取值和范圍設(shè)晶體有N個(gè)原胞,原胞的基矢為：沿基矢方向各有N1、N2、N3個(gè)原胞,As有非零解,必須其系數(shù)行列式為零3n個(gè)的實(shí)根在3n個(gè)實(shí)根中，其中有3個(gè)當(dāng)波矢q0時(shí),根據(jù)玻恩---卡門周期性條件：(1、2、3為整數(shù))波矢具有倒格矢的量綱，得出:三維格波的波矢不是連續(xù)的而是分立的，其中為波矢的基矢，波矢的點(diǎn)陣亦具有周期性。(二維圖示)每個(gè)波矢代表點(diǎn)占有的體積為：晶體體積正格子原胞體積波矢密度：波矢空間中單位體積的波矢數(shù)目。

將的取值限制在一個(gè)倒格子原胞范圍內(nèi)，此區(qū)間稱為簡約布里淵區(qū)。每個(gè)波矢代表點(diǎn)占有的體積為：晶格振動(dòng)頻率數(shù)目:3支聲學(xué)波(3n-3)支光學(xué)波晶格振動(dòng)的波矢數(shù)目=晶體的原胞數(shù)N，格波振動(dòng)頻率數(shù)目=晶體的自由度數(shù)mNn，晶體中格波的支數(shù)=原胞內(nèi)原子的自由度數(shù)mn。設(shè)晶體有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞有n個(gè)原子,m支聲學(xué)波，m(n-1)支光學(xué)波，這里m是晶體的維數(shù)，n是原胞中原子的數(shù)目。波矢可取的數(shù)目：§3－8晶格熱容的量子理論§3－9晶格振動(dòng)的模式密度下面分別用經(jīng)典理論和量子理論來解釋晶體比熱的規(guī)律。晶體比熱的實(shí)驗(yàn)規(guī)律（晶體熱容）(1)在高溫時(shí)，晶體的比熱為3NkB(N為晶體中原子的個(gè)數(shù),

kB=1.3810-23JK-1為玻爾茲曼常量)；(2)在低溫時(shí)，晶體的比熱CV按T3趨于零。晶體的定容比熱定義為：--晶體的平均內(nèi)能晶格振動(dòng)比熱晶體電子比熱通常情況下，本節(jié)只討論晶格振動(dòng)比熱。一.杜隆--珀替定律(經(jīng)典理論)

根據(jù)能量均分定理，每一個(gè)自由度的平均能量是kBT,若晶體有N個(gè)原子，則總自由度為：3N。與高溫下吻合，低溫時(shí)不符，經(jīng)典理論不再適用。它是一個(gè)與溫度無關(guān)的常數(shù)，這一結(jié)論稱為杜隆--珀替定律。熱容來源晶格熱振動(dòng)與電子的熱運(yùn)動(dòng)。二.晶格振動(dòng)的量子理論晶體可以看成是一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡諧近似下，晶格中原子的熱振動(dòng)可以看成是相互獨(dú)立的簡諧振動(dòng)。每個(gè)諧振子的能量都是量子化的。第i個(gè)諧振子的能量為：ni是頻率為i的諧振子的平均聲子數(shù)：第i個(gè)諧振子的能量為：

晶體由N個(gè)原子組成，晶體中包含3N個(gè)簡諧振動(dòng)，總振動(dòng)能為

對于宏觀晶體,原胞數(shù)目N很大，波矢q在簡約布里淵區(qū)中有N個(gè)取值，所以波矢q近似為準(zhǔn)連續(xù)的，頻率也是準(zhǔn)連續(xù)的。上式可以用積分來表示：間的振動(dòng)模式數(shù)。表示在1.頻率分布函數(shù)(模式密度)設(shè)晶體有N個(gè)原子,則(1)定義:其中m是最高頻率，又稱截止頻率。(2)計(jì)算因?yàn)轭l率是波矢的函數(shù)，所以我們可以在波矢空間內(nèi)求出模式密度的表達(dá)式。包含在內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)為：單位頻率間隔內(nèi)的振動(dòng)模式數(shù)。波矢密度兩個(gè)等頻率面間的體積每一支格波的振動(dòng)模式數(shù)每一支格波的模式密度晶格總的模式密度兩個(gè)等頻率面間的波矢數(shù)qyqx體積元：dq：兩等頻面間的垂直距離,ds：面積元。體積元包含的波矢數(shù)目：由梯度定義知:代入上式得三.晶體比熱的愛因斯坦模型(1)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的；(2)所有格波都具有同一頻率。（1）模型設(shè)晶體由N個(gè)原子組成，因?yàn)槊總€(gè)原子可以沿三個(gè)方向振動(dòng)，共有3N個(gè)頻率為的振動(dòng)。（2）計(jì)算(a)比熱表達(dá)式

通常用愛因斯坦溫度E代替頻率，定義為kB

E=，愛因斯坦比熱函數(shù)。愛因斯坦溫度E如何確定呢？

選取合適的E值，使得在比熱顯著改變的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)好的符合。對于大多數(shù)固體材料，E在100300k的范圍內(nèi)。高溫時(shí)，當(dāng)